9788
.pdfЗадача 4. Определите вектор состояний внешней среды и вектор решений.
Найдите решение задачи, используя критерии принятия решений в условиях неопределенности. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.
Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПК. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтоимость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполне-
ния 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не пре-
вышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).
Задача 5. Компания рассматривает вопрос о строительстве завода.
Возможны три варианта действий.
A. Построить большой завод стоимостью M1= 650 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере R1= 300 ты-
сяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р1= 0,7 и низкий спрос (ежегодные убытки R2 = 85 тысяч долларов) с вероятностью p2 = 0,3.
Б. Построить маленький завод стоимостью М2= 360 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере T1= 120 ты-
сяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р1= 0,7 и низкий спрос (ежегодные убытки Т2 = 60 тысяч долларов) с вероятностью р2 = 0,3.
B. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью р3= 0,9 и р4= 0,1 соответственно. В случае позитивной информации можно по-
строить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низ-
кого спроса меняются на р5=0,8 и р6 = 0,2 соответственно. Доходы на после-
160
дующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться.
Попробуйте самостоятельно нарисовать дерево решений и определить наиболее эффективную последовательность действий, основываясь на ожидаемых дохо-
дах. Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?
Ответ: Нужно строить большой завод. 272,5 тысяч долларов.
Раздел 4. Многошаговые модели принятия решений и динамическое про-
граммирование
Задача 1. Планируется деятельность трех промышленных предприятий на год.
Начальные средства 7 млрд усл. руб. Средства, вложенные в k-е предприятие,
приносят в конце года доход fk(x).
Эти функции заданы таблично:
x |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
1 |
5 |
7 |
6 |
2 |
9 |
9 |
10 |
3 |
12 |
11 |
13 |
4 |
14 |
13 |
15 |
5 |
15 |
16 |
16 |
6 |
18 |
19 |
18 |
7 |
20 |
21 |
21 |
Считаем, что работа предприятия не влияет на работу других предприятий и суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предпри-
ятия. Определить, какое количество средств нужно выделить каждому пред-
приятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Задача 2. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =6.
Задача 3. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =8.
Задача 4. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =7
между четырьмя предприятиями, если функция прибыли для четвертого пред-
приятия задана в таблице:
161
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f4(x) |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
15 |
20 |
Задача 5. Имеется 4 ед. продукции, нужно еѐ распределить по магазинам. До-
ход, который получают при этом: f1 (u1 ) 14 u1 (8 u1 ) – 1-й магазин, если полу-
чит u1 единиц продукции, |
f2 |
(u2 ) |
u22 |
– 2-й магазин, если получит u2 единиц |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
||
продукции, f3 (u3 ) |
3u3 |
– 3-й магазин, если получит u3 единиц продукции. |
|||||
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Нужно получить максимальный доход от распределения.
Задача 6. Некоторое предприятие располагает капиталом 10 млн д.е. Имеется четыре возможности (A, B, C, D) для инвестирования этого капитала. Предпо-
ложительный доход в единицах 10 000 д.е. от инвестирования при каждой та-
кой возможности указан в таблице:
Млн. д.е. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, в 10000 д.е |
28 |
45 |
65 |
78 |
90 |
102 |
113 |
123 |
132 |
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B, в 10000 д.е |
25 |
41 |
55 |
65 |
75 |
80 |
85 |
88 |
90 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, в 10000 д.е |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D, в 10000 д.е |
20 |
33 |
42 |
48 |
53 |
56 |
58 |
60 |
60 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо определить сумму инвестиции для каждой возможности так,
чтобы доход был максимальным.
Задача 7. Необходимо определить кратчайший маршрут между городами A и K,
если заданы следующие расстояния:
Расстояния при движении из города в другой город
Из |
|
A |
|
M |
|
L |
|
Q |
|
|
N |
|
O |
R |
S |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В |
M |
L |
Q |
N |
N |
Q |
O |
R |
S |
R |
S |
R |
S |
K |
K |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
5 |
|
3 |
4 |
|
5 |
3 |
8 |
5 |
3 |
|
6 |
5 |
|
4 |
9 |
|
5 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. (Задача о загрузке)
Для загрузки судна ограниченной грузоподъемности 7 тонн имеются три вида груза. Известны vi – вес единицы i-го груза и fi (xi ) – стоимость перевозки xi единиц i-го груза (i=1,2,3). Определить количество груза i-го вида, которое
162
следует погрузить на судно, чтобы минимизировать стоимость перевозки груза.
В том случае, если груз i-го вида не доставлен, выплачивается штраф в размере fi (0) . Величины vi составляют v1 =1 т, v2 =2 т, v3 =3 т, а функции fi (xi ) заданы в таблице:
xi |
f1 (х1 ) |
f2 (х2 ) |
f3 (х3 ) |
|
|
|
|
0 |
400 |
550 |
700 |
|
|
|
|
1 |
300 |
400 |
500 |
|
|
|
|
2 |
250 |
290 |
350 |
|
|
|
|
3 |
210 |
200 |
|
|
|
|
|
4 |
170 |
|
|
|
|
|
|
5 |
140 |
|
|
|
|
|
|
6 |
110 |
|
|
|
|
|
|
7 |
20 |
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после чего продаѐтся.
В начале каждого года принимается решение о замене оборудования новым или о сохранении старого. Стоимость нового оборудования 4000 усл. руб. После t
лет эксплуатации оборудование можно продать за g(t)=p02-t руб. Затраты на содержание оборудования равны r(t)=600(t+1).
Определить такой план эксплуатации оборудования, чтобы суммарные за-
траты были минимальны.
Задача 10. Автомашина эксплуатируется в течение 6 лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость новой маши-
ны зависит от года покупки. pk 5000 500(k 1) руб. После t лет эксплуата-
ции машину на k-м году можно продать за (t) pk 2 t руб. Стоимость содер-
жания машины в течение k -го года составляет rk (t) 0,1pk (t 1) руб.
Найти оптимальный способ эксплуатации машины: когда нужно заменить машину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.
163
Список литературы
1. Кремер, Н.Ш. Исследование операций для экономистов /Н.Ш. Кремер – М.: ЮНИТИ, 2006. – 407 с.
2. Таха, Х. Введение в исследование операций /Х. Таха – М.: Вильямс,
2007. – 912 с.
3. Кузнецов Б. Т. Математические методы и модели исследования опера-
ций /Б.Т. Кузнецов – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 719 с.
4. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономиче-
ских систем: учеб. пособие для студентов вузов / Е. В. Бережная, В. И. Береж-
ной. изд. 2-е, перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2006. – 432 с.
5. Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, фи-
нансах, бизнесе : учеб. пособие для студентов вузов экон. спец. / С. И. Шелоба-
ев. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 367 с.
164
Прокопенко Наталья Юрьевна
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Учебное пособие
Редактор Т.Л. Батаева
Подписано в печать Формат 60х90 1/16 Бумага газетная. Печать трафаретная. Уч. изд. л. 9,8. Усл. печ. л.10,2. Тираж 300 экз. Заказ №
_________________________________________________________________________
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
Полиграфический центр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65 http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
165