Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9722

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

1.2. Сложение матриц и умножение на число. Сумма (разность) двух матриц A и B одинакового размера определяется следующим образом

A ± B =|| aij ± bij || .

Поскольку введенные операции сводятся к соответствующим операциям над элементами матриц, то следующие законы сложения очевидны:

A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C , A + 0 = A ,

где символом « 0 » обозначена нулевая матрица соответствующего размера, все элементы которой равны нулю.

Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:

a

a

 

la

la

 

, A × l = l × A =

 

laij

 

 

 

 

 

l 11

12

 

=

11

12

 

 

 

.

a21

a22

la21

la22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно выносить за знак матрицы. При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица. Имеют место следующие свойства операции умножения матрицы на число:

1× A = A ,

0 × A = 0 ,

l1 (l2 A) = l2 (l1 A) = (l1l2 ) A ,

λ(A + B) = λA + λB ,

1 + λ2 ) A = λ1 A + λ2 A .

1.3. Умножение матриц. Произведением матрицы A из m строк и

k столбцов на матрицу B из

k строк и

n столбцов называется матрица

C = A × B

 

 

a11

a21

Kai1

Kam1

a12

a22

K

ai 2

K am2

K a2k

 

b11 K b1 j

K b1n

c

K a2k

 

11

 

 

 

 

 

L

K K

 

× b21

K b2 j

K b2n

= ci1

K aik

K K K K K

L

K K

 

K bkj

 

 

bk1

K bkn

 

 

 

 

 

 

cm1

K amk

 

 

 

 

L c1 j

L c1n

 

 

L L L L

 

L cij

L cin

 

,

 

L L L L

 

L cmj

 

 

 

L cmn

 

имеющая m строк и n столбцов, элемент которой cij , стоящий на пересечении строки i со столбцом j , равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B

10

[Введите текст]

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + K + aikbkj .

Обратим внимание на то, что число столбцов первого сомножителя долж-

но равняться числу строк второго сомножителя.

Пример.

1

2 5

6

1× 5 + 2 × 7

1× 6 + 2 ×8

19

22

,

 

 

×

 

=

×5

+ 4 × 7

 

=

 

 

3

4

7

8

3

3 × 6 + 4 ×8

43

50

 

5

6 1

2

5 ×1 + 6 ×3

5 × 2 + 6 × 4

23 34

 

 

×

 

=

 

+ 8 ×3

 

 

 

=

.

7

8 3

4

7 ×1

7 × 2 + 8 × 4

31 46

 

Отсюда видно, что A × B ¹ B × A . И, вообще, из существования произведения

A × B совсем не следует существование произведения B × A .

 

Единичная матрица порядка n

– это квадратная матрица

 

 

 

 

 

1

0 ...

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

1 ...

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = ... ... ...

...

... ,

 

 

 

 

 

 

0

0 ...

1

0

 

 

 

 

 

 

 

0 ...

0

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

где на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, играет роль «единицы» в алгебре матриц, ибо A × E = E × A , например:

a

a

 

1

0

a

a

 

11

12

 

×

 

= 11

12

.

a21

a22

0

1

a21

a22

1.4. Матрицы и линейные преобразования. Для «оправдания» опре-

деления операции умножения матриц рассмотрим связь между матрицами и

линейными преобразованиями.

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xOy . Поставим в соответствие произвольной точке плоскости с координата-

ми (x, y) точку ( x¢, y¢) плоскости xOy′, координаты которой определяются следующими линейными соотношениями

x= a11 x + a12 yy¢ = a21x + a22 y ,

11

[Введите текст]

задающими так называемое линейное преобразование плоскости. Очевид-

но, что такое преобразование однозначно определяется его матрицей

a

a

 

A = 11

12

.

 

a22

 

a21

 

Рассмотрим несколько примеров таких преобразований. Пусть преобразование задано следующим образом:

x= x

или, подробнее,

x= 1× x + 0 × y

 

 

.

y= by

 

 

 

y= 0

× x + b × y

 

1

0

 

 

 

Соответствующая ему матрица A =

β

. Это преобразование – « сжатие»

 

0

 

 

 

вдоль оси Oy (или к оси Ox ) с коэффициентом β > 1 (см. рис. 1.1).

y y

β

1 1

 

 

 

x

 

 

 

x

O

 

1

O

1

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1

 

 

 

x= ax

 

α

0

является «сжатием»

Преобразование

 

с матрицей A =

 

 

y= y

 

0

1

 

вдоль оси Ox (или к оси Oy ).

