Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9727

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными

4.1. Ранг матрицы. Мы рассматривали систему n уравнений с n неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( ( A) = 0) или m ¹ n , то есть число неизвестных не совпадает с числом уравнений?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится она следующим образом. Выберем некоторые k строк и k столбцов и образуем матрицу порядка k , которая состоит из элементов, стоящих на их пересечении. Определитель этой матрицы будем называть минором k - го порядка.

Рангом матрицы A называется число r( A) , равное наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r = 0 .

Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству

0 ≤ r ≤ min(m,n) ,

где m и n – размеры матрицы. Например,

 

1

2

 

, r ( A) = 2 ;

 

1

1

1

 

 

r ( B) = 1,

A =

 

4

 

B =

 

2

2

 

,

3

 

 

2

 

 

 

так как все миноры второго порядка равны нулю.

Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.

Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.

4.2. Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений совпадало с числом неизвестных и когда матрица системы была невырожденной. В этом случае система имеет единственное решение. Сейчас мы рассмотрим общий случай системы m уравнений с n неизвестными

30

[Введите текст]

a x + a x + L + a x = b

11 1

12 2

1n n

1

a x + a x + L + a x = b

21 1

22 2

2n n

2

LLLLLLLLLLLL

a x + a

x + L + a x = b

m1 1

 

m2 2

mn n

m

или в матричной форме

A × X = B .

 

 

 

 

(4.1)

%

Образуем так называемую «расширенную» матрицу B , полученную присоединением к матрице A столбца из свободных членов уравнений системы

 

 

 

a

a

K a

b

 

 

 

 

11

12

1n

1

 

 

%

=

a21

a22

K a2n

b2

 

B

K K

K K K .

 

 

 

 

am2

K amn

 

 

 

 

 

am1

bm

Очевидно, что

%

 

 

 

 

 

 

rang A ≤ rang B .

 

 

 

 

 

 

Вопрос о совместности системы решает теорема Кронекера-Капелли (Леопольд Крó некер (1823-1891г.г.) – немецкий математик и Альфредо Капелли (1855-1910 г.г.) – итальянский математик).

Теорема Кронекера-Кaпелли. Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда

= % rang A rang B

(принимаем без доказательства).

Проиллюстрируем эту теорему в случае системы трех уравнений с тремя неизвестными

a x + b y + c z = d

1 1 1 1

a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3

Рассмотрим расширенную матрицу

.

 

a

b

c

%

1

1

1

B =

a2

b2

c2

 

a

b

c

 

3

3

3

d1 d2 . d3

%

и, следовательно, система совместна.

Если det A ¹ 0 , то rang B = rang A = 3

Если det A = 0 и существует отличный от нуля определитель третьего по-

рядка, составленный из столбцов матрицы

%

%

B , то rang B = 3, rang A < 3, и,

31

 

 

[Введите текст]

 

значит, система несовместна. И, наконец, если

= x = y = z = 0 , то

%

и, следовательно, в соответствии с теоремой Кро-

rang B < 3, rang A < 3

некера-Капелли система будет совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие

 

 

 

%

 

 

rang A = rang B .

 

x + y + z = 6

 

Пример 1.

2x - y + z = 3

D( A) = -5 ¹ 0

 

 

- y + 2z = 5

 

 

x

 

 

 

rang A = 3,

%

 

 

rang B = 3 ,

так как ранг не может быть больше числа строк. Система совместна. Найдите её единственное решение.

 

5x y + 2z = 7

 

 

5

-1

2

 

 

 

 

Пример 2.

2x + y + 4z =1

D( A) =

 

2

1

4

= 0 ,

 

 

 

 

1

3

-6

 

 

x - 3y - 6z = 0

 

 

 

(проверьте!), но есть минор второго порядка, отличный от нуля. Из расширенной матрицы образуем минор

5

-1

7

 

= -35

 

2

1

1

 

1

-3

0

 

 

проверьте Значит % = и следовательно эта система несовместна

( !). , rang B 3 , , .

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система n уравнений с n неизвестными с отличным от нуля определителем всегда совместна. Её единственное решение можно получить по правилу Крамера. В частности, однородная система уравнений, у которой все правые части равны нулю, а определитель не равен нулю, имеет единственное так называемое тривиальное решение.

Совместная система m уравнений с n неизвестными обладает единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. Поясним это на следующем примере.

x + y - z = 0

 

1

1

-1

 

 

 

2x - y + z = 3

 

 

Минор

2

-1

1

= 3 ¹ 0 ,

Пример 3.

x - 3 y + 2z = 1

 

1

-3

2

 

2x - 5 y + 4z = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

[Введите текст]

поэтому rang A = 3. Вычислим минор четвёртого порядка расширенной

%

 

 

 

 

 

 

матрицы B

 

−1

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

 

2

−1

1

3

=

 

 

1

−3

2

1

 

 

 

2

−5

4

4

 

(сложим третий столбец последовательно с первым, вторым столбцами)

 

 

 

0

 

0

−1

0

 

 

3

0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0 1

3

 

 

 

 

 

=

 

= −

3 −1 1

=

 

 

 

3

−1

2

1

 

 

6

−1

4

 

 

 

 

6

−1

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(вычитая из первого столбца третий, получим)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

3

 

 

 

2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

2

−1 1

 

= −3

= 0 ,

 

 

 

 

2

−1 4

 

 

 

2

−1

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система совместна и число неизвестных совпадает с

значит, rang B = 3.

рангом. Как найти ее решения? Нужно выписать те уравнения системы, которые дают отличный от нуля минор третьего порядка (так называемый базисный минор). В данном случае это три первых уравнения. Проверьте, что единственным решением системы этих уравнений будет (1, 2, 3) и оно удовлетворяет и оставшемуся уравнению. Это следует из того, что определитель расширенной матрицы равен нулю и, следовательно, элементы ее четвертой строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов первых трех строк (см. свойство 9 определителей).

x − 2 y + z = 3

 

 

( A) = 0 , rang A = 2.

Пример 4. x + 3y z = 1 ,

3x + 4 y z = 5

 

 

 

Из расширенной матрицы можно составить три минора третьего порядка (столбец свободных членов последовательно подставляется вместо коэффициентов при неизвестных). Убедитесь, что все они равны нулю. Зна-

%

меньше числа неиз-

чит, rang B = 2 . Система совместна, но ранг матрицы A

вестных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. Как их найти? Выписываем уравнения, «дающие» базисный минор, оставляя в ле-

33

[Введите текст]

вой части число неизвестных, равное рангу матрицы (причём оставляем те неизвестные, которые «входят» в базисный минор)

x − 2 y = −z + 3

 

+ z

x + 3y =1

Решаем эту систему, считая z произвольным параметром

x =

1

×

 

 

 

-z + 3

-2

 

=

11 - z

 

 

5

 

1

+ z

3

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

1

×

 

1

3 - z

 

 

=

2(z -1)

 

 

 

 

1 + z

 

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5

 

Сформулируем теперь общее правило, по которому решается совместная система линейных уравнений. Пусть rang A= r .

·Отыскиваем базисный минор порядка r (он получается при нахождении ранга матрицы).

·Выбираем r уравнений, «породивших» базисный минор (остальные отбрасываем).

·Неизвестные, «входящие» в базисный минор, оставляем слева, а остальные (n - r ) называем свободными и переносим в правые

части уравнений.

·Решаем полученную систему r уравнений r с неизвестными. Из этого правила следует, что в случае, когда ранг совместной систе-

мы меньше, чем число неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений. В частности, однородная система n уравнений с n неизвестными и равным нулю определителем, т.е. когда

= % < rang A rang B n ,

кроме тривиального имеет ненулевые решения.

34

[Введите текст]

Раздел 2. Векторная алгебра

Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними

5.1. Основные понятия и определения. Понятие вектора сформи-

ровалось в физике, точнее в механике. Скорость, ускорение, сила определяются величиной и направлением и называются векторными величинами. Масса, объем, температура и т.п. определяются численным значением и называются скалярами или скалярными величинами. Вектор – это на-

правленный отрезок. Обозначается вектор символом a или AB , где точка A – начало, а B – конец.

B

A

Рис 5.1.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его на-

чалом и концом и обозначается | AB | или | a |.

Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым вектором 0 .

R

|| b , если они параллельны

Векторы называются коллинеарными a

одной прямой.

 

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (очевидно, что любые два вектора компланарны).

Два вектора

a и b равны, если они коллинеарны , одинаково на-

правлены

R

−− b

и их длины равны

R

|=| b |. Отсюда следует, что при пе-

a

| a

ремещении вектора параллельно самому себе получим равный ему вектор. Единичным вектором или ортом называется вектор, модуль кото-

рого равен единице (| a |= 1) .

