9916

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11.132. xy 1. 11.133.

y cos 3x .11.134. y

11.136. y e4 x .11.137.

y ln x .11.138.

11.140. 2xy y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

бактерий пропорциональна их количеству (коэффициент пропорциональности k>0). Найти зависимость роста числа бактерий N t с течением времени.

11.74. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

11.75. Тело массы mпадает вертикально вниз с некоторой высоты. Сила вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости

Fтр V , где 0 - коэффициент трения. Определить зависимость скорости от времени, если тело начинает движение с нулевой скоростью.

11.76.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка

находилась на расстоянии 5м от начала отсчёта пути и имела скорость V0 20 м / c . Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с. после

начала движения.

§3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

В задачах 11.77 11.94 найти общее решение (общий интеграл) данных дифференциальных уравнений.

11.77.

y 2

2 .11.78.

x y

.11.79.

x 2 y dx xdy 0 .

x 2

11.80. ydx x y dy 0 .11.81. y 2

2 y xyy .11.82.

x y

11.83. y

xy y 2

.11.84. xy

2 yx 2 3y

x 2 2 y 2

2x 2 xy

y .11.86. y

x 2

2xy 5 y 2

11.85. xy 2

x 2 y 2

2x 2 6xy

11.87. xy y

y 2

.11.88.

xy y

.11.89. y

sin

2 y

11.90.

cos

.11.91. xy y xe

x .11.92. xy y x 2 x .

11.93. y

.11.94.

y 2 e

x 2

В задачах

11.95 11.102

найти

частное решение дифференциальных

уравнений (задача Коши).

11.95. y

1 e

, y 1 0 .

11.96. xy

y x tg x ,

y 1 6 .

11.97. y

cos

y 1 0 .

11.98.

sin

, y 1

11.99. x2 y 2 dx 2xydy 0 ,	y 4 0 . 11.100.					x dy ydx , y 0 1.
11.99. x2 y 2 dx 2xydy 0 ,	y 4 0 . 11.100.				xy	x dy ydx , y 0 1.
11.101. y 2 3x2 dy 2xydx 0 , y 0 1. 11.102.				2xy 2 y 2 x 2 xy y ,
y 1 2 .
11.103. Найти кривую, проходящуючерез точку					A 3; 0 , если известно, что
угловой коэффициент касательной равен		x y	.
угловой коэффициент касательной равен			.
		x

11.104. Кривая проходит через точку 1;1 . Расстояние любой касательной к

этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Написать уравнение указанной кривой.

11.105. Найти кривую, проходящую через точку A 1;2 , для которой отрезок на

оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.

§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

задачах 11.106 11.117

найти общее решение

данных дифферен-

циальных уравнений.

e x

x e

xy x e

11.106.

.11.107.

.11.108. y x

x .

xe3x .11.111. y

11.109.

x e x .11.110.

x 2

x 1

11.112.

y y tg x x 2 cos x .11.113.

y xy cos x e 2 .

11.114.

y tg x sin x . 11.115. y tg x ctg x .11.116.

x y 2 .

11.117.

2 y ln y y x

11.118.

Сила

тока

Iв электрической цепи с сопротивлением

коэффициентом индуктивности Lиэлектродвижущей силой

E удовлетворяет

дифференциальному уравнению

RI E .

Найти зависимость силы тока

I I t

от времени, если E Asin ωt

(L ,

R ,

- постоянные).

задачах 11.119 11.130

найти частное

решение дифференциальных

уравнений (задача Коши).

11.119.

x 2 ,

y 1 0 .11.120. y

y 0 0 .

x2 1

11.121.

3x ,

y 1

2.11.122. y xy x3 , y 0 0 .

11.123.

y y x3e x ,

y 0 6 .11.124. y

e x x 1 ,

y 0 1.

x 1

y y e

y 0

11.125.

1.11.126. y y ctg x 2x sin x , y

0 .

11.127. y y tg x

y 0 1.11.128.

x 0 ,

y 0 0 .

cos x

1 x 2

11.129. x y y e

y a b .11.130. y y sin x sin x cos x , y

0 .

11.131.

Сила

тока

Iв

электрической

цепи

сопротивлением

коэф-

фициентоминдуктивности

Lи

электродвижущей

силой

удовлетворяет

дифференциальному уравнению

RI E .

Найти зависимость силы тока

I I t от времени,

если

E меняется по закону

E kt и

I 0 0

(L,

R,k -

постоянные),k– коэффициент пропорциональности.

§5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков, допускающие понижение порядка

В задачах 11.132 11.156 найти общее решение данных дифференциальных уравнений.

11.143. y

x .11.144.

1.11.145.

x .

10.146. xy

0 .11.147. yy y 2 .11.148.

y3 y 1.

11.149. yy y 2

1 0.11.150.

1 y 2

2yy 0 . 11.151. 2 yy y 2 .

11.152. y

y 1 ( y )

.11.153. y

1 y

.11.154. 3y y

2 y .

11.155.

y ln y .11.156.

y 2

0 .

В задачах

11.157 11.173

найти

соответствующие

частные

решения

дифференциальных уравнений.

11.157.

x , y 0

0 ,

y 0 0 .11.158. y

y 1 2 ,

ln 2

1.11.159.

, y

0 .

y 1 1,

cos2

2 x

11.160. y

y 0 8 ,

y 0 4

, y 0

2 .11.161. 1 x

2xy

0 ,

y 0 0 ,

3.11.162.

y 1 0 ,

y 1 0 .

11.163.

y 0 3 ,

.11.164.

0 2

x ln x y

y e 2 ,

xy y

y e 4 .11.165.

x , y 1 4 ,

1 0 .

11.166. tg x y

, y

.11.167.

y y ctg x

sin x

18 y

y 1 1 ,

sin 2x , y

0 .11.168.

y 1 3 .

9 0 ,

y 1

16,

y 0 2

11.169.

3.11.170.

2 ,

1 , y 1

y 1 y

y 0 2 ,

2 .11.171.

y 0

2 y

0 1.11.172.

18sin y cos y

y 0 0 ,

y 0 3 .

, y 0

11.173.

tg y

2 y

0 1.

§6. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков с постоянными коэффициентами

В задачах 11.174–11.186составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид.

11.174. ex , e 2 x .11.175. e x , e x .11.176.1, x . 11.177. ex , x ex . 11.178. sin 3x , cos 3x . 11.179. sin x , cos x, ex .11.180. e x , xe2 x , e2 x .

11.181. e x , e3x , 1. 11.182.sin 2x, cos 2x,1.11.183.1, x , x 2 .11.184. e x , e x ,

sin 2x, cos 2x .11.185. e x , xe x , sin x , cos x . 11.186. sin 3x, cos 3x, 1, x .

В задачах 11.187– 11.206 решить однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

11.187. y 5 y 6 y 0 . 11.188. y 6 y 5 y 0 . 11.189. y 6 y 9 y 0 . 11.190. y 6 y 0.11.191. y 9 y 0 .11.192. y 9 y 0 .

11.193. y 6 y 10 y 0 . 11.194. y y y 0 .11.195. 4 y y 0 . 11.196. y 2 y 3y 0 .11.197. y 2 y y 0 .11.198. y 4 y

13 y 0 . 11.199. y y 0 . 11.200. y y 0 .11.201. y y 0 . 11.202. y y 2 y 0 .11.203. y y 0 .11.204. y y 0 . 11.205. y y 0 . 11.206. y y 0 .

В задачах 11.207 – 11.215 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

11.207.

5 y

6 y 0 ,

y 0 2 ,

4 y

4 y 0

y 0 1.11.208.

y 0 0 ,

y 0 2 .11.209. y 2 y 5 y 0 , y 0 0 ,

y 0 1.

11.210.

0 ,

y 0 3 ,

.11.211.

9 y

0 ,

y 0 3 ,

y 0 2

25 y 0 ,

y 0 0 ,

y 7 y

y 0 3.11.212.

y 0 1.11.213.

12 y 0 , y 0 4 ,

8 y

16 y

0 ,

y 0 0 ,

y 0 3 .11.214.

.11.215.

2 y

4 y

0 ,

y 0 1,

y 0 5

0 0.

В задачах 11.216 11.235 найти общее решение неоднородного линейного уравнения,находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.

11.216. y 3y 2 y 10e x .11.217. y 2 y 2 y 2x .11.218. ′′ + 4′ −

−5 = −5. 11.219. y 4 y 4 y xe2x .11.220. y 2 y y cos x .

11.221. y 3y 2e 3x .11.222. y 2 y 2 sin 3x .11.223.

y 4 y


2 cos 3x .		11.224.	y 3y 18x 9. 11.225.		y 4 y x 2 1.
11.226.	y	y cos x .11.227.		y y sin 2x .11.228.		y 2 y 3y
e x cos x .		11.229.	y 5y 8y 4 y e2x .11.230.				y y 2x .
11.231.	y y 8e x .11.232.			y y e x .11.233.		y y 6x .
11.234.	y y 2xe x .11.235.			y y cos x .

В задачах 11.236–11.248 найти частное решение неоднородного линейного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

11.236.

2 y 2x 1,

y 0

y 4 y 3y

0 , y 0 1.11.237.

1 x ,

y 0 0 ,

y 0 2 .11.238. y 5y 6 y x 2

2 ,

y 0 0 , y 0 4 .

11.239.

y y 6 y x 2 ,

y 0 0 ,

y 0 3.11.240. y 3y x 3 ,

y 0 0 ,

2 y

y 0 0 ,

y 0 3 .11.241.

y 0 4 .

11.242.

y 4xe

y 0 2

y 4 sin x ,

, y

0 0 .11.243.

y 0 1, y 0 2 .11.244.

y y sin 2x ,

y 1,

y 1.

11.245.

9 y 6 cos 3x ,

y 0 1,

y 2 y 3y

0 3.11.246.