 

 

 

 

Матрица

α

0

 

 

 

 

 

A =

β

соответствует «деформации» плоскости одновре-

 

0

 

 

 

 

 

менно вдоль оси Ox и

Oy .

 

 

 

 

Единичная матрица

1

0

задает тождественное преобразование

E =

 

плоскости {

xy== xy .

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве упражнения напишите формулы преобразования, которое произвольную точку «переводит» в точку, симметричную ей относительно начала координат, и получите соответствующую матрицу.

12

[Введите текст]

Аналогичным образом можно интерпретировать линейные преобразования для трех переменных

x′ = a11x + a12 y + a13 z

′ = + +

y a21x a22 y a23 z .z′ = a31x + a32 y + a33 z

Правило умножения матриц естественным образом возникает при решении следующей задачи. Пусть линейное преобразование

 

 

 

 

 

x= b

x + b y

 

 

 

 

 

 

11

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢ = b21 x + b22 y

с матрицей B =

b

b

 

 

переводит точку (x, y) в точку ( x, y) , а линейное

11

12

 

 

 

b21

b22

 

 

 

 

преобразование

 

 

 

 

x′′ = a x+ a y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′ = a21x+ a22 y

с матрицей A =

a

a

 

 

переводит точку ( x, y) в точку ( x′′, y′′) . Эти два

11

12

 

 

a21

a22

 

 

 

преобразования, проведенные друг за другом, переводят точку (x, y) в точку

( x′′, y′′) . Очевидно, что результат этих преобразований тоже линейное преоб-

разование. Какова его матрица?

Выразим координаты точки ( x′′, y′′) через координаты исходной точки

(x, y)

 

′′

= a

(b x + b y) + a

(b x + b y ) = (a b + a b

) x + (a b + a b

) y

x

 

 

11

11

12

12

21

22

11

11

12

21

11

12

12

22

 

 

 

 

(b11x + b12 y ) + a22 (b21x + b22 y) = (a21b11 + a22b21 ) x + (a21b12 + a22b22 ) y

y′′ = a21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, матрица результирующего преобразования равна произведению матриц A × B исходных преобразований, взятых в соответствующем порядке, т.е.

a

a

 

b

b

 

a b

+ a b

a b

+ a b

 

11

12

 

× 11

12

 

= 11 11

12 21

11 12

12 22

.

a21

a22

b21

b22

a21b11

+ a22b21

a21b12

+ a22b22

 

Введенные выше матричные операции обладают следующими свойствами:

13

[Введите текст]

( A× B) ×C = A×( B ×C)

a( A× B) = (aA) × B = A×(a × B) ( A + B) ×C = A ×C + B ×C .

Определим операцию транспонирования матрицы как замену в ней строк на соответствующие столбцы и наоборот

a

a

K a

 

11

 

12

1n

 

a21

a22 K a2n

 

A = K

K

K

,

a

a

m2

K a

 

m1

 

mn

 

 

 

 

 

 

a

11

T = a12

A K

a1n

a

K a

 

21

m1

 

a22 K am 2

 

K

K

.

a2n K

 

amn

 

 

Матричные операции позволяют, в частности, компактно записывать так называемые квадратичные формы, т.е. выражения вида

 

 

 

 

 

 

 

= ( x x x

)

x1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x2

+ x2

+ x2

x

= X T X ,

1

 

 

 

 

 

X = x

 

 

 

 

 

1

 

 

2

3

1 2 3

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

2

+ 2bxy + cy

2

=

 

a b

x

 

= X

T

AX ,

 

a b

 

x

 

 

( x y )

 

 

 

A =

 

X =

.

 

 

 

 

 

 

 

b c

y

 

 

 

 

 

 

b c

 

y

Далее мы продолжим изложение матричной алгебры и определим операцию обращения квадратной матрицы, но прежде нам потребуется ввести понятие определителя матрицы.

