Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9433

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Закрепленным вектором AB (или AB ) называется

направленный отрезок, у которого выделено начало			A и конец
B. Длиной вектора
B. Длиной вектора	AB	называется длина	отрезка,

изображающего данный вектор.

Два закрепленных вектора называются эквивалентными, если у них совпадают длина и направление. Множество эквивалентных закрепленных векторов называется свободным вектором. Свободные векторы обозначают маленькими буквами латинского алфавита (например, a или со стрелкой a ).

Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, и его началом можно считать любую точку пространства. Тем самым, запись a AB означает, что свободный вектор a откладывается от точки A (рис. 2.1).

Рис. 2.1

В векторной алгебре всегда имеют дело со свободными векторами (далее – просто векторами).

Назовем вектор ортом, если его длина в заданном масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов,

чаще используют буквы e , i , j , k e i j 1 .

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 0 .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c a b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец

– с концом вектора b , если конец вектора a и начало вектора b совмещаются (рис. 2.2).

a b

Рис. 2.2

Противоположным вектору a называется такой векторa , который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть a a 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора b , противоположного вектору b , то есть a b a b .

Произведением вектора a на число называется такой вектор a , направление которого совпадает с вектором a , если0 и противоположно направлению вектора a , если 0; длина же вектора a равна произведению на длину вектора a :

a a .

Пусть дан вектор a (рис. 2.3). Изобразим для примера векторы b 2a и c 3a :

b 2a


c 3a				Рис. 2.3

Свойства линейных операций над векторами

1.a b c a b c

2.a b b a

3.a 0 a

4.a a 0

5.a a

6.a b a b

7.a a a

8.1 a a , где , , , – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства называются базисными векторами или

декартовым базисом пространства. Любой вектор a

пространства может быть единственным образом разложен по

векторам базиса i , j , k (рис. 2.4):

a a1 i a2 j a3 k .

Коэффициенты a1 , a2 , a3 разложения вектора по базису называются его координатами. Коротко это записывают равенством a a1 , a2 , a3 .

a a

Если два вектора1 и b координатами a a1 , a2 , a3

j a2

в декартовом базисе заданы своими

и b b1 ,b2 ,b3 , то	Рис.2.4

1)a a1 , a2 , a3 ;

2)a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 .

Пример. Найти координаты вектора c 2a b , если a 1; 2;3 , b 1;0;1 .

Решение:

2a 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 .

c 2a b 2; 4;6 1;0;1 2 1 ; 4 0;6 1 1; 4;7 .

Ответ: c 1; 4;7 .

Прямоугольной декартовой системой координат в

пространстве называется совокупность точки O и базиса i, j, k . Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат в направлении базисных векторов i , j и k называются осями координат. Плоскости xOy ,

xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат, называются координатными плоскостями.

Вектор OM , соединяющий начало координат и произвольную точку M пространства, называется радиусвектором точки M . Координаты радиус-вектора OM называются координатами точки M в прямоугольной декартовой системе координат. Тем самым, обозначение координат точки M x; y; z

соответствует равенству OM x; y; z , то есть координатами точки M являются проекции вектора OM на оси Ox , Oy и Oz соответственно (рис. 2.5)

		z
			M
		O
	B		y
	B
			A
	x		A
Длина вектора OM находится			из двух прямоугольныхРис. 2.5
треугольников OBA и OAM :
OA2 OB 2 AB 2 x2 y2 ;

OM OA2 AM 2 x2 y2 z2 .

Пример. Найти

, если a i 2 j 2k .

Поскольку

то длина

вектора

Решение.

1; 2; 2 ,

12 2 2 22 3.

Ответ:

Если для

вектора

известны

координаты

его

начала

A x1; y1; z1

конца

B x2; y2; z2 ,

то

можно

найти его

координаты,

учитывая,

что

AB OB OA :

x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

Пример. Найти координаты вектора

AB , если A(1;2;3) ,

B( 1;0;1).

Решение:

AB 1 1;0 2;1 3 2; 2; 2 .

Ответ: AB 2; 2; 2 .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих

векторов на косинус угла между ними: a b a b cos(a b) .

Свойства скалярного произведения

1)a b b a ;

2)a b a b , R;

3)a b c a b a c;

4)a a a 2 или

a a .

(2.1)

Пример. Найти

длину вектора c a 2b , если

2 ,

b 1, a b 60 .

Решение. По формуле (2.1), находим

c c c a 2b a 2b a 2 4a b 4 b 2

4 4 2 1 cos60 4

22 4

cos a b 4 12

8 8

12 2 3 .

Ответ:

3 .

Если

два

вектора a и b

заданы своими

координатами

b1;b2 ;b3 ,

a1; a2 ; a3 и

то их

скалярное

произведение

находим по формуле

a b a1 b1 a2b2 a3b3 .

(2.2)

Пример. Найти скалярное

произведение векторов 2a и

, если

1; 2;3 и

0; 1;1 .

Решение. Координаты векторов 2a и 3b

2a 2 1; 2;3 2 1; 2 2; 2 3 2; 4;6 ;

3b 3 0; 1;1 3 0; 3 1 ; 3 1 0;3; 3 .

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно

2a 3b 2 0 4 3 6 3 0 12 18 6.

Ответ: 6.

Некоторые приложения скалярного произведения

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a a1; a2 ; a3 и

b1;b2 ;b3 из определения

скалярного произведения

вычисляется по формуле

a b

(a b) arccos

или

a1b1 a2b2

a3b3

(a b) arccos

(2.3)

Пример. Найти угол между векторами a i 2 j 2k и b j k .

Решение. Координаты векторов a и b : a 1; 2; 2 и b 0; 1;1 .

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:

1 0 2 1

2 1

arccos 0 1

(a b) arccos

22 22 02 1 2 12

3 0

arccos 0 , следовательно,

(a b) 90 , то есть a b.

Ответ: 90 .

2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле

Пример. Найти np

b , если

a i k и

b 2i j .

Решение. Координаты векторов

1;0; 1 ,

2;1;0 .

Тогда


			a		b	1 2 0 1 1	0	2
np		b	a		b	1 2 0 1 1	0	2	2 .
np		b							2 .
	a			a		12 02 1 2	2
				a		12 02 1 2	2

Ответ: np a b 2 .

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c кратчайший

поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден

происходящим против хода часовой стрелки (и левую, если по часовой) (рис. 2.6)


			c
c			c

	b	b

правая

левая

a b c вектора a

Векторным произведениемтройка

на вектор b

тройка

называется такой вектор c , что

Рис.2.6

c a , c b ;

sin a b ;

3) тройка векторов a , b , и c – правая.

Из определения векторного произведения непосредственно

вытекают следующие соотношения между ортами i , j , и k :

i j k ,

j k i ,

k i j .

Поскольку тройки векторов

левые,

то

j i k ,

k j i ,

i k j .

Свойства векторного произведения

1)a b b a ;

2)c a b c a c b;

3)a b a b a b , R;

4)a b 0 a || b .

Векторное произведение двух векторов a a1; a2 ; a3 и b b1;b2 ;b3 находится по формуле

a b

Пример. Найти

векторное

произведение векторов

a 1; 2;3 и b 0;1; 1 .

Решение.
			3		1	3		1	2
		2
	a b	2		i			j			k
		1	1		0	1		0	1

2 3 i 1 0 j 1 0 k 5i j k .

Ответ: a b 5i j k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах

a и b (рис. 2.7) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как

a b a b sin Sпарал. .

a Рис. 2.7

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b :

S 12 Sпарал. 12 a b .

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.67 Mб09429.pdf
#
21.11.2023164.12 Кб0943.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09430.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09431.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09432.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09433.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09434.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09435.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09436.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09437.pdf
#
25.11.20232.67 Mб09438.pdf