Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9286

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

22.	на отрезке
23.	на отрезке
24.	на отрезке
25.	на отрезке
26.	на отрезке
27.	на отрезке
28.	на отрезке
29.	на отрезке
30.	на отрезке
31.	на отрезке
32.	на отрезке
33.	на отрезке
34.	на отрезке
35.	на отрезке
36.	на отрезке
37.	на отрезке
38.

Раздел 3. Безусловная оптимизация функции многих переменных.

Задача 1.

Установить, являются ли выпуклыми множества U.

1)	U {(x1, x2 ) \| x1x2 1,				x1 0}
2)	U {(x , x ) \| x x2}
	1	2	2	1
3)	U {(x1, x2 ) \| x1x2 1,				x1 0,	x2 0}
4)	U {(x , x ) \| x x 2,				x2 x2		4}
	1	2	1	2	1	2
							121

5)U {(x1, x2 , x3 ) | x3 x12 x22}

6)U {(x1, x2 , x3 ) | x12 x22 1}

7)	U {(x1, x2 , x3 ) \| x1 x2 x3 1,							x1 0,	x2 0}
	U {(x , x , x ) \| x2				x2	x2
8)					2	3	1}
8)							1}
	1	2	3	1	2	3
					2	3

Задача 2.

Убедиться в выпуклости функции f(x) во всем пространстве n.

1) f (x1, x2 ) 4x12 x22 2x1x2 6x1 x2 2


2)	f (x , x ) 1 x2				x2
	1	2		1	2
3)	f (x , x ) x2			x2	cos	x1 x2
3)	f (x , x ) x2			x2	cos
	1	2	1	2	2
					2

Задача 3.

Указать множества U, на которых функции f(x) являются выпуклыми.

1)	f (x)	x2
		1
		x2
		x2
2)	f (x) x2		2x2	sin(x x )
		1	2	1	2
Задача 4.
При каких a, b и c функция f (x) ax2						bx x		cx является выпуклой в E2.
					1	1	2

Задача 5.

При каких значениях а функция f (x) x12 x22 x32 ax1x выпукла в Е3.

Задача 6.

Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти её градиент f(x(0) ) в

точке x(0) и убедиться в выпуклости f(x) в En.

f (x) x2	2x2	3x2	2x x		x x		2x	x ,	x(0) (1;0; 1)
1	2	3	1	2	2	3	1	3

Задача 7.

Найти экстремумы функций 2-х переменных:

1) z x2 xy y2 3x 6y

2) z xy2 (1 x y)

(x 0, y 0)

122

3)z xy 50/ x 20/ y (x 0, y 0)

4)z x3 3xy2 15x 12y

5)z (2x2 y2 )e ( x2 y2 )

Задача 8.

Совершить один шаг градиентного спуска из точки х(0) с шагом 0 и сравнить значения f(x(0) ) и f(x(1) ).

f (x) x2	2x2	ex1 x2 ,	x(0) (1;1),	a)	0	0,1;	б)	0	0,265;	в)	0	0,5.
1	2				0			0			0

Задача 9.

Показать, что градиенты f(x(k) ) и f(x(k+1) ) в последовательных точках итера-

ционного процесса	метода наискорейшего спуска ортогональны, т. е.
( f (x(k ) ), f (x(k 1) )) 0,	k 0,1,...

Задача 10.

Для функции f(x) найти величину шага 0 метода наискорейшего спуска из точ-

ки х(0), если f (x) 2x2	x2	x x		x	x ,	x(0) (0;0).
1	2	1	2	1	2
Задача 11.
Минимизировать квадратичную функцию f (x) 7x2								2x x		5x2	x 10x		мето-
						1		1	2	2	1	2.
										0,01,		i 1,2,..., n .
дом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при							f (x(k ) )			0,01,		i 1,2,..., n .
								xi

Задача 12.

Минимизировать функцию

f (x) x14 2x24 x12 x22 2x1 x2. методом сопряженных

направлений, заканчивая вычисления при	f (x	(k ) )	10 3 ,	i 1,2,..., n
	xi

Задача 13.

Показать, что точка минимума выпуклой квадратичной функции находится с помощью одной итерации метода Ньютона из произвольного начального приближе-

ния х(0) Rn.

123

Задача 14.

Построить линии уровня и траектории подъема.

1)	f (x) 6x		32x			2	x2	4x2	min, x0	(7;4)
	1					2	1	2
2)	f (x) 2x	2		x2	,		x0	(0; 1)
		2		1
3)	f (x) 2(x			1)2 3(x				2)2 ,	x0 (3;3)
			1				2
4)	f (x) (x		2)2		(x 3)2 ,				x0 (6;4)
	1						2

Задача 15. (по вариантам)

1.Построить график поверхности заданной функции в трехмерной системе ко-

ординат. Графически отобразить линии уровня функции.

2.Найти точку минимума аналитически.

3.Методом покоординатного спуска с точностью 10 3 и 10 5 .

4.Методом наискорейшего спуска.

5.Методом сопряженных градиентов.

6.Методом Ньютона.

7.Проверить вычисления при различных начальных векторах Х 0 и проследить зависимость числа итераций от выбора Х 0 .

8.Графически представить траектории движения к экстремуму, полученные со-

ответствующими методами.

9.Сравнить эффективность численных методов по числу итераций.