= 48x 2 e x ,

y 0 1, y 0

.11.247.

y y 2x ,

y 0 0 ,

y 0 1,

y 0 2 .11.248.

y y 8e x ,

y 0 1,

y 0 0,

y 0 1,

y 0 0 .

В задачах 11.249–11.260найти общее решение методом вариации

произвольных постоянных.

11.249.

y 4 y

.11.250. y y tg x .11.251.

y y ctg 2 x 0 .

sin 2x

11.252.

y 9 y

.11.253.

y 4 y

.11.254. y 2 y y

cos 3x

sin 2

x 2

y y

e x

11.255.

1 e x .11.256.

2 y

y x

.11.257. y 2 y y

e x

y y

e x

y 6 y

9 y

ln x

. 11.258.

.11.259.

x2 1

e x 1

e3x

11.260.

y y e2x 1 e2x .

В задачах 11.261–11.270 решить дифференциальные уравнения, применяя принцип суперпозиции решений.

11.261.	y 2 y y sin x e x .			11.262. y y 2e x x 2 .
11.263.	y 4 y 4 y sh x sin x .			11.264.	y 4 y 4 y sin x cos 2x .
11.265. y y 6x e x .11.266.				y y xe x cos x .
	y 25 y 3e x	4				e	2x
11.267.			.	11.268.	y 4 y 13y x 2			.

		cos 5x				cos 3x

11.269.	y y cos2 x x 2 .11.270. y 4 y x sin 2 x .

В задачах 11.271 – 11.279найти общие (частные) решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

11.272.

11.273.

11.271.

11.274.

11.276.

11.278.

dx			x 3y,	dx		x 5 y,
		dt			dt
	dy			11.275.	dy
			3x y.			x 3y.


dt				dt

dx 4x y,

dt 11.277.

dy 18x y.

dx y,dt

x et e t .

		dx	3x			5 y,
		dt	3x			5 y,		x 0 2, y 0 5 .
	dy							x 0 2, y 0 5 .
	dy


dt 2x							8 y.
			dx				2x	y sin t,
					dt		2x	y sin t,	условии
11.279.				dy				при	условии
				dy			4x 2 y cos t


			dt

x π 1, y π 2 .

Глава 12

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Расстановка пределов интегрирования

В задачах

12.1 12.17найти пределы двойных интегралов f x , y dxdy

при данных (конечных) областях интегрирования

D ,

представив интегралы в

виде одного из повторныхинтегралов.

12.1. D прямоугольник со сторонами

x 1, x 4 , y 0 , y 2 .

12.2. D прямоугольник: 0 x 2,

1 y 5 .

12.3. D треугольник со сторонами

x 0 , y 0 , x y 2 .

12.4. D треугольник: x 3y 0 ,

y 2x 0 , x 3 .

12.5. D ограничена линиями x y 2, 4x 4 y 2 .

x 0,

1 x 2,

x 0,

12.6. D : 0 y 1,

12.7. D : y x,

12.8. D : y 0,

x 0,

12.9.

D : y x 3, 12.10. D ограничена линиями

y x 3, y 2x 2 , x 0 .

x 2 y

12.11.

D ограничена параболами

y x 2 ,

x y 2 .12.12. D:

x 2

y 2

.12.13. D: x 2 2

y 3 2 4 .

x 0,

x 0,5,

12.14. D :

4 y 3x,

12.15. D :

y x,

25.

xy 1.

12.16. D треугольник со сторонами

y x , y 2x , x y 6 .

12.17. D параллелограмм: y x , y x 3, y 2x 1, y 2x 5 .

В задачах 12.18–12.25 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D

заданные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.

12.18.				12.19.
y				y
		.		.
		.		.
		.		.
.	x	.	x	.
12.20.				12.21.
yy
		.		.
		.		.
x.x .
		.		.
		.		.
12.22.				12.23.
		y	y
.		.		.
.
xx .
		.
12.24.				12.25.
. yy
		.		.
		.		.
x .x .
		.		.
.				.

В задачах 12.26 – 12.35 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D-

заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков прямых и

дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.

12.26.	y	12.27.	у
	.		.
	.		.
	. x .x .
	.		.

12.28.				y		12.29. у
	.					.
x.x .		.				.
		.				.

	.					.
12.30.			y		12.31.y
			.			.
						.
	.					.
x.x .
	.					.
	.					.
12.32.			y		12.33.	у
	.					.
	.					.
x .x .
			.			.
			.			.
			.			.
12.34.						12.35.
	Y у
	.					.
	.					.
x .x .		.				.
x .x .

		.				.
		.				.

В задачах 12.36 – 12.43представить двойной интеграл f x , y dxdy в

виде суммы повторных интегралов (с наименьшим числом слагаемых), если граница области D составлена из отрезков прямых линий и дуг окружностей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.49 Mб09911.pdf
#
25.11.20233.49 Mб09912.pdf
#
25.11.20233.49 Mб09913.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09914.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09915.pdf
#
25.11.20233.5 Mб19916.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09917.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09918.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09919.pdf
#
21.11.2023168.07 Кб1992.pdf
#
25.11.20233.5 Mб09920.pdf