9429

1

через точку O и точку M

0

1;

(рис. 3.7).

3

y

l

1

M 0

3

0

1 x

3. При A 0,

B 0,

C 0 уравнение (3.2) примет

вид

By C 0 или

y

C

.

Это уравнение

прямой на плоскости,

B

C

параллельной

оси

Ox

и

проходящей

через точку 0;

.

B

l

0

x

C

B

Рис. 3.8

Пример. Построить прямую l : 3y 6 0.

Решение. Здесь A 0,

B 3,

C 6. Уравнение прямой l

0

x

l

-2

Рис. 3.9

4. При A 0,

B 0,

C 0

уравнение (3.2) примет вид

Ax C 0 или

x

C

.

A

Это уравнение прямой на плоскости, параллельной оси Oy и

C

проходящей через точку

; 0 (рис. 3.10).

A

C

0

x

A

Рис. 3.10

Пример. Построить прямую l : 2x 1 0 .

Решение. Здесь A 2,

B 0,

C 1. Уравнение прямой l

1

оси Oy и проходящей через точку

; 0 (рис. 3.11).

2

1

0

x

2

5.

При

A 0,

B 0,

C 0

уравнение

(3.2)

примет

вид

By 0

или y 0 . Это уравнение координатной оси Ox .

6.

При

A 0,

B 0,

C 0

уравнение

(3.2)

примет

вид

Ax 0

или x 0. Это уравнение координатной оси Oy .

l

x

Рис. 3.12

Поскольку точка M1 x1; y1 лежит на прямой l то,

подставляя в

уравнение

(3.5)

ее координаты, записываем

уравнение прямой l

в виде

l : y y1 k x x1 ,

(3.6)

где k – пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая l проходит и через точку

M 2 x2 ; y2 , то ее

координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:

y

y

k x x ,

откуда k

y2

y1

.

2

1

2

1

x2

x1

Подставляя найденное значение

k

в уравнение (3.6), получим

уравнение прямой, проходящей через точки M1

и M 2 :

l :

y y1

x x1

(3.7)

y2 y1

x2 x1

32

точки M1 1; 2 и M 2 1;3 .

Решение.

Подставляя

в уравнение (3.7)

x1

1,

y1 2 и

x2 1,

y2 3, находим искомое уравнение прямой

l :

y 2

x 1

;

y 2

x 1

;

2 y 2 1 x 1 ;

x 2 y 5 0 .

3 2

1 1

1

2

Пусть две прямые l1

и l2 заданы уравнениями с угловыми

коэффициентами k1 и k2 ,

соответственно, то есть l1 : y k1 x b1 ;

l2 : y k2 x b2 . Требуется

найти угол , на который надо

l2

l1

1

2

0

x

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2

1

или

2

. Если 90 , то

1

tg tg 2 1

tg 2 tg 1

.

1 tg 1 tg 2

Но так как tg 1 k1 и tg 2

k2 , то

tg

k2 k1

(3.8)

1 k1 k2

33

Пример. Найти угол между прямыми l1 : x 2 y 1 0

и

l2 : 3x y 3 0 .

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1

и

l : 2 y x 1

или l

: y

1

x

1

, значит k

1

;

1

1

2

2

1

2

l2 : y 3x 3 , значит k2

3.

Подставляя найденные значения

k

1

и k

3 в формулу

2

1

2

(3.8), находим угол между прямыми l1

и l2 :

3

1

7

tg

2

2

7 , откуда

arctg 7 .

1

1

3

1

2

2

есть

k2 k1

.

tg

1

k1 k2

Если прямые l1 : y k1 x b1; l2 : y k2 x b2 параллельны, то

0

и tg 0 , следовательно,

из формулы (3.8) получаем, что

k2 k1

0, то есть k2 k1 . И обратно, если прямые l1 и l2 таковы,

что k1

k2 , значит tg 0 , то есть прямые параллельны.

34

Если

прямые

l

и

l

2

перпендикулярны ( ), то

1

2

ctg

1 k1

k2

0,

откуда

k k

1. Справедливо и обратное

2

k2 k1

1

L : 3x 2 y 5 0 ,

L : 2 y 3x 5 ,

L : y 3 x

5 , значит k

3

.

2

2

2

L

Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит

kl kL

1, следовательно, kl

1

2

.

kL

3

Подставляя в уравнение (3.5) kl

2

, x0

1,

y0 2 находим

Пусть в

прямоугольной

декартовой системе

координат

M0 x0; y0; z0 и

задана точка

вектор

N

A;B;C .

Требуется

составить уравнение плоскости,

проходящей через точку M 0 и

0

y

M

x

как плоскость перпендикулярна вектору

N

по условию, то и

вектор M0 M перпендикулярен вектору

N , а значит скалярное

произведение M0 M N 0, или в координатах

A x x0 B y y0 C z z0 0.

(4.1)

Уравнение (4.1) является уравнением плоскости,

проходящей

через

точку

M0 x0; y0; z0

и

перпендикулярной

вектору N

A;B;C .

Вектор

N

A;B;C

называется

вектором

нормали

плоскости.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M0 1;2;3

и перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1;7

и Q 1;2;5 .

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося

вектором нормали плоскости:

N PQ 1;1; 2 .

Подставляя в уравнение (4.1) координаты точки M0 1;2;3 и

найденные координаты вектора

N , находим искомое уравнение

плоскости:

1

x

1

1

y 2

2

z

3

0

или

x y 2z 5 0

Ответ: x y 2z 5 0 .

Далее преобразуем уравнение (4.1):

Ax Ax0 By By0 Cz Cz0

0

или

плоскости вида

Ax By Cz D 0.

(4.2)

Исследуем уравнение (4.2)

1. При A 0, B 0, C 0,

D 0 уравнение (4.2) примет

x

y

y

1,

D

D

B

D

A

C

и обозначив

a D

A

,

b D

B

, c D

C

, получаем уравнение

плоскости «в отрезках»:

x

y

z

1,

(4.3)

b

c

a

D

0

B

y

D

A

x

Следовательно,

x y z 6 – уравнение искомой плоскости.

Ответ: x y z 6 .

Пример. Построить плоскость

6x 2 y 3z 12 0 .

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида

(4.3):

6x 2 y 3z 1;

x

y

z

1.

2

12 12

12

6

4

Отметим на оси Ox точку x 2 ,

на оси Oy точку y 6, на

оси Oz точку

z 4 , и

через

эти

точки

проведем искомую

6

0

y