10.Выполнить задания для функций по вариантам и оформить отчет Оформить отчет: (постановка проблемы, описание всех методов, результаты, выводы).

Варианты:

1.f ( X ) 64х12 126х1х2 64х22 10х1 30х2 13

2.f ( X ) 2х12 х1х2 х22 х1 х2 1

3.f ( X ) 129х12 256х1х2 129х22 51х1 149х2 27

4.f ( X ) х14 2х1х2 х24 х12 х22

5.f ( X ) 254х12 506х1х2 254х22 50х1 130х2 111

124

6.f ( X ) х1 4 2 10 х2 5 2 5

7.f ( X ) 151х12 300х1х2 151х22 33х1 99х2 48

8.f ( X ) х12 2х22 4х1 4х2

9.f ( X ) 85х12 168х1х2 85х22 29х1 51х2 83

10.f ( X ) 16 х1 5 4 3 х2 1 2

11.f ( X ) 211х12 420х1х2 211х22 192х1 50х2 25

12.f ( X ) х12 10х22 4х1 11х2

13.f ( X ) 194х12 376х1х2 194х22 31х1 229х2 4

14.f ( X ) х1 2 4 300 х2 2 2

15.f ( X ) 45х12 88х1х2 45х22 102х1 268х2 21

16.f ( X ) 99х12 196х1х2 99х22 95х1 9х2 91

17.f ( X ) х13 х23 3х1 x2

18.f ( X ) 20 х1 4 4 300 х2 5 2

19.f ( X ) х12 х1 х2 х22 х1 х2 1

20.f ( X ) 2х12 4х1 х2 8х22 100

21.f ( X ) х14 2х1 х2 х24 x12 x22

Раздел 4. Условная оптимизация функции многих переменных.

Задание 1. Тема «Геометрический метод поиска глобального условного экстремума функции многих переменных».

Определить глобальные экстремумы функций на множестве:

Решить задачи по вариантам.

1. z x12 x22

при условиях:

125

3x1 4x2 24
	x1	0

	x2	0

2. z		х 2 2 х 3 2
			1	2
при условиях:
x1 2x2				12
	x х		2	9
	1
	x1 0

	х2 0

3. z		х 4 2 х 6 2
			1	2
при условиях:
2x1 3x2 12
	x1 х2			1

	x1 0


х2 0

4. z х1 х2

при условиях:

2x1 x2 10
x	x	2	6
1		2
x	2х		2	2
1			2
	x1 0
	0
х2	0

5. z 2х 3х 2х2
				1	2	1
при условиях:
x1 2x2				4
x		х	2	2
	1		2
		x1 0
		x1 0
	х2	0
	х2	0

6. z х1 6 2 х2 2 2

при условиях:

126

x1		2x2					8
3x			х		2	15
	1				2
		x2			1
x1		x2			1
			x1 0
		0
х2		0
7.	z x1 3x2
при условиях:
х 5 2 x									2	3 2 9
		1							2

х1 5 2 x2 3 2 36
					x1 x2 8
					x1 x2 8
							x1 0
							x1 0
							х2 0
							х2 0
8. z 2 х 5 2												х 7 2
						1						2
при условиях:
x1 x2						9
x		2х			2	19
	1				2
			x1 0
			x1 0
		0
х2		0
9.	z 2х						х		х			2
					1			2			1
при условиях:
3x1 2x2								12
			x1 0
			x1 0
	0 x2					3
	0 x2					3
10. z 2 х								7 2			4 х 3 2
						1						2
при условиях:
x1		2x2					2
x		х			6
	1			2
2x1 x2 10
			x1 0
		0
х2		0

127

11. z x1 x2

при условиях:

х 5 2			x	2	3 2	9
	1			2
		5 2 x2 3 2 36
х1		5 2 x2 3 2 36
			x2 8
		x1	x2 8
			x1 0
			x1 0
			х2 0
			х2 0

12. z x1 x2

при условиях:

x1 2x2 2x1 х2 62x1 x2 10x1 0

х2 0

13. z 2х						3х			0,2х2	0,2х2
				1				2	1	2
при условиях:
x1 3x2					13
2x			х	2	10
	1			2
			x1 0
			x1 0
	х2	0
	х2	0
14. z x1 x2
при условиях:
х 5 2 x							2		3 2 9
	1						2
			5 2		x2 3 2 36
х1			5 2		x2 3 2 36
				x1 x2				8
				x1 x2				8
						x1 0
						x1 0
						х2 0
						х2 0

15. z 3х1 6х2 0,3х12 0,3х22

при условиях:

128

9x1 8x2 72
x			2х	2		10
		1		2
			x1 0
			x1 0
			0
х2			0
16. z 3х у
при условиях:
	х2		у2		40
			у2			4
х2			у2			4
			x1 0
			x1 0
	х	2	0
		2

17. z x1 x2

при условиях:

х 5 2 x							2	3 2 9
	1						2
			5 2 x2 3 2 36
х1			5 2 x2 3 2 36
					x1 x2			8
					x1 x2			8
						x1 0
						x1 0
						х2 0
						х2 0
18. z х2						2х		3
				1		2
при условиях:
х2		х		2 10
	1			2
			x1 0
		x2 0
		x2 0
19. z х						3 2		2 х	2 2
					1			2
при условиях:
х1 4х2						16
3х			х		2	15
	1				2
			x1 0
			x1 0
	х2	0
	х2	0