5.2. Линейные операции над векторами. Произведением вектора

a

 

R

, который:

на число k называется вектор b = k a

 

R

 

 

имеет длину | b |=| k | × | a |

 

 

 

35

 

[Введите текст]

 

 

 

 

коллинеарен вектору

a ( b

 

R

 

 

a );

если

k > 0 , то

R

;

 

 

b −− a

 

 

если

k < 0 , то

R

;

 

 

b −↓ a

 

 

если

k = 0 , то

b = 0 .

 

 

 

Рис 5.2

Свойства этой операции:

1)

k a = a k ; 2) k (la ) = (kl )a ;

3) (k + l)a = ka + la ; 4)

R

R

+ kb .

Последнее свойство иллю-

k (a + b) = ka

стрирует следующий рисунок, где

k = 2 .

 

 

2a

 

a

 

b

2b

a

b

 

 

b

R

+ b

R

+ b

 

a

a

 

R +

2(a b )

 

 

 

 

 

Рис. 5.3

 

 

 

 

R

R

 

 

 

 

Вектор b = (−1) a

= −a называется противоположным вектору a .

 

 

 

 

 

 

 

R

По определению операции умножения вектора на число вектор b = k a

коллинеарен вектору

 

a . Покажем, что имеет место обратное утвержде-

ние: если два вектора коллинеарны

R

 

( a || b ), то существует такое число

k ¹ 0 ,

что

R

 

 

 

 

 

b = k a , и это число с точностью до знака равно отношению

длин

этих

векторов.

Действительно,

R

возьмем

в случае, если a −− b ,

 

R

 

 

 

k a направлены в одну сторону и их дли-

k =| b | / | a | . Тогда векторы b и

 

 

R

В случае

R

R

 

ны равны, т.е. b = k a .

a −↓ b

выберем k = − | b | / | a | .

 

 

 

 

 

 

36

 

 

[Введите текст]

Суммой двух векторов a и b называется вектор

R

R

получае-

c

= a + b ,

мый по одному из следующих правил.

 

 

 

Правило треугольника: начало вектора b совмещается с концом

вектора a , тогда начало вектора c совпадает с началом вектора

a , а ко-

нец – с концом вектора b (рис 5.4).

 

 

 

b

 

b

a

R

+ b

 

 

a

 

R

 

 

 

b + a

a

 

b

 

a

Рис. 5.4

Из рисунка ясно, что порядок слагаемых может быть любой, т.е.

R

R

a

+ b = b + a .

Отсюда следует правило параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, строится параллелограмм, тогда начало вектора c совпадает с общим началом векторов a и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 5.5).

Рис. 5.5

 

 

 

 

Для суммы справедлив сочетательный закон

R

R

R

R

(a

+ b) + c

= a

+ (b + c ) .

Заметим, что векторы не обязаны быть расположенными в одной плоскости (см. рис. 5.6).

37

[Введите текст]

Рис. 5.6

Отметим также операцию сложения с нуль-вектором

R

R

R

a

+ 0 = 0 + a

= a

Разность векторов a и b определяется через введенные выше операции следующим образом

R − = R + − a b a ( b)

Рис. 5.7

5.3. Проекция вектора на ось. Напомним, что проекцией точки M

на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно этой оси (рис. 5.8).

38

[Введите текст]

L

M

M 1

Рис. 5.8

Проекцией вектора AB на ось L называется число ПрL AB , равное по модулю расстоянию между проекциями начала и конца вектора AB на

ось L , и взятого со знаком плюс, если направление вектора AB′ совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они направлены в противоположные стороны.

 

 

 

B

A

ϕ

 

L

 

 

 

 

 

 

L

 

B

 

A

 

 

 

 

Рис. 5.9

Из рисунка ясно, что ось

L и вектор AB можно считать располо-

женными в одной плоскости

П.

Далее будем считать её совпадающей с

плоскостью чертежа. Под углом

ϕ между осью L и вектором AB бу-

дем понимать меньший из углов, который отсчитывается от направления оси до направления вектора. При этом луч, совмещающий направление оси с направлением вектора поворачивается на угол 0 ≤ ϕ ≤ 1800 .

Теорема. Пусть вектор AB составляет с направлением оси L угол ϕ

. Тогда верна формула

ПрL AB = AB cos ϕ .

39

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]