10380

- 60 -

Во-вторых, углы, которые образуют между собой стержни рамы, соединенные в жестких узлах, не меняются при ее деформации. В этом нетрудно убедиться, если определить взаимный угол поворота сечений, проходящих через

точки k и l, у левого верхнего узла рамы (рис. 3.17, ж). Когда точки k и l приближаются к этому узлу, площадь соответствующей эпюры M θ будет стре-

θ kl

миться к нулю, поэтому θkl = (MР M ) также устремится к нулю.

kl

Таким образом, для построения деформированной схемы рамы достаточно определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки j, либо линейное

iP и угловое θiP перемещения сечения у опоры B (рис. 3.17, з).

- 61 -

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК И РАМ МЕТОДОМ СИЛ

4.1. Свойства статически неопределимых систем

Напомним, что статически неопределимыми называются системы, у которых внутренние усилия нельзя найти, используя лишь уравнения равновесия (1.10). Если при этом указанные уравнения позволяют определить опорные реакции, система называется статически неопределимой внутренним образом.

Отличительной особенностью СНС является наличие дополнительных или лишних связей – внешних или внутренних, число которых для произвольной стержневой системы можно найти по формуле:

где СО – число опорных связей; Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом; Д – число дисков.

Число лишних связей фермы, как уже отмечалось в § 1.2.2., удобнее определять по формуле:

где СО – число опорных связей; С – число стержней фермы; У – число ее узлов.

Нетрудно убедиться, что для рам вместо формулы (1.2 ) удобнее использо-

где Л – число лишних связей; К – число замкнутых контуров, образованных стержнями рамы и поверх-

ностью земли; Ш – суммарное, в отличие от приведенных в формуле (1.2 ), число простых

шарниров (включая опорные).

В самом деле, число лишних связей П-образной рамы, не содержащей шарниров и образующей один контур (рис. 4.1, а), можно найти по формуле

(1.2 ):

Л = 6 + 0 – 3 1 = 3.

Введение в контур рамы простого шарнира уменьшает на единицу число связей системы, откуда и следует (4.1).

При определении числа шарниров по формуле (4.1) кратный шарнир, соединяющий n стержней, заменяют (n – 1) простым.

- 62 -

Рис. 4.1

Подвижную опору рекомендуется изображать на схеме так, как показано на рис. 4.1, б, то есть считать ее эквивалентной двум простым шарнирам, включенным в контур. При этом для рассматриваемой схемы получим:

Л = 3 3 – 5 = 4.

Наличие лишних связей повышает стойкость системы к разрушению и позволяет проектировать более экономичные конструкции.

Переходя к перечислению свойств СНС можно отметить следующее:

1. Устранение ненулевых связей СНС не обязательно приводит к ее разрушению – в отличие от СОС, рассмотренных в §2.1. Например, при достаточном запасе прочности статически неопределимой фермы (рис. 4.2, а) удаление стержня нижнего пояса (рис. 4.2, б) вызовет перераспределение усилий в остальных стержнях, приведет к увеличению прогибов, но не будет иметь катастрофических последствий.

Рис. 4.2

2.Опорные реакции и внутренние усилия в СНС возникают не только под действием силовых, но также вследствие кинематических и температурных воздействий.

3.В отличие от СОС опорные реакции и внутренние усилия в СНС зависят от физических свойств материала и геометрии поперечных сечений элементов системы.

Теория расчета СНС появилась в конце 19-го – начале 20-го столетия. Основными методами расчета таких систем являются метод сил (МС) и метод перемещений (МП).

-63 -

4.2.Суть метода сил. Канонические уравнения МС

Основная идея метода сил очень проста и может быть рассмотрена на следующем примере.

Пример 4.1. Определить реакцию RB статически неопределимой балки от заданной нагрузки, полагая ее жесткость равной EJ (рис. 4.3, а).

l

MB0

Рис. 4.3

Решение. В соответствии с принципом освобождаемости от связей отбросим опору B , заменив ее неизвестной реакцией RB (рис. 4.3, б).

В полученной системе, которая называется основной (ОС) и может рассматриваться как статически определимая, если считать RB известной, точка B может перемещаться – как от заданной нагрузки, так и от силы RB (рис. 4.3, в–г).

заданной нагрузки в основной системе, а MB0 – соответствующая эпюра от единичной силы, приложенной в точке B (рис. 4.3, д–е). Перемножая их по правилу Верещагина, получим:

В(P) = (1/EJ) (1/2) (l/2) (Pl/2) (5/6) l = 5Pl3/48EJ.

- 64 -

При определении перемещения В(RB) в качестве нагрузки выступает реак-

ция RB. Поскольку соответствующая эпюра отличается от эпюры M 0 только

B

множителем (рис. 4.3, ж), это перемещение можно представить в виде:

В(RB) = (MRB0 M B0) = ( RB) ( M B0 M B0) = ( RB) BB ,

где BB перемещение точки B от единичной силы, приложенной в этой точке:

BB = ( MB0 MB 0) = (1/EJ) (1/2) l l (2/3) l = l3/ (3EJ).

