9788

верены и не возникнет ситуация, когда невозможно получить разрешающее уравнение с отрицательным свободным членом.

3. Если начальное базисное решение недопустимо, а в уравнении, содер-

жащем отрицательный свободный член, отсутствует неосновная переменная с положительным коэффициентом, то в этом случае допустимое базисное реше-

ние получить невозможно, так как условия задачи противоречивы.

Симплексные таблицы. Симплексные таблицы позволяют записать про-

цесс решения в более удобном виде.

1-й шаг. Составляем макет таблицы (пусть решается задача на отыскание

максимума):

в первой строке – неосновные переменные, в первом столбце – основ-

ные;

заполняем таблицу коэффициентами при неосновных переменных в системе ограничений;

приписываем справа столбец свободных членов;

готовим последний столбец для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможного значения переменной;

в последней строке, которая называется оценочной, указываются ко-

эффициенты целевой функции с противоположным знаком.

Макет симплекс-таблицы:

2-й шаг. Проверка, является ли первоначальное базисное решение допус-

тимым (все ли bi 0).

20

3-й шаг. Проверка выполнения критерия оптимальности при решении за-

дачи на максимум – наличие в последней строке отрицательных коэффициен-

тов.

Для проверки решения просматривается последняя Z-строка. Из построен-

ной таблицы можно сделать следующие выводы (без доказательств):

1. Если все коэффициенты, стоящие при свободных переменных, неотри-

цательны, то полученное решение оптимально, т. е. достигнут максимум (в ле-

вом нижнем углу таблицы). Основные переменные принимают значения пред-

последнего столбца, неосновные переменные равны 0.

2. Полученное решение единственно, если все эти коэффициенты положи-

тельны.

3. Если среди неотрицательных коэффициентов есть хотя бы один нулевой,

то задача имеет бесконечное множество решений.

4. Если в последней строке есть хотя бы один отрицательный коэффици-

ент, а в соответствующем этому коэффициенту столбце нет ни одного положи-

тельного элемента, то целевая функция не ограничена на области допустимых решений.

5. Если хотя бы один из коэффициентов, стоящих при свободных перемен-

ных, отрицательный и в соответствующем ему столбце есть хотя бы один по-

ложительный элемент, то полученное решение может быть улучшено.

4-й шаг. (Получение нового решения) Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней строке определяет разрешающий столбец.

Для выбора переменной, выводимой из списка базисных, находят отноше-

ние элементов столбца свободных членов к положительным элементам разре-

шающего столбца. Среди этих отношений выбирают минимальное. Строка, со-

ответствующая минимальному отношению, называется разрешающей. Если ко-

нечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума Fmax . Если минимум конечен, то выбираем строку, на которой он достигается (любую, ес-

21

ли их несколько), и называем ее разрешающей строкой. На пересечении разре-

шающего столбца и строки находится разрешающий элемент (обозначим его

akr).

5-й шаг. Переходим к следующей таблице по правилам:

меняем местами основную и неосновную переменную;

на месте разрешающего элемента ставим 1, делим все элементы разре-

шающей строки на разрешающий элемент, делим все элементы разре-

шающего столбца на разрешающий элемент и меняем знак на противопо-

ложный, все остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

После построения новой таблицы переход к шагу 3.

1.4. Двойственность в линейном программировании. Экономическая

интерпретация и свойства двойственных оценок

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется

исходной, или прямой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целе-

вая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на макси-

мум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум – вид ;

2) матрица

ных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица

22

га транспонированием;

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной за-

дачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а

правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи;

5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограни-

чению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная с условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной за-

дачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Модель прямой задачи:

n

f c j x j max;

j 1

Модель двойственной задачи имеет вид

m

g bi yi min;

I 1

yi 0 i 1, m.

23

Теорема 3. Для взаимодвойственных ЗЛП имеет место один из взаимоис-

ключающих случаев:

1. В прямой и двойственных задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают:

max f(X)=min g(Y).

2.В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3.В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функ-

ция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допус-

тимое множество оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Экономический смысл двойственной задачи.

Рассмотрим задачу об использовании ресурсов.

Пусть в производстве n видов продукции используется m видов ресурсов.

