10511

111

3.4.НАХОЖДЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим несколько простых приемов, позволяющих в процессе решения

задач определить местоположение МЦС.

1.Известна угловая скорость фигуры и скорость любой ее точки А

(рис. 3.8,а).

Для определения МЦС надо:

Повернув вектор скорости , на 900 в сторону вращения тела,

найти направление, на котором лежит МЦС;

Возможны два варианта:

МЦС находится между точками А и В, когда скорости направлены в разные стороны (рис.3.8, в);

МЦС находится за пределами отрезка АВ, когда скорости не равны и направлены в одну сторону (рис. 3.8, г).

113

O

vO

P

Рис. 3.9

3.5.ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ

ТЕОРЕМА

Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигуры вокруг полюса:

Доказательство

По теореме о сложении скоростей имеем:

= Р + Р.

Продифференцируем это равенство по времени. Получим:

С

есть ее ускорение во вращении фигуры вокруг точки С (вокруг полюса).

Теорема доказана.

114

Рис. 3.10

Тогда полное ускорение точки М будет равно:

3.6. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК КОЛЕСА

ПРИМЕР

Пусть колесо радиусом R=1м катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса 0 = 1 мс , а ускорение центра колеса по направлению совпадает со скоростью и равно 0 = 1 см2.

Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса (рис. 3.11).

Решение

1.Определение скоростей

МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часовой стрелке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР.

115

Угловую скорость колеса получим из формулы, которая связывает

угловую скорость со скоростью центра колеса: 0 = ∙ , из которой получается, что = 0 = 1 1.

Вращательные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса

относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены перпендикулярно к соответствующему радиусу в сторону углового ускорения:

vC

P P

Рис. 3.11

2.Определение ускорений

Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О движется прямолинейно. В этом случае угловое ускорение можно найти следующим образом:

То есть в данный момент времени

117

Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.

Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется

мгновенным центром ускорений.

Существуют правила, по которым всегда можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.

118

ДИНАМИКА

Тема 1.

Основные законы механики

1.1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение

механических систем под действием сил.

Динамика является синтезом

статики, которая изучает преобразования систем сил и условия их равновесия, и

кинематики, которая изучает способы математического описания

движения тел.

Задачи, решаемые методами динамики, условно можно разделить на две

группы:

Первая задача динамики (прямая) предполагает, что закон движения механической системы известен, а силы, которые вызывают это движение, необходимо найти.

Вторая задача динамики (обратная) предполагает, что известны силы,

действующие на механическую систему, а найти необходимо закон движения.

Рис. 1.1

Динамика основывается на ряде принципов, которые могут быть названы

законами или аксиомами.

119

1.2. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ

Аксиома 1. (Закон инерции).

Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

Аксиома 2. (Закон равенства действия и противодействия).

Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, действующими вдоль одной прямой, соединяющей точки их приложения и направленными в противоположные стороны.

Аксиома 3. (Принцип освобождаемости от связей).

Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.

Аксиома 4. (Основной закон динамики).

Фундаментальное значение имеет второй закон Ньютона.

Сила, действующая на свободную материальную точку, сообщает ей ускорение,

которое в инерциальной системе отсчета пропорционально этой силе:

Примечания:

В уравнение (1.1) входит величина m, которая называется массой материальной точки. Она является мерой инертности точки: чем больше масса, тем меньшее ускорение сообщает точке приложенная сила

Масса измеряется в килограммах (кг), и, следовательно, единица силы

(ньютон) будет равна 1 Н = 1  кгс2м.

Если на точку действует несколько сил, то под F в уравнении (1.1)

следует понимать их равнодействующую: