Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10055

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Угол α равен произведению угловой скорости вращения рамки ω на время

α = ω × t

Таким образом, ЭДС, возникающая в рамке, будет равна

e = Em sinα = Em sinω t (В)

(3.1)

3.2. Способы изображения синусоидальных величин

Под переменной ЭДС понимается ЭДС, изменяющаяся по синусоидально- му закону (рис. 3.2).

e(B)

φE	0	ωt

Рис. 3.2

Закон изменения синусоидальной ЭДС записывается в следующем виде:

e = Em sin(ω t +ϕE ) (В),

(3.2)

где e – мгновенное значение ЭДС (В), это значение ЭДС в каждой точке синусоиды;

ω t +ϕE – фаза синусоидальных колебаний; ϕE – это начальная фаза для t = 0;

ω – угловая частота синусоидальных колебаний (1/с). Частотой f называется число периодов в секунду:

f = 1 (Гц),

где T – период, это время одного цикла колебаний (с). Угловая частота ω и частота f связаны соотношением:

ω = 2π = 2π × f .

Для источника переменного напряжения закон изменения записывается в следующем виде:

21
u =U m sin(ω t +ϕU )	(В)	(3.3)
Для синусоидального тока закон изменения записывается аналогичным
образом:
i = I m sin(ω t + ϕI )	(А)	(3.4)

При сравнении выражений (3.2), (3.3), (3.4) видно, что форма записи оди- накова, разница лишь в угле начальной фазы ϕ .

Частота переменного тока f = 50 Гц в Европе и 60 Гц в США и Японии. Для того, чтобы сравнить характеристики цепей постоянного и переменно-

го токов, вводится понятие действующего значения синусоидальной величины:

	1			T						Im
тока I =	1			Im2 sin 2 ω t × dt =						Im
	T
										2
				0						2

								1	T					U
напряжения U =								1	U m2 sin 2 ω t × dt =					U	m	;


							T		0	2

			1		T						E
ЭДС E =			1			Em2 sin 2 ω t × dt =					E	m	.
		T

						0				2

Электроприборы в цепях переменного тока измеряют действующее значе- ние тока, напряжения, ЭДС и мощности.

Тригонометрическая форма записи синусоидальных величин неудобна при расчёте электрических цепей переменного тока, поэтому в электротехнике си- нусоидальные функции изображают в виде комплексных чисел, согласно сле- дующему положению.

Любая синусоидальная функция может быть изображена в виде вектора на комплексной плоскости, величина которого равняется синусоидальной функ- ции, а угол, образованный с осью действительных чисел, равняется углу начальной фазы синусоидального колебания.

Комплексная плоскость – это плоскость, образованная с осью действи- тельных чисел (+ 1) и осью мнимых чисел (+ j), где j 2 = −1.

∙

На рис. 3.3 показано изображение амплитуды тока I m на комплексной плоскости

+ j

∙

Imм

Imд	+ 1

Рис. 3.3

∙

Из рис. 3.3 следует, что I m – комплекс I m (точка показывает комплексную величину); Imд – проекция комплекса на ось действительных чисел; I mм – про- екция комплекса на ось мнимых чисел; ϕ – угол начальной фазы.

Существуют следующие способы изображения комплексных чисел: алгебраическое

∙

I m = Imд

+ jI mм ;

тригонометрическое

∙

(cosϕ + j sinϕ);

I m =

, ϕ = arctg

I mм

где

= Im2

д + I m2

показательное

I mд

∙

× e+ jϕ ;

I m =

I m

где e – основание натуральных логарифмов.

∙ ∙

Аналогично изображаются и комплексы напряжений U и ЭДС E .

Рассмотрим пример, когда требуется определить сумму двух токов

,изображённых на комплексной плоскости (рис. 3.4).

∙

I 2

(3.5)

(3.6)

(3.7)

∙∙

I 1 и I 2

+ 1

Рис. 3.4

Взаимное расположение векторов на комплексной плоскости называется

∙ ∙ ∙

векторной диаграммой. Для определения суммы двух токов I 3 = I1 + I 2 доста-

точно сложить их по правилу параллелограмма.

Применение комплексных чисел при расчёте электрических цепей пере- менного тока позволяет перейти от дифференциальных и интегральных уравне- ний к алгебраическим.

