9758

5.Целочисленные оптимизационные модели. Методы Гомори.

6.Целочисленные оптимизационные модели. Методы ветвей и границ.

7.Транспортная задача. Особенность математической модели транспортной задачи.

8.Методы решения транспортной задачи.

9.Открытая модель транспортной задачи.

10.Задачи о назначениях. Венгерский метод решения.

Контрольные вопросы к разделу 2 «Элементы теории матричных

игр».

1. Основные понятия теории игр.

2.Решение матричных игр в чистых стратегиях.

3.Решение матричных игр в смешанных стратегиях.

4.Теорема фон Неймана.

5.Геометрический метод решения матричных игр

6.Сведение решения матричных игр к задаче линейной оптимизации.

Контрольные вопросы к разделу 3 «Принятие решений в условиях не-

определенности и риска».

1.Теория принятия решений. Виды риска.

2.Критерии принятия решений в условиях полной неопределенности.

3.Критерии принятия решений в условиях риска.

4.Деревья решений.

5.Критерий максимизации ожидаемых доходов. Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения.

Контрольные вопросы к разделу 4 «Многошаговые модели принятия

решений и динамическое программирование».

1. Общая постановка задачи динамического программирования. Условия

111

применимости. Проблемы реализации. Примеры.

2. Общая схема решения задачи динамического программирования.

Уравнения Беллмана.

3.Задача оптимального распределения ресурсов.

4.Целочисленная задача загрузки транспортного средства.

5.Метод динамического программирования. Задача о замене оборудования.

3.Методические указания по подготовке к практическим занятиям

3.1 Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

В ходе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основ-

ную литературу, познакомиться с дополнительной литературой. При этом необходимо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной про-

граммы.

В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабаты-

вать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литерату-

ры, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.

Целесообразно также подготовить тезисы для возможных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.

При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы. Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.

Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращать-

ся за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект свое-

го выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изуча-

емой теории с реальной жизнью. Своевременное и качественное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекомендаций и изучении рекомендованной литературы.

112

3.2 Примеры задач для практических занятий

3.2.1. Задачи для раздела 1.

Задача 1. (Построение математической модели задачи планирования про-

изводства или определение оптимального ассортимента продукции).

Предприятие изготавливает два вида продукции – П1 и П2, которая посту-

пает в оптовую продажу. Для производства продукции используется два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц, соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более, чем на 1 ед. Кроме того, известно,

что спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки. Оптовые цены единицы продукции равны 3 ден. ед. – для П1 и 4 ден. ед. – для П2.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприя-

тие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1.Цель – максимизация дохода

2.Параметры – расход сырья, запас сырья, оптовые цены продукции, циф-

ры ограничения спроса.

3.Управляющие переменные – план выпуска продукции х1 и х2.

4.Ограничения: производство ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию.

113

2x1 3x 2 9

3x1 2x 2 13

x1 x 2 1x 2 2

x1 0x 2 0

5. Целевая функция – доход от реализации продукции: f=3x1+4x2max

В качестве критериев оптимальности в данных задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продук-

ции и затраты времени.

Задача 2. (Решение задачи 1 об ассортименте продукции геометрическим способом).

1. Строим плоскость х10х2. В этой плоскости строим граничные прямые:

2.Взяв какую-либо точку (например, начало координат), установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. (Полуплоско-

сти, определяемые неравенствами, на рисунке показаны стрелками).

114

3.Областью решений является многоугольник OABCD.

4.Строим прямую Z=0 (3x1+4x2=0 – линия уровня целевой функции и век-

тор-градиент с координатами (3,4). Перемещаем эту прямую параллельно вдоль градиента.

5.Из графика следует, что точка максимума целевой функции в много-

угольнике решений – это точка С.

6.Для определения координат этой точки решаем систему уравнений

2x1 3x2 9x1 x2 1

Оптимальный план задачи (2,4; 1,4).

Решение задачи f=3*2,4+4*1,4=12,8.

Полученное решение означает, что объем производства продукции П1 дол-

жен быть равен 2,4 ед., П2 – 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит

12,8 ден.ед.

Задача 3. Геометрически можно также решать задачи линейного програм-

мирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу пре-

образуют методом Жордана-Гаусса.

fmax=4x1–2x2+x3-x4

Используя метод Жордана-Гаусса, произведем полные исключения для x1

и x4.

В результате приходим к системе

115

Подставляя эти значения в линейную функцию f и отбрасывая в последней системе базисные переменные, получим задачу, выраженную только через сво-

бодные неизвестные х2 и х3.

Найдем максимальное значение линейной функции f=5,9–5,9x3–1,5x2 при следующих ограничениях х31; 0,5х2–1,3х30,3.

Построим многоугольник решений и линейную функцию в системе коор-

динат х20х3. Согласно рис. 7.6, линейная функция принимает максимальное значение в точке А, которая лежит на пересечении прямых L2 и X2=0. Ее коор-

динаты (0;0,23). Максимальное значение функции fmax=5,95,9*0,23–1,5*0=4,54.

Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем в преобразованную систему х2 и х3. Окончательно получаем Х=(1,078;0;0,23;0,001).

116

Задача 4. (Пример решения задачи симплекс-методом).

f=3x1+4x2

2x1 3x 2 9

3x1 2x 2 13

x1 x 2 1x 2 2

x1 0x 2 0

Приводим к канонической форме

2x1 3x 2 x 3 93x1 2x 2 x 4 13

x1 x 2 x 5 1x 2 x 6 2

В стандартной форме

x 3 9 2x1 3x 2x 4 13 3x1 2x 2

x 5 1 x1 x 2x 6 2 x 2

Свободные переменные – х1 и х2, базисные х3, х4, х5, х6. Составляем симплекс-таблицу

Из базиса выводится х2, вводится х6 (строка х6 переписывается, т.к. раз-

решающий элемент =1, первая строка получается так: строка х6 умножается на

–3 и складывается с первой; вторая строка – строка х6 умножается на –2 и скла-

дывается со второй и т.д.).

117

Из базиса выводится х3, вводится х1 (первую строку делим на 2 и перепи-

сываем).

Т.к. все коэффициенты в последней строке неотрицательны, то решение

оптимально. Обратить внимание, что с каждым построением новой симплекстаблицы значение целевой функции увеличивается (08 12,5 12,8). Реше-

ние х1=2,4; х2=1,4, что соответствует графическому способу решения.

Из базиса выводится х5, вводится х6 (строка с х5 делится на 2,5 и переписывается).

118

Так как все коэффициенты в последней строке неотрицательны, то реше-

ние оптимально. Обратить внимание, что с каждым построением новой сим- плекс-таблицы значение целевой функции увеличивается (08 12,5 12,8).

Решение х1=2,4; х2=1,4, что соответствует графическому способу решения

(см. Задачу 2).

Задача 5.

Предприятие имеет три типа металлообрабатывающих станков А, В, и С,

на которых изготавливаются изделия вида 1 и 2. Изделия первого вида изготав-

ливаются только на станках А и С, а изделия второго вида изготавливаются на всех станках (А, В, С). Производственная мощность станков такова (тысяч в год):

Прибыль на единицу изделия вида 1 составляет 2 усл.ед., на изделие вида 2

– 4 усл.ед.

Определить такие объемы производства чтоб прибыль была максимальной.

1.Составить математическую модель задачи.

2.Решить задачу графически.

3.Решить задачу симплекс-методом.

Решение:

1. Составим математическую модель.

Пусть х1 – количество изготовленных за год изделий вида 1.

Пусть х2 – количество изготовленных за год изделий вида 2.

По условию задачи целевая функция выглядит так:

Z 2x1 4x2 max (общая прибыль в год)

119

Составим ограничения функции. В нашем случает количество изделий мощности станков.

Для станка А: х1 6; х2 6;

Для станка В: х2 4;

Для станка С: х1 5; х2 10;

Включая условие неотрицательности х1, х2 0 , получаем систему ограни-

чений:

х1 6; х2 6;х2 4;х1 5; х2 10;

х1, х2 0

Математическая модель задачи имеет вид:

х1 6; х2 6;х2 4;х1 5; х2 10;

х1, х2 0

Z 2x1 4x2 max

2. Графическое решение.

Строим многоугольник решений (рис.8):

х1 6; х2 6;х2 4;х1 5; х2 10;

х1, х2 0

Рис. 8. АВСО – многоугольник решений.

120