10049

Учитывая сказанное, при построении критерия проверки статистической гипотезы необходимо сначала задаться допустимым уровнем риска на совершение ошибки I рода, как наиболее значимой, а затем минимизировать ошибки II рода.

3. Построение критерия проверки гипотезы

Пусть необходимо проверить простую гипотезу Н0 {X fX (x, )}, состоящую в предположении о виде функции плотности распределения случайной величины Х с вполне определенными параметрами . Построим критерий, однозначно принимающий или отвергающий проверяемую гипотезу по полученной в наблюдении за случайной

основной. Альтернативные гипотезы необходимы при построении критерия проверки основной гипотезы для ее сравнения с имеющимися альтернативами (все познается в сравнении с чем-то).

Критерий проверки гипотезы состоит из двух составляющих: Во-первых, в качестве критерия принимается некоторая случайная

Во-вторых, строится решающее правило для критерия проверки, согласно которому гипотеза будет приниматься или отвергаться. Для этого,

Точки значения критерия К , где критическая область критерия проверки

Кkr отделяется от области принятия гипотезы, называются критическими точками критерия kkr . Как построить критическую область критерия или, что равносильно, как найти критические точки критерия? Ниже рассмотрим ответ на этот вопрос.

Зададимся вероятностью ошибки I-го рода, как наиболее значимой. Исключить такую ошибку при проверке гипотезы невозможно ( 0), но в вероятностных задачах это не является трагедией. На практике обычно эту

80

вероятность задают достаточно малой величиной 0,05; 0,025;0,005 и называют уровнем значимости критерия.

Если из условия

P(k Kkr ) fK (k / H0 )dx

Kkr

можно определить критические точки kkr однозначно, то задача построения критической области критерия решена. В противном случае, когда еще остается свобода выбора критических точек, рассмотрим влияние альтернативных гипотез. Поскольку величина:

f K(k / H j )dx 1 j

справедливости H j , то ее называют мощностью критерия по отношению к альтернативной гипотезе H j . Поэтому при заданном уровне значимости ,

критическую область критерия нужно строить так, чтобы мощность критерия была максимальной, а именно:

(1 j ) max , для наиболее мощного критерия (НМК) относительно гипотезы H j , максимизация проводится по параметрам сложной гипотезы; min (1 j ) max, для равномерно наиболее мощного критерия

(РНМК), в случае наличия нескольких сложных гипотез.

Величина j - есть вероятность принять неверную гипотезу H0 при условии справедливости альтернативной гипотезы H j .

Рис. 13.1. Двухсторонняя критическая область критерия

Кkr {k k2,k k1} при наличии двух альтернативных гипотез H1,Н2 .

81

На рис. 13.1 приведена графическая интерпретация алгоритма построения критической области одномерного критерия. Видим, что структура критической области, зависит от наличия альтернативных гипотез и их “расположения” относительно основной.

Лекция № 14

Примеры построения критериев проверки гипотез

1. Проверка гипотез о значении параметров распределения

Пусть случайная величина Х распределена нормально по закону

По данным выборки могут быть получены выборочное среднее хВ и выборочный стандарт S :

наблюдаемой в выборке случайной величины Х.

Ниже проверим ряд простых статистических гипотез об истинных значениях параметров нормальной случайной величины Х .

1.1. H0 {a a0}. Проверим сначала гипотезу о равенстве значения истинного (гипотетического) математического ожидания а некоторой

имеющую, при справедливости основной гипотезы, распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы:

единственной конкурирующей (альтернативной) гипотезы H1 в следующих случаях:

82

Случай А: H1 {a a0}. В этом случае, при справедливости

конкурирующей гипотезы ожидаем сдвиг вероятных значений критерия K в большую сторону (рис.14.1), поэтому критическая область критерия будет

83

отношению к конкурирующей гипотезе Н1 будет максимальной. Тогда из этих уравнений критические точки находятся однозначно и представляют собой двухстороннюю квантиль распределения случайной величины Стьюдента:

kkr1 tkr ( /2;n 1), kkr2 tkr ( /2;n 1) .

Рассмотрим числовой пример: Пусть по выборке объема n=16 получена оценка математического ожидания наблюдаемой нормальной

случайной величины хВ 10,2 и оценка среднеквадратического отклонения

S 6,5. Поскольку, каждая оценка есть величина случайная (получена по конкретной случайной выборке), то проверим гипотезу о том, что истинное

альтернативной гипотезой H1 {a 15}. Наблюдаемое в выборке значение критерия knab 10,2 15 4/6,5 2,954. Критическая область Kkr двухсторонняя, а критические точки будут:

kkr1 tkr (0,025;15) 2,13; kkr2 tkr (0,025;15) 2,13.

Видим, что knab принадлежит критической области и значит, гипотеза отвергается, т.е. отличие наблюдаемого значения математического ожидания от гипотетического значительны.

1.2. H0 { 2 02} Проверим теперь гипотезу о том, что истинная

(гипотетическая) дисперсия случайной величины равна 02 . Проверяемая гипотеза H0 { 2 02} В качестве критерия возьмем одномерную случайную

величину K , имеющую распределение «хи-квадрат» с n-1 степенями свободы:

конкурирующей гипотезы ожидаем сдвиг наиболее вероятных значений критерия K в большую сторону, поэтому критическая область будет правосторонней.

84

двухсторонней Kkr {k kkr1;k kkr2}. Однако, здесь критические точки

будет максимальной, тогда из этих двух условий критические точки находятся однозначно:

kkr1 2kr (1 /2;n 1); kkr2 2kr ( /2;n 1).

Рассмотрим числовой пример: Пусть по выборке объема n=15 получена оценка дисперсии наблюдаемой нормальной случайной величины S2 40,25 или оценка среднеквадратического отклоненияS 6,5. Поскольку,

каждая оценка есть величина случайная (получена по конкретной случайной выборке), то проверим гипотезу о том, что истинная дисперсия

Видим, что knab 15,653 не принадлежит критической области и значит, гипотеза принимается, т.е. отличия наблюдаемого значения дисперсии от гипотетического незначительны. Если бы, такая оценка дисперсии была получена по выборке меньшего объема n=7, то

при уровне значимости будут построены двухсторонние критические

области такими, что область принятия гипотез Kkr совпадет с доверительными интервалами, построенными с надежностью 1 .

86

Таблица 8.

Рис. 14.4. Гистограмма наблюдаемых частот и кривая теоретических частот.

По заданному уровню значимости проверяемой гипотезы H0 определим критическую точку распределения «хи-квадрат» используя

(нет оснований ее отвергнуть), т.к. отклонения частот незначительны. Примеры заданий для проверки различных статистических гипотез

для самостоятельной работы студентов приводятся в [12].

89