3.3. Резистор в цепи однофазного переменного тока

Пусть в цепь переменного тока i = I m sin ω t включен резистор R (рис. 3.5).

a)	i	б) I
u ~	R	uR	UR
		U ~ R	UR

Рис. 3.5

Падение напряжения на резисторе определим согласно закону Ома:

uR = R × i = R × Im sinω t

(3.8)

где U m = R × I m .

Графики изменения тока i и падения напряжения uR показаны на рис. 3.6. Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей резистивный эле-

мент. Построение начнём с комплексной плоскости (рис. 3.7). Параллельно оси

∙

действительных чисел (+ 1) строим вектор действующего значения тока I .

uR, i

	uR
i
0	2π ωt
π	2π ωt

Рис. 3.6

Далее, сравнивая законы изменения тока i и падения напряжения u R (рис.

3.6), делаем вывод: так как законы изменения тока i и падения напряжения на

∙

резисторе u R одинаковы, то вектор U R совпадает по направлению с вектором

∙

тока через резистор I (рис. 3.7).

+ j

∙

U R

									∙
									I
										+ 1
				Рис. 3.7
Поэтому закон Ома в комплексном виде запишется так:
			∙			∙
			U R = R × I								(3.9)
Этой форме записи закона Ома соответствует схема замещения, показан-
ная на рис. 3.5б.
Мгновенная мощность на резисторе равна:
p = u ×i = I U			sin2	ω t =	ImUm		[1- cos 2ω t]				(3.10)
p = u ×i = I U		m	sin2	ω t =			[1- cos 2ω t]				(3.10)
	m	m		2
				2
Из выражения (3.10) видно, что мгновенная мощность содержит постоян-
ную составляющую	ImUm	и переменную						ImUm	cos 2ω t .
ную составляющую		и переменную							cos 2ω t .
2				2
Среднее значение мощности, выделяемой на резистивном элементе, равно:
			P =	Um Im		=U × I = I 2 × R				(Вт),	(3.11)
			P =			=U × I = I 2 × R				(Вт),	(3.11)
				2

где I = U R

Мощность Р называется активной и измеряется в ваттах (Вт).

3.4. Индуктивность в цепи переменного тока (индуктивный элемент)

Пусть в цепь переменного тока i = I m sin ω t включена индуктивность (рис. 3.8, а).

a)	i		б)	I
	i

u ~ L		uL	U ~	X L	U L
			U ~	X L	U L

Рис. 3.8

Известно [1], что при прохождении тока через индуктивный элемент в нём возникает магнитный поток Φ , который наводит в нем ЭДС самоиндукции

		eL = -W	dΦ	= -L	di	,	(3.12)
			dt
					dt
где W – число витков катушки индуктивности.
Эта ЭДС самоиндукции уравновешивается падением напряжения на ин-
дуктивности u L
		eL = − uL					(3.13)
Падение напряжения на индуктивности u L с учётом (3.12) и (3.13) будет
равно
uL = L	di	= ωL × Im cosω t = ωLIm sin (ω t + 900 )					(3.14)

	dt
		uL =U m sin(ω t + 900 )
Введём понятие индуктивного сопротивления X L
		X L =ωL = 2π fL = 314L , (Ом)					(3.15)
где f = 50 Гц.

Графики изменения тока ( i ) и падения напряжения на катушке ( u L ) пока- заны на рис 3.9.

uL, L

0	π	3/2 π 2π	ωt
π/2

Рис. 3.9

Из рис. 3.9 следует, что ток i и падение напряжения u L колеблются в про-

тивофазе.

Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей индуктивность L. Построение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.10). Параллельно оси

	∙	строим вектор действующего значения тока	∙
действительных чисел	+1	строим вектор действующего значения тока	I .


+ j		∙
		U L

90º

∙

+ 1

Рис. 3.10

Теперь, сравнивая (рис. 3.9) законы изменения тока sin ω t и падения напряжения на индуктивности U m × sin(ω t + 900 ), делаем вывод, что вектор па-

	∙	∙	π .
дения напряжения на индуктивности U L		опережает вектор тока I на угол	π .
			2
Закон Ома в комплексном виде для индуктивного элемента запишется
∙	∙
U L = + jX	I ,		(3.16)
	L

где + jX L – комплекс индуктивного сопротивления;

		∙		∙	на угол π .
+ j показывает, что вектор U L опережает вектор I					на угол π .
Мгновенная мощность индуктивности равна:					2
Мгновенная мощность индуктивности равна:
qL = uL × i = Im sin ω t ×U Lm cosω t = U L I sin 2ω t					(3.17)
Мощность в цепи, содержащей индуктивный элемент, называют реактив-
ной индуктивной мощностью (+ QL) и измеряют в вольт-амперах реактивных
(вар).
+ Q	L	= I 2 X	L	(вар)	(3.18)
	L		L

