9758

Ограничения: обеспечить заказчиков, не превысить запас ресурсов, не допу-

стить затоваривания рынка.

В соответствии с этими ограничениями выпишем область допустимых реше-

ний задачи:

Первые три неравенства в системе соответствуют спросу заказчиков. Нера-

венства с четвертого по шестое формализуют спрос на рынке. Последние четыре неравенства соответствуют ограничениям по ресурсам.

5 этап – выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изме-

няться случайным или неопределенным образом.

Таких величин в данной задаче нет.

6 этап – выражение цели через управляющие переменные и параметры. f=20x1+40x2+50x3max.

Буквой f обозначена прибыль, ее надо максимизировать, каждое слагаемое определяет прибыль от производства изделий каждого вида соответственно в количествах x1, x2, x3.

Пример 2. Формирование минимальной потребительской корзины.

Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт со-

держит определенное количество разных питательных веществ (витаминов и ка-

лорий). Известен требуемый человеку минимум питательных веществ каждого

11

водительность, т.е. число единиц продукции каждого вида, которое можно произ-

вести в единицу времени. Нужно распределить изготовление продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была мини-

мальна.

Составление математической модели.

1)Целью является минимизация себестоимости.

2)Параметры:

m – номенклатура, т.е. число различных видов продукции в производствен-

ном заказе;

bi – число единиц продукции i-го вида, i 1, m ; n – число единиц оборудования;

Tj – фонд рабочего времени оборудования j-го типа, j 1, n ;

aij – производительность оборудования j-го типа по производству изделий i- го вида, i 1, m , j 1, n ;

cij – себестоимость изготовления единицы продукции i-го вида на оборудовании j-го типа, i 1, m , j 1, n .

3) Управляющие переменные xij i 1, m , j 1, n – время, в течение которого обо-

рудование j-го типа занято изготовлением продукции i-го вида.

4) Область допустимых решений определяется ограничениями по фонду вре-

мени (1), по номенклатуре (2) и условиями не отрицательности xij (3).

5) Критерий оптимальности задается функцией

Математическая модель данной задачи содержит m·n неизвестных (управля-

ющих переменных) и m+n ограничений, не считая условий (3). После расчета мо-

дели определяется оптимальная загрузка оборудования, т.е. время, в течение ко-

торого оборудование каждого типа занято изготовлением продукции каждого ви-

да.

Пример 4. Составление плана реализации товара.

Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств (технических, людских, денежных).

Общий запас средств, число средств каждого вида, используемых при реали-

зации единицы любого товара, и прибыль от продажи заданы. Надо сформировать план реализации товаров, приносящий фирме максимальную прибыль.

Построение математической модели.

1)Цель – максимизация прибыли.

2)Параметры:

n – число различных видов реализуемых товаров m – число разных видов средств

bi – запас средств i-го вида i 1, m

aij – число средств i-го вида, используемых для реализации единицы товара j-

го вида, i 1, m , j 1, n

pi – прибыль от реализации единицы товара j-го вида, j 1, n .

3) Управляющие переменные xj, j 1, n – количество реализуемого товара j-го вида.

4)Область допустимых решений формируют ограничения по запасам средств

иусловия не отрицательности управляющих переменных.

14

стям. Множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, т.е. об-

ладает следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этому множе-

ству, то и весь отрезок АВ принадлежит тоже.

ЦФ f при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию.

Изменяя значения f, мы получим семейство параллельных прямых, называемых

линиями уровня.

лярный этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания f, а

противоположный вектор – направление убывания f. Задача определения макси-

мума f сводится к нахождению в допустимой области точки, через которую про-

ходит прямая f=const, которая соответствует наибольшему значению f.

Теорема. (основная теорема линейного программирования) Целевая функция линейного программирования достигает своего экстремума в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более, чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке,

являющейся выпуклой комбинацией этих вершин.

В общем случае возможны следующие варианты области допустимых реше-

ний.

На рис. 2.3.2, 2.3.3 показаны варианты пересечения линии уровня целевой функции с областью допустимых решений. Может быть единственное решение –

16

точка В, бесконечно много решений – отрезок СД (рис.2.3.2), максималь-

ным(минимальным) значением целевой функции может быть (рис.2.3.3).

Алгоритм решения.

1.Построить прямые, соответствующие ограничениям.

2.Определить области, в которых выполняются ограничения задачи. Для этого выбрать произвольную точку и подставить ее координаты в первую часть одного из равенств. Если неравенство верно, то искомая полуплоскость находится

стой же стороны от прямой, что и точка, в противном случае искомая полуплос-

кость лежит с противоположной стороны от прямой. Эти действия последова-

тельно выполняются для всех неравенств (ограничений).

