9433
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, направленность (профиль) Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение, направленность (профиль) Теплогазоснабжение и вентиляция, направленность (профиль) Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, направленность (профиль) Организация инвестиционно-строительной деятельности, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Л.А. Протасова, П.В. Столбов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям
по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, направленность (профиль) Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение, направленность (профиль) Теплогазоснабжение и вентиляция, направленность (профиль) Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, направленность (профиль) Организация инвестиционно-строительной деятельности, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК
Протасова, Л.А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия : учебнометодическое пособие / Л.А. Протасова, П.В. Столбов ; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 92 с. : ил. – Текст : электронный
Изложены вопросы аналитической геометрии, способствующие развитию пространственного воображения и освоению аналитического подхода к изучению геометрических объектов. Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала. Подробно разобраны примеры построения тел, ограниченных заданными поверхностями.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к лекционным и практическим занятиям по направлению подготовки 08.03.01 Строительство, направленность (профиль) Автомобильные дороги, направленность (профиль) Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, направленность (профиль) Водоснабжение и водоотведение, направленность (профиль) Теплогазоснабжение и вентиляция, направленность (профиль) Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, направленность (профиль) Организация инвестиционно-строительной деятельности, направленность (профиль) Промышленное и гражданское строительство
© Л.А. Протасова, П.В. Столбов, 2022
© ННГАСУ, 2022
2
§ 1. Линейная алгебра
Матрицы и действия над ними
Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита, таблицу чисел при этом заключают в круглые скобки.
Пример. 1. |
|
1 |
2 |
3 |
|
– матрица порядка 2 3. |
A |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
B 1 |
2 |
3 – матрица–строка порядка 1 3. |
1
3.C – матрица–столбец порядка 2 1.
2
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.
1 2
Пример. D – квадратная матрица порядка 2 2.
3 4
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы обозначаются строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, в которой рассматриваемый элемент матрицы находится, а второй индекс – номер соответствующего столбца.
Пример. |
|
1 |
2 |
3 |
|
a |
6 – элемент матрицы A , |
A |
|
|
|
. |
|||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
находящийся во второй строке и в третьем столбце.
Заметим, что матрицу A порядка m n можно записать следующим образом: A ai j , i 1, m; j 1, n .
Две матрицы порядка m n считаются равными, если все соответствующие элементы этих матриц равны.
3
То есть A B , если ar s |
br s для любых возможных r |
и s . |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Матрицы A |
и B |
равны, |
так как |
Пример. |
A |
2 |
|
, |
B |
|
2 |
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 b11 1, a21 b21 2, a31 b31 3.
Произведением матрицы A порядка m n на
действительное число называется матрица |
B A того же |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
порядка m n, каждый элемент |
|
bi |
j , |
i 1, m, |
|
j 1, n |
|
которой |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
получен умножением |
соответствующего |
элемента |
|
ai |
j , |
i 1, m, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
j 1, n исходной матрицы A на число . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример. Найти B 2 A, если |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. B |
2 A |
1 |
2 |
2 1 |
2 2 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
2 4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: B |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Суммой двух матриц |
A ai j |
и |
B bi j |
|
одного порядка |
|||||||||||||||||||||||||
m n называется |
|
матрица |
C A B |
того же порядка m n, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
каждый элемент ci j , i 1, m, |
j 1, n которой получен сложением |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
соответствующих элементов ai j |
и |
bi j , i 1, m, |
j 1, n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Пример. Найти C A B, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|||||||||||||
|
если A |
|
|
|
|
|
|
и B |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
|
1 4 |
|
2 3 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||
|
C A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
3 2 |
|
4 1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка можно определить через сумму и умножение на число
1 , то есть A B A 1 B .
Пример. Найти A B , если |
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
||||
A |
|
|
|
|
и B |
|
|
. |
|||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
|||
A B A 1 B |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
4 3 |
|
|
1 |
4 |
2 |
3 |
|
3 1 |
||||||||
|
4 3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением матрицы |
A порядка m n на матрицу B |
|||||
порядка |
n p называется матрица C A B порядка m p , |
|||||
|
|
|
|
|
||
каждый |
элемент ci j , i 1, m, |
j 1, p которой получен как |
произведение элементов i -ой строки матрицы
соответствующие элементы j -го столбца матрицы |
|
B , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ci j ai1 b1 j ai 2 b2 j |
ai n bnj , i 1, m, |
j 1, p . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
5 |
|
Пример. Найти C A B, если A |
|
|
|
и B |
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
c11 a11 b11 a12 b21 1 5 2 7 5 14 19 c12 a11 b12 a12 b22 1 6 2 8 6 16 22 c21 a21 b11 a22 b21 3 5 4 7 15 28 43 c22 a21 b12 a22 b22 3 6 4 8 18 32 50.
