9498
.pdf
40
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
а |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
|
|
|
|
|
||
|
|
траектория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
i |
|
|
R i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
90 |
|
F1 |
|
|
|
|
|
Fi |
F2 |
|
Fi |
|
|
|
|
v
Рис. 7.8
Выразим мощность, развиваемую всей системой сил в процессе
вращательного движения:
= ∑ |
|
= ∑ |
|
|
∙ = ∑ |
|
|
= (∑ |
|
|
|
|
, |
(7.18) |
=1 |
=1 |
|
=1 |
=1 |
) = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M z e – главный момент всех внешних сил относительно оси вращения.
Учитывая, что dt d |
и |
dA N dt , получим |
выражение |
элементарной работы внешних сил: |
|
|
|
dA N dt M z e dt M z e d . |
(7.19) |
||
Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твёрдому телу, при вращательном движении равна работе главного момента всех внешних сил на элементарном угловом перемещении.
3.Работа при плоскопараллельном движении
Как известно из основной теоремы статики, любая система сил при
приведении к заданному центру заменяется одной силой, равной главному
вектору, и одной парой, момент которой равен главному моменту системы
сил.
41
Главный вектор, приложенный в центре масс, будет побуждать тело к совершению поступательного движения, а главный момент, действуя независимо, – к совершению вращательного движения (рис. 7.9).
C |
|
|
|
|
Re |
Mzce
Рис. 7.9
Мощности и элементарные работы при этом будет суммироваться:
|
∙ |
|
|
|
, |
(7.20) |
||
= |
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
. |
(7.21) |
||
= |
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементарная работа внешних сил, приложенных к твёрдому телу,
при плоскопараллельном движении складывается из работы главного вектора внешних сил приложенного в центре масс на элементарном перемещении центра масс и работы главного момента относительно оси проходящей через центр масс на элементарном угловом перемещении относительно этой оси.
42
Тема 8.
Теорема об изменении кинетической энергии
8.1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Кинетической энергией материальной точки называется величина, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости:
T |
1 |
mv2 |
(8.1) |
|
2 |
||||
|
|
|
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек
n |
1 |
|
|
|
T |
mk vk |
2 |
(8.2) |
|
2 |
|
|||
k 1 |
|
|
|
Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формуле аналогичной
(8.2) с той разницей, что сумма заменяется интегралом:
= |
1 |
∫ 2 |
, |
(8.3) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
где m ─ масса бесконечно малого объема тела, а v ─ его скорость.
Примечания:
Кинетическая энергия не может быть отрицательной;
Кинетическая энергия (так же как и скорость) зависит от выбора системы отсчета.
Размерность кинетической энергии ─ джоуль:
[ ] = кг ∙ м2⁄с2 = Дж.
Рассмотрим, как записывается кинетическая энергия при различных формах движения тела.
Поступательное движение тела
При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы и совпадают со скоростью центра масс. По этой причине (8.3) упрощается:
= |
1 |
2 |
∫ |
= |
1 |
2 |
(8.4) |
||
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
43
Вращательное движение тела
z 
Рассмотрим бесконечно малый элемент тела dm,
находящийся на расстоянии h от оси вращения.
Его скорость равна
= .
dm |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
= |
2 |
∫ |
= |
2 |
∫ |
|
= |
2 |
|
|
∫ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.1
Последний интеграл является моментом инерции. Окончательно получаем:
= |
1 |
2. |
(8.5) |
|
2 |
||||
|
|
|
Плоскопараллельное движение тела
При рассмотрении плоского движения тела применим теорему Кенига.
ТЕОРЕМА Кенига:
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии поступательной части движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении относительно центра масс.
Рассмотрим материальное тело.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2. |
|
Кинетическая энергия поступательной части его движения равна 2 |
||||||||||||||
|
||||||||||||||
Относительное движение |
тела |
относительно центра |
масс |
является |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2. |
|
||
вращательным, поэтому его кинетическая энергия равна 2 |
|
|||||||||||||
С |
|
|
|
|||||||||||
В результате в соответствии с теоремой Кенига получаем, что |
|
|
|
|||||||||||
|
= |
1 |
2 |
+ |
1 |
|
|
2, |
|
|
|
(8.6) |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
пл |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
44 |
|
|
где |
|
|
− скорость центра массы тела, а |
− |
момент инерции тела |
|
|
|
|
||
относительно оси, проходящей через центр массы |
тела перпендикулярно |
||||
плоскости вращения. |
|
|
|||
8.2. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ФОРМЕ
ТЕОРЕМА
Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех действующих в системе сил:
|
= ∑ |
|
(8.7) |
|
|||
|
=0 |
|
|
|
|
|
или, после разделения мощностей внешних и внутренних сил:
|
= ∑ |
+ ∑ |
|
|
|
=0 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Для неизменяемых систем, у которых внутренние силы не работают,
получим:
|
= ∑ |
|
|
=0 |
|
|
|
Доказательство
Уравнения движения одной материальной точки = .
Умножим левую и правую части равенства на скорость точки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ = ∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем левую часть: ∙ = ∙ |
|
= |
|
( |
1 |
|
2) = |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|||||
В правой части равенства получили мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∙ = . |
|||||||
Таким образом, для материальной точки теорема справедлива:
=
Запишем такие равенства для всех точек материальной системы и сложим их.
Получим равенство
∑ |
|
= ∑ |
|
или |
|
= ∑ |
|
|
|
||||||
=1 |
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана
45
Вывод |
Величина мощности влияет на скорость изменения кинетической
энергии.
8.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ТЕОРЕМА
Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех действующих в системе сил:
− |
= ∑ |
|
|
(8.8) |
0 |
=1 |
|
|
Или, выделяя отдельно работы внешних и внутренних сил:
− = ∑ |
|
|
|
+ |
∑ |
|
|
=1 |
|
=1 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|||
где T ─ начальное, а T0 ─ конечное значение кинетической энергии. |
|||||||
Для неизменяемых систем |
(∑ |
|
|
= 0 ) можно записать: |
|||
=1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
− = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
||
Доказательство
Запишем теорему в дифференциальной форме и проинтегрируем левую и правую части равенства по времени за промежуток времени (0,t):
∫0 = ∫0 ∑ .
Преобразуем левую часть равенства:
∫ |
|
= | |
= − 0 |
|
|||
0 |
0 |
|
|
Преобразуем правую часть равенства:
∫0 ∑ = ∑ .
Приравнивая, получим − 0 = ∑=1 .
Теорема доказана
46
Тема 9.
Потенциальное силовое поле
9.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ
Потенциальными или консервативными силами называются силы,
работа которых не зависит ни от траектории, по которой движется точка приложения силы, ни от характера этого движения, а определяется только начальным и конечным положением точки.
Силовым полем называется область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, однозначно определенная в любой момент времени по величине и по направлению:
= ( , , , ).
Силовое поле называется стационарным, если действующая в нем сила не зависит от времени:
= ( , , ).
Силовое поле называется однородным, если действующая в нем сила постоянна как вектор:
= .
Силовое поле называется потенциальным или консервативным, если для него существует функция координат П( , , ), такая, что проекции
действующей силы могут быть вычислены через ее частные производные:
|
= − П⁄ ; |
|
= − П⁄ ; |
= −П⁄ . |
(9.1) |
|
|
|
|
|
|
Эта функция называется потенциальной энергией. |
|
||||
Потенциальной энергией механической системы называется сумма |
|
||||
потенциальных энергий ее точек: |
|
|
|||
|
П = ∑=1 |
П . |
|
|
|
Для исследования скалярных функций нескольких переменных используют векторную функцию, которую называют градиентом:
|
|
47 |
|
|
|
|
П |
+ |
П |
+ |
П |
П(, , ) = |
|
|
|
.
Так как |
|
|
|
|
|
то можно записать, что |
= + + , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(9.2)
Силовое поле является потенциальным при выполнении следующих условий:
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
, |
|
= |
|
, |
|
= |
|
. |
(9.3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Примечания:
Из (9.1) следует, что если П(x,y,z) потенциальная функция, то П(x,y,z)+C является потенциальной функцией того же самого силового поля.
Из (9.3) следует, что однородное силовое поле всегда является потенциальным.
9.2. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СИЛЫ
В соответствии с (9.1) элементарная работа потенциальной силы равна:
|
|
|
|
П |
+ |
П |
+ |
П |
) = −П. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
= ∙ = + + = − ( |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
То есть для потенциальной силы элементарная работа представляет собой полный дифференциал некоторой функции координат:
= −П. |
(9.4) |
Из (9.4) следует, что мощность потенциальной силы равна: |
|
= − П⁄ |
(9.5) |
Вычислим работу потенциальной силы конечном перемещении |
|
|||
материальной точки по произвольной траектории из положения |
в другое |
|||
положение: |
|
|
|
|
( |
→ ) = ∫ = − ∫ П = −П| |
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
||
или |
|
|
|
|
(0 |
→ ) = П(0, 0, 0) − П( , , ) |
|
(9.6) |
|
48
Работа потенциальной силы равна разности начального и конечного
значений потенциальной энергии и не зависит от вида траектории и
характера движения.
По этой причине работа потенциальной силы при перемещении по
замкнутому контуру всегда равна нулю.
M x, y, z
M |
0 x0 , y0 , z0 |
M |
0 x0 , y0 , z0 M x, y, z |
|
|
Рис. 9.1
Примеры:
Потенциальным является поле силы тяжести. Потенциальная энергия в поле силы тяжести зависит только от положения материальной точки по вертикали (от координаты z) и равна П = mgz.
Потенциальная энергия системы материальных точек в поле силы тяжести зависит только от положения центра масс системы по вертикали (от координаты zС) и равна П = mgzС.
Потенциальным является поле силы упругости. Потенциальная энергия зависит только от смещения точки в направлении растягиваемого или сжимаемого элемента (координаты x) и равна П = cx2/2.
9.3. КОНСЕРВАТИВНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Консервативной называется механическая система, в которой полная
механическая энергия сохраняется постоянной: = .
Полная механическая энергия системы равняется сумме кинетической и
потенциальной энергий:
= + П.
49
Рассмотрим материальную точку М, на которую действуют только потенциальные силы.
При перемещении из точки М0 в точку М суммарная работа сил будет равна разности начального и конечного значений потенциальной энергии:
∑= П0 − П.
Вто же время суммарная работа сил равна изменению кинетической энергии
(теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме):
∑ |
= − . |
|
|
0 |
|
Правые части этих равенств равны, то есть |
||
П0 − П = − 0 или |
0 + П0 = + П , |
|
откуда следует, что |
|
|
0 = или = .
Вывод:
Если все действующие в системе силы потенциальны, то эта система является консервативной.
Если в системе действуют непотенциальные силы, то полная механическая энергия сохраняться не будет, часть ее будет переходить в другие формы энергии (тепловую и т.п.) и рассеиваться. Такие
системы называются неконсервативными или диссипативными (
dissipation ─ рассеивание).