9286

всем интервале (1, + ) – вогнута.

Задача 4.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на от-

резке [-4; 4].

Решение. Найдем критические точки функции u(х), лежащие внутри отрезка

[-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: в точках х = -1,

х = 3. Эти точки лежат внутри рассматриваемого отрезка и являются критическими.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: u (-1) =40, u(3) = 8, u(-4) = -41, u(4) = 15.

Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции u на отрезке

[-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке х = -1, а ее наименьшее значение равно –41 и достигается на левой границе отрезка х = -4.

Задача 5. Классический метод минимизации.

Решить задачу f (х) =х3 – Зх +1 min, х [–2; 2].

Шаг 1. Находим корни уравнения f '(х) = Зx2 – 3 = 0 из интервала (–2; 2): x1 = –1, x2=1. Полагаем x0 = –2, x3 = 2.

Шаг 2. Вычисляем значения f (х) в точках xi, i = 0, .., 3: f (х0) = –17, f (х1) = 3, f (х2) = –1, f (х3) = 1.

Шаг 3. Находим f *= min(–l 7, 3, –1, 1) = – 17 = f (х0).

Поэтому x* = х0 = –2, f *= –17.

Задачи для раздела 2.

Задача 1.

Найти и идентифицировать оптимумы функции

91

Решение. Сначала найдем первую производную функции:

.

Найдем стационарные точки. Для этого решим уравнение:

Следовательно, стационарные точки:

Найдем вторую производную Для идентификации точек оптимума, вычислим значение второй производной в

стационарных точках.

Значит, х=1 х=3 – точки локальных минимумов, х=2 – точка локального мак-

симума.

Чтобы идентифицировать точку х=0, найдем и вычислим третью производную:

Так как и N=3 – нечетное, то (по теореме 2, стр.22) х*=0 – точка пере-

гиба.

Задача 2.

Методом сканирования найти минимальное значение F* и точку минимума Х*

функции F(X)=X4+8X3-6X2-72Х на отрезке [1.5;2]. Точку Х* найти с погрешностью

=0,05.

Решение. Будем разбивать первоначальный и новый, удовлетворяющий нас,

интервал на 4 части, при этом новый шаг рассчитываем по формуле:

92

где n – количество частей деления интервала,

Ai, Bi – концы интервала, в котором содержится максимальное значение функ-

ции, погрешность , где i – номер итерации.

93

Шаг 1. x1 = 0,49, x2 = 0,51. f (x1) = 0,670, f (x2) = 0,688.

Шаг 2. f (x1) > f (x2), поэтому полагаем a = x1 = 0,49.

Шаг 3. (b–а)/2 = 0,255 > 0,1, т.е. переходим к следующей итерации. Результаты вы-

числений на остальных итерациях записаны в таблице:

Задача 4.

Методом золотого сечения найти минимум функции f (x) =x4 +е–xmin, x [0; 1], =0,1.

Итерация 1.

Шаг 1. Находим: x1 = 0,382, x2 = 0,618, f (x1) = 0,704, f (x2) = 0,685, n = 0,5. 94

Решение. Вычисления проведем по формулам, представив результаты в табли-

це:

Первоначальные значения Х1 и Х2 находим по формулам

а значения точности по формуле:

Из таблицы получаем Заметим, что если воспользоваться формулой:

то необходимое число шагов N можно определить заранее. В нашем случае N=4,79, т. е. N= 5, и отпадает необходимость во втором столбце таблицы.

Задача 2.

Найти дифференциал функции f (x, y, z) x2 y3 / z4 .

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

df (x, y, z) d (x2 y3 z14 ) z14 d (x2 y3 ) x2 y3d ( z14 ) ( y3 2xdx x2 3y2dy) / z4 +x2 y3 ( 4dz / z5 ) xy2 (2 yzdx 3xzdy 4xydz) / z5 .

Задача 3.

Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f (x, y) .

По формуле (5.4): df fxdx f ydy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая

dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

Задача 4.

Решение.

Градиентом функции u=f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных функции в точке М0:

ния функции f в точке М0. Наибольшая скорость возрастания функции f равна модулю градиента:

Построим градиент, начало которого находится в точке М0(-1, 2):

у

М0

Найдем вторые частные производные:

Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель и применяем достаточные условия экстремума.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных:

А) Если >0 и а11<0 (a22<0), то в точке функция имеет максимум; если >0 (a22>0), то в точке минимум.

Б) Если <0, то экстремума нет.

В) Если =0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

В точке (0,0) <0, значит, экстремума нет. В точке (1,1) >0 и а11>0, следо-

вательно точка (1,1) является точкой минимума функции. Вычислим значение функции в этой точке.

z(1,1) 1 1 3 1

Ответ: (1,1) – точка минимума, z(1,1) 1.

Задача 7.

Исследовать на экстремум функцию z x3 y3 3xy .

Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему

Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума.