9498

30

Из сравнения формулы (3.8) для поступательного движения и формулы

(6.10) для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

6.5. СЛУЧАИ СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

Из теоремы об изменении кинетического момента следуют два положения.

Следствие 1

Если главный момент внешних сил механической системы относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра остается неизменным.

Действительно, если ∑=1 ( ) = 0, то = 0 и = .

Следствие 2

Если главный момент внешних сил относительно какой-либо оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается неизменным.

Действительно, если ∑=1 ( ) = 0 то dKdtz 0 и Kz const.

1.Если механическая система представляет собой одно неизменяемое твердое тело, то = = и поэтому = , то есть тело вращается равномерно.

2.Если система изменяема, то из = следует, что увеличение момента инерции вызывает уменьшение угловой скорости (и

наоборот).

3.Если система состоит из двух (или нескольких) вращающихся тел с одной осью вращения, то из = следует, что 1∆1 + 2∆2 = 0 , и, следовательно, вращение одного тела будет вызывать вращение

31

Рис. 6.4

Тема 7.

Мощность и работа

7.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ И РАБОТЫ СИЛЫ

1. Мощность силы Мощностью силы называется величина, равная скалярному произведению

силы на скорость точки ее приложения:

Мощность может быть как положительной, так и отрицательной (рис. 7.1 ).

2. Работа силы

Введём понятие элементарной работы.

Элементарная работа есть скалярное произведение вектора силы на бесконечно малое приращение радиус-вектора (рис. 7.2):

34

Из кинематики известно, что при рассмотрении процесса движения в

«естественном» базисе , ,

где – единичный вектор касательной,

– единичный вектор нормали (см. рис. 7.3),

справедливы следующие зависимости:

Когда проекция силы на касательную к траектории постоянна, то есть

= , получаем, что

7.2.ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОЩНОСТИ И РАБОТЫ

1.Работа силы тяжести

Пусть тело массой m двигается под действием силы тяжести (рис. 7.4)

по некоторой траектории из точки А в точку В.

35

x

Рис. 7.4

Как было сказано в предыдущем параграфе, работа силы, записанная в аналитической форме равна:

A B dA B Fx dx Fy dy Fz dz

AA

Вданном случае Fx Fy 0, a Fz mg .

Выполняя интегрирование, получим:

При движении в обратном направлении получим тот же результат (рис. 7.4), но с противоположным знаком. Таким образом

(7.14)

Видим, что работа силы тяжести зависит только от начального и конечного положений точки. Силы, при действии которых работа не зависит от вида траектории, называются потенциальными силами.

2.Работа силы упругости

При растяжении (деформировании) в упругих элементах, таких как

тросы, стержни или пружины, возникает сила, препятствующая

деформации.

36

Пусть некоторое тело закреплено на пружине, имеющей длину l , как показано на рис. 7.4. Пусть этому телу в начальном состоянии (состояние А) соответствует координата

Рис. 7.4

В процессе деформирования пружина изменяет длину на некоторую величину x , которая изменяется от нуля до l (состояние В). Возникающая при этом в пружине сила упругости будет препятствовать деформации

(рис. 7.4). В соответствии с законом Гука, её проекция на х будет равна

Fx Cx,

где C – коэффициент, называемый жёсткостью пружины.

Итак, полная работа силы упругости при удлинении пружины на величину l будет равна

Заметим, что сила упругости тоже является потенциальной.

3.Работа внутренних сил

Суммарная мощность внутренних сил может быть не равна нулю.

Например, при выстреле из орудия = 1 + 2 > 0 , так как направления скоростей совпадают с направлением сил (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5

Но можно указать ряд случаев, когда внутренние силы «не работают», и

использовать этот факт при решении задач.

1. Суммы мощностей и работ внутренних сил в абсолютно твердом

теле равны нулю.

Покажем это.

38

Поскольку внутренние силы всегда возникают попарно, то и общая сумма

мощностей будет равна нулю.

2. Внутренние силы, возникающие в нерастяжимой, абсолютно

гибкой нити, также не совершают работы.

Механические системы, в которых суммарная мощность и работа внутренних сил равны нулю называют неизменяемыми.

Признаки неизменяемых механических систем:

1.Они должны состоять из абсолютно твердых тел и абсолютно гибких нерастяжимых нитей.

2.При взаимодействии тел системы должно отсутствовать взаимное проскальзывание.

Примечание: В примере с орудием нарушены оба признака: газ

расширяется, снаряд проскальзывает по стволу.

7.3.РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ

1.Работа при поступательном движении тела

Рассмотрим тело, совершающее поступательное движение под

при поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы (рис. 7.7,б) и равны скорости центра масс .

39

Выразим мощность, развиваемую всей системой сил при

поступательном движении:

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твёрдому телу,

при поступательном движении равна работе главного вектора всех внешних сил на элементарном перемещении центра масс.

2.Работа при вращательном движении тела

Рассмотрим тело, совершающее вращательное движение относительно

оси z под действием системы n внешних сил (1, 2, … , ) (рис.7.8,а).

Известно, что при вращательном движении точки тела движутся по окружности и их скорости направлены по касательной к окружности (рис. 7.8,б) и пропорциональны расстоянию до оси вращения: vi Ri ,

где – угловая скорость.

Кроме того, из §7.1 известно, что мощность имеет только та составляющая силы, которая направлена по касательной к траектории, то

есть .