Следовательно, |
C |
c11 |
c12 |
|
19 |
22 |
||
A B |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
c21 |
c22 |
|
50 |
||
|
19 |
22 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: C |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
43 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
A на то есть
.
Следует обратить внимание на тот факт, что
1) произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя
– на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в произведении матриц важен;
2)число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B , в противном случае произведение матриц A и B не определено;
3)порядок матрицы-произведения определяется порядком
сомножителей, то есть Am n Bn p Cm p . Следовательно, если
A B A C , то нельзя считать, что B C.
Транспонированной матрицей любой матрицы A порядка
m n называется матрица AT |
порядка n m, которая получается |
||||
из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|||||
Пример. Найти AT , если |
|
1 |
2 |
3 |
|
A |
|
|
|
. |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
Решение. Элементы первой строки матрицы |
A запишем в |
||||||
первый столбец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
A – во второй столбец матрицы A |
T |
, получаем: |
T |
|
2 |
5 |
|
|
A |
. |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определители |
|
Определителем второго порядка квадратной матрицы |
|||
|
a12 |
|
|
называется число |
a11 |
, которое вычисляется по формуле: |
|
|
a21 |
a22 |
|
a11 a22 a12 a21 .
6
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
Решение. |
|
|
2 |
|
1 4 2 3 4 6 10. |
|||||||||
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем |
|
третьего порядка квадратной матрицы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
называется число |
|
a21 |
a22 |
|
a23 |
, которое вычисляется по |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
|
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 |
||||||||||||||
a13 a22 a31 a21 a12 a33 a32 a23 a11 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Пример. Вычислить |
1 |
2 |
3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
1 2 4 1 4 3 2 3 0 3 2 0 |
||||||||||
|
0 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 4 3 1 8 12 0 0 8 12 0 .
Системы линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида
|
a11 x1 a12 x2 |
a13 x3 b1 |
|
|||
|
|
x1 a22 x2 |
a23 x3 b2 |
(1.1) |
||
|
a21 |
|||||
|
|
x1 a32 x2 a33 x3 b3 , |
|
|||
|
a31 |
|
||||
|
bi , |
|
|
|
|
|
где ai j , |
i, j 1,3. |
|
|
7
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1)
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
тогда если 0, то система (1.1) имеет единственное решениеx10 ; x20 ; x30 , которое находим по правилу Крамера. Для этого составим и вычислим вспомогательные определители x1 , x2 ,
x3 системы (1.1):
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
|
a13 |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
x |
|
b2 |
a22 |
a23 |
|
, x |
2 |
|
a21 |
b2 |
|
a23 |
, x |
|
a21 |
a22 |
b2 |
. |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
|
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
Далее по формулам Крамера находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x0 |
|
x |
|
|
x0 |
x |
2 |
|
x0 |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
, |
|
, |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
|
Пример. |
Решить по правилу Крамера систему |
||
x1 x2 x3 2 |
|
|||
|
2x1 x3 1 . |
|
||
|
|
|||
|
3x x |
2 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель |
|||
данной системы |
|
|||
|
|
1 1 |
1 |
|
|
2 0 |
1 1 0 0 2 1 1 1 1 3 1 0 3 |
3 1 0
2 1 0 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 6.
Так как 6 0, то данная система имеет единственное решение.
8
Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
1 |
|
|
|
0 1 |
2 0 0 1 1 1 1 1 5 1 0 5 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 1 0 1 1 2 0 1 5 0 0 2 6 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
2 |
|
|
1 1 |
1 1 0 2 5 1 2 1 3 1 1 3 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 2 0 5 1 1 0 10 6 3 0 5 12; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
2 |
|
|
|
0 1 |
|
1 0 5 2 1 2 1 1 3 2 0 3 |
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 1 1 2 1 5 0 4 3 0 1 10 18. |
|||||||||||||
Далее, по формулам Крамера, находим |
||||||||||||||||||
x0 |
|
|
x |
|
6 |
|
1, |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
x |
|
12 |
2 , |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
x |
|
18 |
3. |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем проверку найденного решения 1; 2;3
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
9