Известны величины aij , характеризующие расход каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида продукции ( i 1, m; j 1, n ), cj – цена реа-

лизации 1 ед. j -й продукции, bi – запасы i-х ресурсов. Требуется найти x j* –

оптимальный план производства каждого вида продукции, при котором расхо-

ды ресурсов не превышали бы имеющихся запасов (bi), а общий доход при реа-

лизации всей продукции (f) был бы максимальным.

Двойственная задача к рассмотренной следующая.

Найти yi* – оценки единицы каждого вида ресурсов, минимизирующие суммарную оценку ресурсов, при условии, что оценка ресурсов, необходимых для производства единицы каждого вида продукции, была бы не меньше цены единицы соответствующей продукции. Иначе говоря, по какой минимальной цене предприятие может продать ресурсы, чтобы полученная от их реализации прибыль была не меньше максимально возможной прибыли в случае их ис-

26

ответствующей балансовой переменной в оптимальном решении покажет его остаток после выполнения оптимального плана.

2. Чем больше оценка ресурса, тем выше дефицитность ресурса с точки зрения его вклада в целевую функцию.

Оценка (yi*) i-го ресурса показывает, на сколько изменится оптимальное значение целевой функции Zmax исходной задачи (доход от реализации продукции), если объем соответствующего ресурса изменить на единицу.

Если же объем i-го ресурса изменить на k единиц, то целевая функция изменится на величину ( k y* ) в случае, если это изменение не выйдет за границы устойчивости двойственных оценок.

3.Двойственные оценки показывают, как влияют изменения правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение целевой функции. Практиче-

ский интерес представляют границы (нижняя и верхняя) изменения ре-

сурсов, в которых величины оценок остаются неизменными).

4.Двойственные оценки являются показателем эффективности производст-

ва отдельных видов продукции с позиции критерия оптимальности. С

этой точки зрения в оптимальный план может быть включена лишь та

продукция j-го вида, для которой выполняется условие:

m

aij yi c j , i 1

где yi – оптимальное значение двойственной оценки i-го ресурса; aij –

технологические коэффициенты; сij – доход, получаемый с единицы про-

дукции j-го вида; m – количество видов ресурсов.

5.Двойственные оценки позволяют провести сравнение суммарных услов-

ных затрат и результатов. Из принципа двойственности ( max f min g )

следует, что оценка всех затрат производства должна равняться оценке произведенного продукта.

1.5.Целочисленные задачи линейного программирования

28

Целочисленное программирование ориентировано на решение задач мате-

матического программирования, в которых все или некоторые переменные должны принимать только целочисленные значения.

Задача называется полностью целочисленной, если условие целочиc-

ленности наложено на все ее переменные; когда это условие относится лишь к некоторым переменным, задача называется частично целочисленной. Если при этом целевая функция и функции, входящие в ограничения, линейные, то задача является линейной целочисленной.

Значительная часть экономических задач, относящихся к задачам линейно-

го программирования, требует целочисленного решения. К ним относятся зада-

чи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например, распределение производственных заданий между пред-

приятиями, раскрой материалов, загрузка оборудования, распределение судов по линиям, самолетов по рейсам, а также задачи по производству неделимой продукции. Если единица составляет малую часть всего объема производства,

то оптимальное решение находят обычным симплексным методом, округляя его до целых единиц, исходя из смысла задачи. В противном случае округление мо-

жет привести к решению, далекому от оптимального целочисленного решения.

Методы решения задач целочисленного программирования можно класси-

фицировать как (1) методы отсечений и (2) комбинаторные методы.

Исходной задачей для демонстрации возможностей методов отсечений, ис-

пользуемых при решении линейных целочисленных задач, является задача с ос-

лабленными ограничениями, которая возникает в результате исключения требо-

вания целочисленности переменных. По мере введения специальных дополни-

тельных ограничений, учитывающих требование целочисленности, многогран-

ник допустимых решений ослабленной задачи постепенно деформируется до тех пор, пока координаты оптимального решения не станут целочисленными.

Название «методы отсечений» связано с тем, что вводимые дополнительные ог-

раничения отсекают (исключают) некоторые области многогранника допусти-

29