3.5. Конденсатор в цепи переменного тока

Пусть в цепь переменного напряжения u = U m sinω t включен конденсатор

(рис. 3.11).
Тогда ток, проходящий через конденсатор будет равен [1]:
iA = C duC =ωCUm cosω t = Im cosω t = Im sin (ω t +900 ),						(3.19)
dt
где Im =ωCU m .
Введём понятие ёмкостного сопротивления XC
X		= 1 =	1	= 1	, (Ом)	(3.20)
	C	ωC	2π fC	314C
где f = 50 Гц, емкость С измеряется в фарадах (Ф).
a)			б)
ic				I C
				I C
u~		uc	U~	X C	U C
u~
C

Рис. 3.11

Графики изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i показаны на рис. 3.12.

uC, i

	uC
	i
0	π	3/2 π 2π	ωt
π/2	π	3/2 π 2π	ωt

Рис. 3.12

Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей конденсатор. По- строение начинаем с комплексной плоскости (рис. 3.13). Параллельно оси дей- ствительных чисел (+ 1) строим вектор действующего напряжения на конденса-

∙

торе U C . Теперь, сравнивая (рис. 3.12) законы изменения напряжения на кон-

денсаторе uC = U m × sinω t	и тока i	через конденсатор Im ×sin (ωt + 90)0	делаем
		∙
вывод, что вектор тока I опережает вектор падения напряжения U C на конден-
π
саторе на угол 2 .
Закон Ома в комплексном виде для конденсатора запишется так:
	∙	∙
	U C = - jX C IC ,		(3.21)
где − jX C – комплекс емкостного сопротивления;
		∙
− j показывает, что падение напряжения на конденсаторе U C отстает
∙
от тока I C на угол π .
2
+ j	∙
	I C

90º

∙

U C

Рис. 3.13

Этой форме записи закона Ома в комплексном виде соответствует схема замещения, показанная на рис. 3.11, б.

Мгновенная мощность на конденсаторе равна

qC = uC × iC = U m sin ω t × Im cosω t = U m Im sin 2ω t			(3.22)
Мощность в цепи, содержащей емкостный элемент, называют реактивной
емкостной мощностью QC и измеряют в вольт-амперах реактивных (вар).
− Q = I 2 X	C	(вар)	(3.23)
C

Знак «минус» у мощности QC говорит о том, что в первую и третью чет- верть колебаний конденсатор отдаёт мощность источнику в отличие от индук- тивности, которая в первую и третью четверть потребляет от источника реак- тивную мощность +QL.

3.6.Последовательное соединение резистора, индуктивности

иёмкости в цепи переменного тока

Последовательным соединением элементов называется такое соединение, когда по всем элементам идёт один и тот же ток, а приложенное напряжение равняется геометрической сумме падений напряжений на этих элементах со- гласно второму закону Кирхгофа.

Схема последовательного соединения R, xL, и xC приведена на рис. 3.14, а.

а)		R	X L	X C
	I				б)	I

U~		U R	U L	U C	U ~	Z

Рис. 3.14

Второй закон Кирхгофа в комплексном виде запишется следующим обра-

зом:

∙

=U R

+U L +U C

(3.24)

С учетом вышеприведённых выражений

∙

[R + j(xL − xC )]

U = I R + I

(+ jxL )+ I (− jxL )= I

(3.25)

Выражение в квадратных скобках обозначим через Z и назовем его полным

комплексным сопротивлением цепи.

Z = R + j(xL − xC )

(Ом)

(3.26)

По величине

равняется

Z =

R2 + (x

− x

(Ом)

Тогда закон Ома для последовательно соединенных элементов в комплекс- ной форме запишется в виде

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.78 Mб010050.pdf
#
25.11.20233.78 Mб010051.pdf
#
25.11.20233.78 Mб110052.pdf
#
25.11.20233.78 Mб010053.pdf
#
25.11.20233.79 Mб010054.pdf
#
25.11.20233.79 Mб610055.pdf
#
25.11.20233.79 Mб710056.pdf
#
25.11.20233.79 Mб010057.pdf
#
25.11.20233.79 Mб110058.pdf
#
25.11.20233.8 Mб710059.pdf
#
21.11.2023169.22 Кб01006.pdf