Так как в заданной системе точка B закреплена и не может перемещаться в вертикальном направлении, потребуем, чтобы и в основной системе перемещение точки В от одновременного действия силы P и реакции RB, или, что то же самое, алгебраическая сумма ее перемещений от каждого из этих воздействий равнялась нулю:

В(P,RB) = В(P) + В(RB) =5Pl3/48EJ + ( RB)(l3)/(3EJ) = 0,

В общем случае СНС имеет не одну, а n дополнительных связей, реакции которых выступают в качестве равноправных неизвестных МС и обозначаются

X1, X2, …, Xn.

Например, статически неопределимая рама на рис. 4.4, а имеет 3 лишние связи, в качестве которых можно выбрать 2 линейных и 1 моментную связь, соответствующие жесткому защемлению в точке В.

Отбрасывая эту опору и заменяя ее действие реакциями X1, X2, X3, получим основную систему, показанную на рис. 4.4, б. Требование, чтобы она вела себя как заданная, означает, что

1 (X1, X2, X3, P) = 0;

2 (X1, X2, X3, P) = 0; (4.2)3 (X1, X2, X3, P) = 0,

где i (X1, X2, X3, P) – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от всех перечисленных факторов: X1, X2, X3 и от заданной нагрузки. На основании принципа суперпозиции запишем последние уравнения в виде:

где ij – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от силы Xj = 1, аip0 – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от заданной нагрузки в основной системе.

- 65 -

Напомним, что для балок и рам эти перемещения определяются по форму-

где Mi0 и Mp0 – эпюры от Xi = 1 и от заданной нагрузки в основной системе метода сил.

Рис. 4.4

- 66 -

При этом как в силу теоремы Максвелла – (3.10), так и непосредственно из выражения (4.4) следует, что удельные перемещения симметричны:

ij = ji .

Уравнения (4.3) называются каноническими уравнениями метода сил. Они справедливы не только для рам, но и для любых статически неопределимых стержневых систем. Каждое из уравнений этой системы имеет геометрический смысл – оно выражает отсутствие перемещения в основной системе в направлении отброшенной лишней связи. В качестве неизвестных выступают силы: X1, X2, X3, откуда и следует название метода.

Для n неизвестных систему канонических уравнений МС можно записать в следующем виде:

Решив эту систему уравнений и определив неизвестные X1, X2, …, Xn, мы сведем дальнейший расчет СНС к расчету статически определимой основной системы, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями дополнительных связей.

Рассмотрим еще один пример определения опорных реакций статически неопределимой рамы. Здесь и в дальнейшем изгибные жесткости элементов системы будем считать известными и равными EJ, если в условии не оговаривается иное.

Пример 4.2. Определить опорные реакции рамы (рис. 4.5, а), полагая жесткость EJ постоянной.

Решение.

1. Определяем число лишних связей системы: Л = 3К – Ш = 3 1 – 1 = 2 и выбираем основную систему, отбрасывая две линейные связи шарнира В и заменяя их неизвестными реакциями X1 и X2 (рис. 4.5, б).

Система канонических уравнений (4.4) для данной системы примет вид:

2.Строим эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных и от заданной нагрузки в основной системе (рис. 4.5, в–д).

3.Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы (а):

11 = 8/3EJ;12 = 4/EJ;22 = 32/3EJ;

где Mp, Qp, Np – соответствующие усилия в заданной СНС от заданной нагрузки; Mp0, Qp0, Np0– те же усилия в ОС МС от заданной нагрузки; Mi0, Qi0, Ni0 –Ni0 – эти же усилия в ОС МС от Xi = 1.

М10Х1

Рис. 4.5

- 69 -

Поскольку при расчете рам учитываются только изгибные деформации, которым соответствуют изгибающие моменты, по формулам (4.7) определяют лишь первое из внутренних усилий – Mp. Эпюру Qp удобнее построить по эпюре Mp, используя дифференциальную зависимость Qp = dMp/dx, а эпюру Np – по эпюре Qp, рассматривая равновесие вырезанных узлов рамы.

Рассмотрим такую процедуру на примере фрагмента рамы, приведенного на рис. 4.6, а.

Пусть на вертикально расположенных участках k-i и j-l эпюра Mp линейна и знакопостоянна, а на горизонтальном участке i-j, загруженном равномерно распределенной нагрузкой, представляет собой параболу.

Очевидно, что на последнем участке рамы эпюра Mp не отличается от эпюры моментов в простой двухопорной балке соответствующего пролета, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и концевыми моментами (рис. 4.6, б), и ее в общем случае можно представить в виде суммы:

где Mp0 (x) – эпюра от собственной нагрузки внутри пролета, а Mpк(x) – эпюра от концевых моментов, показанная пунктиром на рис. 4.6, в.

l

Рис. 4.6

Дифференцируя (4.8), и рассматривая полученное выражение на концах участка, получим: