9618

По наличию ограничений методы нелинейного программирования делятся на:

без ограничений (безусловная оптимизация),

с ограничениями (условная оптимизация).

По типу информации, используемой в алгоритме поиска экстремума методы делятся на:

методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при поиске экстремума целевой функции используются только ее значения;

градиентные методы первого порядка, в которых при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных;

градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные.

Ни один метод нелинейного программирования не является универсальным.

Вкаждом конкретном случае необходимо приспосабливать применяемый метод к особенностям решаемой задачи.

Взадаче ЛП допустимое множество R всегда является выпуклым с конечным числом крайних точек. Поэтому воспользовавшись симплекс-методом и перебрав только крайние точки, можно за конечное число шагов найти оптимальное решение. В задачах НП, наоборот, выпуклость допустимого множества и конечность числа его крайних точек совсем необязательны. Это и служит причиной основной трудности решения задач НП.

Рассмотрим некоторые важные понятия и теоремы классического анализа,

которые лежат в основе классических методов поиска условного экстремума. Теорема 1. (теорема существования экстремума). Если - непрерывная функция, определенная на замкнутом и ограниченном множестве, то она достигает на этом множестве, по крайней мере один раз, своих максимального и минимального значений.

Следующая теорема определяет возможные местоположения максимума (или минимума).

достигается в одной или нескольких точках, которые принадлежат одному из следующих множеств: 1) S1 - множество стационарных точек; 2) S2 - множество точек границы; 3) S3 - множество точек, где функция недифференцируема.

Определение 1. Множество точек S1(x1, x2, ..., xn) функции f(x) называется множеством стационарных точек, если они удовлетворяют условию

111

Определение 2. Функция f(x) достигает локального максимума в точке , если для всех точек x, лежащих в малой окрестности

точки имеет место неравенство

Определение 3. Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в точке x0, если для всех точек справедливо неравенство

Для нахождения стационарных точек функции f(x) можно использовать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если в некоторой внутренней точке области R

функция f(x) достигает относительного максимума, то

Для того чтобы определить, являются ли найденные стационарные точки точками максимума или минимума, необходимо исследовать функцию в окрестности стационарных точек и определить, является

она выпуклой или вогнутой.

Задачи на безусловный экстремум.

Среди множества оптимизационных задач выделяют группу классических задач оптимизации на безусловный экстремум. Общая постановка таких

Пусть f(x)- действительная дважды непрерывно дифференцируемая функция аргумента x (x1, x2 ,..., xn )

Требуется найти наибольшее (или наименьшее) значение данной функции и

такое значение аргумента x0 (оптимальное решение), при котором этот экстремум достигается .

Если x0 точка является точкой экстремума функции, то она является стационарной точкой функции, т.е. частные производные в этой точке равны нулю:

112

f

xi (x0 ) 0,i 1, n

Таким образом, экстремумы функции следует искать среди ее стационарных точек. Однако ,возможно, не каждая стационарная точка является точкой экстремума.

Для решения вопроса о наличии экстремума функции многих переменных в стационарной точке находят значения вторых частных производных в этой точке и из полученных чисел составляют матрицу, которая называется

Для того, чтобы функция f(x) имела в стационарной точке локальный минимум, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все главные диагональные миноры матрицы Гессе были положительны.

Для того, чтобы функция f(x) имела в стационарной точке локальный максимум, необходимо и достаточно, чтобы у матрицы Гессе главные диагональные миноры нечетных степеней были отрицательны в этой точке, а миноры четных степеней – положительны.

Порядок решения задач на безусловный экстремум.

1. Найти f ' (x) и составить систему:

f x1 ' (x) 0

.......

f ' (x) 0

xn

2. Найти все решения полученной системы (стационарные точки). Пусть x0- одна из критических точек.

3. Найти f "(x 0) .

4. Вычислить все главные миноры . Возможны три варианта:

 Все миноры положительные .В этом случае точка является точкой локального минимума.

Знаки миноров чередуются, начиная с «-». В этом случае точка является точкой локального максимума.

113

 Во всех остальных случаях стационарная точка не является точкой локального экстремума.

Замечание. Если хотя бы один из главных миноров равен нулю, то наличие точек экстремума необходимо определять прямым путем: составить приращение функции в окрестности точки и исследовать знак этой погрешности.

Задачи на условный экстремум (Метод множителей Лагранжа).

Многие задачи оптимизации имеют своей математической моделью следующую задачу на экстремум с ограничениями типа равенств:

L=f(x1,x2,…xn)→max(min)

при ограничениях gi(x1,x2,…xn)=0 , i=1,2,…,m.

Предположим , что функции f(x1,x2,…xn) и gi(x1,x2,…xn) непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Ограничения заданы в виде уравнений , поэтому для решения задачи воспользуемся методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

F(x1 , x2 ,..., xn , 1, 2 ,..., m ) f (x1, x2 ,..., xn )

m

i gi (x1 , x2 ,..., xn ),

i 1

где i множителиЛагранжа

Затем определяются частные производные :

F , j 1, n, F , i 1, m

xJ i

Приравнивая к нулю частные производные , получаем систему. Решая систему, получим множество точек , в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными.

Решение.

Найдем стационарные точки. Для этого найдем частные производные первого порядка

114

y 6 6x1x1

y 4 2x2 x2

Приравняем их к нулю и решим систему

Получили одну стационарную точку А(1;2). Проверим, является ли она точкой экстремума.

Найдем вторые частные производные и составим матрице Гессе.

Функция имеет в т. А локальный максимум.

xmax (1;2), ymax 12

Пример 2. Найти экстремум функции z 2x 4x при условии x 2 4x 2 8 .

Решение. Заметим, что функции z и (x , x ) x 2 4x 2 8 непрерывны и имеют

непрерывные частные производные.

Составим функцию Лагранжа:

m

L(x1, x2 , ) f (x1 , x2 ) i i (x1 , x2 )

Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

115

C 22L 8 4 0x 2

2) 4 0

А<0

Значит, в этой точке локальный максимум. Существует еще третий случай:

3) 0 нет экстремума.

Контрольные вопросы.

1)В чем особенность постановки задачи нелинейного программирования.

2)Классификация методов нелинейного программирования.

3)Алгоритм решения задач на безусловный экстремум.

4)Алгоритм решения задач на условный экстремум.

5)В чем особенность нелинейного программирования?

6)Отличие задачи нелинейного программирования от задач линейного программирования.

7)В чем заключатся метод множителей Лагранжа?

8)Что такое стационарная точка?

9)Как определить оптимальность стационарной точки?

10)Для чего строят матрицу Гессе?

11)Отличие условной оптимизации от безусловной.

12)Как определить является ли стационарная точка точкой экстремума?

117

Практические занятия

Тема 1 Экономико-математические методы и их применение при

решении земельнокадастровых задач

Применение производственных функций для решения землеустроительных задач.

Производственная функция – это математически выраженная зависимость результатов производства от производственных факторов. Уравнение производственной функции имеет вид:

у=у(х1,х2,…,хk),

где у – результативный показатель;

х1,х2,…,хk – величины, выражающие различные факторы производства.

Существует несколько способов представления производственных функций

Табличный – чаще всего применяется при изучении зависимостей, полученных в результате прямых наблюдений;

Графический способ - более нагляден, однако точность определения значения функции ограничена;

Аналитический – является основным, это уравнение, показывающее порядок вычисления результативного показателя при заданных факторах производства;

Номографический способ – применяется для быстрого определения значения функций и реализации аналитических форм между переменными, когда не требуется высокой точности результата.

Знание производственных функций позволяет проводить анализ различных производственных факторов, прогнозировать уровень результатов производства, оптимизировать производство тех или иных продуктов, оценивать допустимые пределы взаимозаменяемости различных ресурсов.

О практической ценности построенных производственных функций можно судить только после оценки её статистической достоверности. Такая оценка производится путем вычисления коэффициентов корреляции, корреляционных отношений и различных статистических величин,

характеризующих тесноту связи результативного и факторного показателей.

Регрессионную зависимость, используемую в качестве функционального представления производственной функции, можно построить практически по любой выборке. В то же время,

функциональное (однозначное) представление – это идеализация. В действительности зависимости не однозначны и имеют статистический характер, то есть связь результатов с производственными факторами не абсолютная. Поэтому наряду с функциональным представлением производственных функции проводят корреляционно-регрессионный анализ этих функций.

Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными переменными и оценки ее тесноты. В качестве характеристики может использоваться

118

коэффициент корреляции, показывающий, насколько зависимость, выраженная выборкой, близка к линейной.

В геометрической интерпретации коэффициент корреляции r показывает, насколько геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к прямой линии. В соответствии с определением коэффициента парной корреляции его значения находятся в интервале [-1,1]. Принято считать, если модуль коэффициента r находится в интервале 0..0,15, то линейная связь отсутствует.

При ׀r׀=0,16..0,2 связь плохая; при ׀r׀=0,21..0,3 – слабая; при ׀r׀ = 0,31..0,4 – умеренная, при ׀r׀ = 0,41..0,6 – средняя, при ׀r׀ = 0,61..0,8 - высокая, при ׀r׀ = 0,81..0,9 – очень высокая, при ׀r׀ = 0,91..1 –

полная. При положительных значения коэффициент корреляции говорит о прямой связи, при отрицательных – об обратной.

С помощью корреляционного анализа решается задача установления существующей связи между случайными величинами. Корреляционная связь отражает лишь усредненную тенденцию изменения зависимого показателя от изменения одного или нескольких параметров-аргументов.

Метод корреляции необходим для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить: какова бы была зависимость между результатом и факторами, если бы эти посторонние факторы не искажали основную зависимость, что достижимо при большом числе наблюдений.

В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две задачи:

1)измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной (зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков);

2)измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.

С этой целью вначале находят уравнение связи, а затем определяют степень тесноты связи изучаемых переменных.

На этапах корреляционного анализа формируется выборка однородных элементов, собирается исходная информация об этих объектах и отбираются основные параметры. Далее подключаются приемы регрессионного анализа, с помощью которых определяется вид регрессионной модели,

рассчитываются ее параметры и оцениваются параметры ее адекватности. Так как корреляционный и регрессионный виды анализа дополняют друг друга, то принято говорить о комплексном корреляционно-регрессионном анализе.

Основные этапы корреляционно-регрессионного анализа:

– Формирование выборки однородных объектов. Статистическая выборка объектов должна быть однородной в функциональном и конструктивно-технологическом отношении и достаточно многочисленной. Исследуемый стоимостной показатель должен быть приведен к одним условиям его исчисления у всех объектов в выборке.

119

–Отбор основных влияющих параметров-аргументов с целью учета как можно большего числа влияющих параметров, построив тем самым более точную множественную регрессионную модель.

–Логический анализ отбора параметров – исходит из понимания того, какую по экономическому смыслу регрессионную модель необходимо получить.

–Формальный статистический анализ отбора параметров использует приемы корреляционного анализа;

–Определение параметров регрессионных моделей с помощью линейных и степенных

функций;

–Выбор итоговой регрессионной модели из нескольких рассчитанных, после проверки каждой из них на тесноту и достоверность связи.

Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение

зависимости между переменными.

В общем случае две величины могут быть связаны функциональной зависимостью, либо

зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет

изменение распределения другой.

Статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение

среднего значения другой, называется корреляционной.

Корреляционные зависимости занимают промежуточное положение между функциональной

зависимостью и полной независимостью переменных.

Между величинами, характеризующими экономические явления, в большинстве случаев

существуют зависимости, отличные от функциональных.

Если с увеличением x значение зависимой переменной Y в среднем увеличивается, то такая

место отрицательная или обратная корреляция.

Если с изменением x значения Y в среднем не изменяются, то говорят, что корреляция – нулевая.

Корреляционно-регрессионный анализ учитывает межфакторные связи, следовательно, дает более полное измерение роли каждого фактора: прямое, непосредственное его влияние на результативный признак; косвенное влияние фактора через его влияние на другие факторы; влияние всех факторов на результативный признак. Если связь между факторами несущественна, индексным анализом можно ограничиться. В противном случае его полезно дополнить корреляционно-

регрессионным измерением влияния факторов, даже если они функционально связаны с

120