3. Определить многоугольник решений, как область пересечения m полу-

плоскостей, соответствующих m ограничениям задачи.

4. Определить направление возрастания (убывания) целевой функции.

Это можно сделать двумя способами:

А) построить вектор-нормаль n (c1,c2 ) с координатами из коэффициентов ЦФ. Его направление показывает направление возрастание функции, в противо-

положном направлении функция убывает.

Б) построить две линии уровня функции f=K1, f=K2 (K1, K2 – произвольные константы, K1 K2) и по их расположению определить направление возрастания

(убывания) функции.

17

5.Определяют граничную точку или точки области допустимых решений, в

которых целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

6.Вычисляют значение найденной точки, решая совместно уравнения, зада-

ющие прямые, на пересечении которых находится эта точка, или выявляя уравне-

ние граничной прямой области допустимых решений, с которой совпадает линия уровня целевой функции.

Пример 5. Решим геометрически следующую задачу линейного программи-

рования:

Решение. Построим область ограничений. Строим прямую x1 x2 3 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют уравнению: (-3; 0), (0, 3) (см.

рис. 2). Проверяем, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству x1 x2 3. Для этого выберем произвольную точку и прове-

рим удовлетворяют ли ее координаты дан-

ному неравенству: 0 0 3 . Неравенство верное, значит, точка с координатами (0, 0)

лежит в нужной полуплоскости. Рисуем «бо-

роду» по направлению к этой точке. Аналогично находим полуплоскости, соот-

ветствующие оставшимся неравенствам. Пересечение получившихся плоскостей

(область, окруженная «бородами») является искомым ограничением. На рис. 2 это пятиугольник, закрашенный серым цветом.

Определим наклон уровней целевой функции. Для этого нарисуем прямую для конкретного значения целевой функции. Например, для F=2 уравнение целе-

18

вой функции: F 2 2x1 2x2 . Прямая проходит через точки (–1; 0) и (0; 1).

Стрелка показывает направление уменьшения значения F. Оптимальное

(наименьшее значение целевая функция примет «на выходе» из области ограни-

чения. Так как линии уровня целевой функции параллельны прямой (1), то опти-

мальное значение целевая функция будет принимать на отрезке, а не в одной точ-

ке. Точки этого отрезка задаются уравнением x2 x1 3, где 0 x1 1321 . Тогда

Fmin 2 0 2 3 6 .

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

(впервые был предложен Дж.Данцингом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны Л.В.Канторовичем)

Симплекс-метод основан на следующих свойствах ЗЛП (задачи линейного программирования):

1. Не существует локального экстремума, отличного от глобального. Други-

ми словами, если экстремум есть, то он единственный.

2. Множество всех планов задачи линейного программирования выпукло (ес-

ли оно не пусто).

3. Целевая функция достигает своего максимального значения в угловой точ-

ке многогранника решений (в его вершине). Если целевая функция принимает свое оптимальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает то-

го же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих точек.

4. Каждой угловой точке многогранника решений отвечает опорный план ЗЛП.

В случае двух переменных область допустимых решений, как правило, пред-

ставляет собой замкнутый многоугольник. Для n переменных областью допусти-

мых решений является многомерный многогранник, подобный симплексу. Опти-

мальное решение, как правило, это вершина (граничная точка) такого многогран-

ника.

19

Данный метод представляет собой целенаправленный перебор допустимых базисных решений задачи линейного программирования, построенный таким об-

разом, что каждое следующее анализируемое базисное решение не хуже преды-

дущего с точки зрения соответствующего значения целевой функции. Он позво-

ляет за конечное число шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.

3 основных элемента симплексного метода:

1) нахождение начального допустимого базисного решения;

Под допустимым базисным решением понимается решение системы с не-

отрицательными компонентами, в котором неосновные переменные равны 0. Оп-

тимальным решением ЗЛП называется такое допустимое решение, при котором целевая функция достигает экстремума.

2) осуществление перехода от одного допустимого базисного решения к дру-

гому, на котором значение целевой функции ближе к оптимальному; 3) определение критерия завершения процесса решения задачи, позволяюще-

го своевременно прекратить перебор решений на оптимальном решении или сде-

лать заключение об отсутствии решения.

Для использования симплексного метода задача линейного программирова-

ния должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.

Для применения симплекс-метода задачу следует записать в канонической форме:

Z (x) f ( х1, х2 ,..., xn ) max (min)

20