14

[Введите текст]

Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц

Удачные обозначения обладают утончённостью и будят мысль, порой делая это, кажется почти так же, как искусный учитель.

Бертран Рассел (1872-1970гг.)

2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Уже при ре-

шении уравнения первой степени

a × x = b

возможны три случая:

если a ¹ 0 , то уравнение имеет единственное решение x = b a ;

если a = 0 и b ¹ 0 , то уравнение не имеет решения;

если a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.к. равенство 0 × x = 0 выполняется при любых значениях x .

Оказывается, что такие же случаи имеют место при решении системы

уравнений с большим числом неизвестных. В стандартной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

 

 

a1 x + b1 y = c1

,

(2.1)

 

 

a2 x + b2 y = c2

 

 

 

 

где коэффициенты a1 , a2

и b1 , b2 при неизвестных x и y , а также правые

части уравнений c1 и c2

заданные действительные числа.

x = α , y = β,

Решением системы (2.1)

называется такая пара чисел

которая оба уравнения системы (2.1) обращает в тождества. В этом случае говорят, что пара чисел (α,β) «удовлетворяет» системе уравнений (2.1), а система уравнений называется совместной. Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Эта терминология относится к системам произвольного числа уравнений.

Существует несколько способов нахождения решения системы, если оно существует. Проделаем следующие операции:

 

a x + b y = c

 

× b

 

-

1

1

1

 

2 .

a2 x + b2 y = c2

 

× b1

В результате получим

x(a1b2 a2b1 ) = c1b2 c2b1 .

15

[Введите текст]

Если число a1b2 - a2b1 ¹ 0 , то

x =

 

c1b2

c2b1

 

 

(2.2)

a1b2

a2b1

 

 

Аналогичным образом, исключая из системы неизвестное x

(проверьте!),

получим

 

a2c1

 

 

y =

a1c2

.

(2.3)

 

 

 

 

a1b2

a2b1

 

Формулы (2.2) и (2.3) достаточно громоздки, и от их вида «в глазах рябит». Вот здесь и приходят на помощь те «удачные обозначения», о которых говорил Б. Рассел. Выпишем коэффициенты при неизвестных в виде следующей матрицы:

a

b

 

A = 1

1

.

a2

b2

 

Число

( A) = a1b2 a2b1 называется определителем матрицы A и обо-

значается следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

b1

 

= ( A) = a b a b .

 

 

 

 

 

a2

b2

 

1

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

Для удобства в обозначение определителя включена матрица, которой он соответствует.

Вычислим ещё два определителя матриц, полученных из матрицы A путем замены ее первого и соответственно второго столбца на столбец правой части системы, т.е.

x

=

c1

b1

= c b c b ,

y

=

a1

c1

= a c

c a

2

.

 

c2

b2

1 2 2 1

 

a2

c2

1 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда формулы (2.2) и (2.3) в случае, когда D ¹ 0 , можно представить в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

b1

 

 

 

 

 

 

 

a1

c1

 

 

 

 

 

x =

 

c2

b2

 

=

x

,

y =

 

 

a2

c2

 

 

=

y

.

 

 

 

 

 

a1

b1

 

 

 

 

a1

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Введите текст]

Эти формулы связаны с именем швейцарского математика Г. Крамера (1704-1752гг.). Сама идея определителя появилась ещё у Г. Лейбница

(1646-1716гг.), а название дал в 1812г. О. Коши (1789-1857гг.). Это назва-

ние довольно естественно: определители , x и y полностью опреде-

ляются системой уравнений и, наоборот, по заданным определителям (в принятых обозначениях) можно «восстановить» систему уравнений.

Исследуем полученные формулы. Будем предполагать, что не все коэффициенты при неизвестных одновременно равны нулю. В противном случае система (2.1) примет вид

0 × x + 0

× y = c

(2.4)

 

1 .

0 × x + 0

× y = c2

 

Тогда, если c1 = c2 = 0 , то решением является любая пара чисел;

если же

хотя бы одно из чисел c1 или c2 отлично от нуля, то система (2.4) не имеет решений и называется несовместной.

Учитывая принятые обозначения для определителей, имеем два урав-

нения

 

 

 

D × x = Dx

,

 

D × y = Dy

 

 

при условии, что не все входящие в эти уравнения определители равны нулю, или одно из этих уравнений, если все эти определители равны нулю.

Отсюда получаем следующие утверждения:

· если определитель ¹ 0, то система имеет единственное решение,

определяемое по формулам Крамера

x =

D

x

,

y =

Dy

;

 

 

D

 

 

 

 

 

 

· если определитель

= 0 и хотя бы один из определителей D x или

y отличен от нуля, то система несовместна (пусть, для определённости,

= 0

и D x ¹ 0 , тогда получим противоречивое равенство 0 × x = Dx ¹ 0 );

·

если все три определителя системы равны нулю, то система имеет

бесчисленное множество решений: x – любое, а y выражается через x из любого уравнения исходной системы или наоборот: y – любое, а x выражается через y из любого уравнения системы.

17

[Введите текст]

Отметим, что определитель обращается в нуль, когда a1b2 a2b1 = 0 , т.е. элементы какой-то строки (столбца) равны нулю или элементы строк (столбцов) пропорциональны

a1 = b1 . a2 b2

С учетом этого переформулируем приведенные выше утверждения в терминах коэффициентов системы:

· если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е.

a1 ¹ b1 или a1b2 - a2b1 ¹ 0 , то система имеет единственное решение; a2 b2

· если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам,

a1

=

b1

¹

c1

(D = 0, Dx ¹ 0) , или Dy ¹ 0 или оба не равны нулю,

a2

b2

c2

 

 

 

то система несовместна; · если коэффициенты при неизвестных пропорциональны и пропор-

циональны свободным членам,

a1

=

b1

=

c1

( = 0,

x = 0,

y = 0 ) ,

a

 

b

 

2

 

 

c

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

то система имеет бесчисленное множество решений.

Эти утверждения становятся очевидными, если вспомнить, что каждое уравнение первой степени задаёт прямую в плоскости xOy , и решить систему (2.1), значит найти общие точки двух прямых. В первом случае прямые пересекаются в одной точке, координаты которой и будут решением системы, во втором – прямые параллельны (решения нет) и, наконец, в третьем случае прямые совпадают, и координаты любой точки на этой общей прямой будут решением системы.

2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными. Выше мы по-

казали, как вычисляется определитель матрицы второго порядка

D( A) =

a1

b1

= a1b2 a2b1 .

 

a2

b2

 

Для вычисления определителя матрицы третьего порядка

a11

a12

A = a

a

22

21

 

 

a32

a31

a13 a23 a33

18

[Введите текст]

нам потребуются понятия минора и алгебраического дополнения.

Пусть мы выбрали некоторый элемент aij (этот элемент стоит на пе-

ресечении строки i со столбцом j ; пара (i j) его «адрес» в матрице). Вы-

черкнем теперь строку i и столбец j , где стоит этот элемент, и получим определитель второго порядка. Его называют дополнительным минором элемента aij (или просто минором) и обозначают M ij . Алгебраическим дополнением элемента aij назовем величину

Aij = (−1)i+ j Mij .

Таким образом, алгебраическое дополнение – вующим знаком (+) или (–). Знаки алгебраических определителя легко определяются просто «глядя» При этом полезно иметь в виду следующую схему

+

+

 

 

+

,

+

+

 

 

 

 

 

это минор с соответстдополнений элементов на этот определитель.

где знаком (+) отмечены места тех элементов, алгебраические дополнения которых равны минорам, взятым с их собственными знаками.

Теперь мы можем дать правило вычисления определителя матри-

цы третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = ( A) = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai3 Ai3 , i = 1, 2,3 ,

a31 a32 a33

т.е. определитель равняется сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения. Это правило называют разложением определителя по элементам строки.

Оказывается, что разложение по столбцам дает тот же результат:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = ( A) = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j , j = 1, 2,3 . a31 a32 a33

Где гарантия, что в результате будет получаться одно и то же число? Оказывается, что справедливо следующее утверждение.

19

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]