10511

150

1. Суммы мощностей и работ внутренних сил в абсолютно твердом теле

равны нулю.

Покажем это.

Если принять точку D за полюс, то по теореме о сложении скоростей получим:

Поскольку внутренние силы всегда возникают попарно, то и общая сумма мощностей будет равна нулю.

2. Внутренние силы, возникающие в нерастяжимой, абсолютно гибкой

нити, также не совершают работы.

3.

Механические системы, в которых суммарная мощность и работа внутренних сил равны нулю называют неизменяемыми.

151

Признаки неизменяемых механических систем:

1.Они должны состоять из абсолютно твердых тел и абсолютно гибких нерастяжимых нитей.

2.При взаимодействии тел системы должно отсутствовать взаимное проскальзывание.

Примечание: В примере с орудием нарушены оба признака: газ

расширяется, снаряд проскальзывает по стволу.

7.3.РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ

1.Работа при поступательном движении тела

Рассмотрим тело, совершающее поступательное движение под действием

поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы (рис. 7.7,б) и

равны скорости центра масс .

Рис. 7.7

Выразим мощность, развиваемую всей системой сил при поступательном

движении:

где – главный вектор внешних сил.

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твёрдому телу, при поступательном движении равна работе главного вектора всех внешних сил на элементарном перемещении центра масс.

2.Работа при вращательном движении тела

Рассмотрим тело, совершающее вращательное движение относительно оси

v

153

Рис. 7.8

Выразим мощность, развиваемую всей системой сил в процессе

вращательного движения:

где M z e – главный момент всех внешних сил относительно оси вращения.

Учитывая, что dt d и dA N dt , получим выражение элементарной работы внешних сил:

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твёрдому телу, при вращательном движении равна работе главного момента всех внешних сил на элементарном угловом перемещении.

3.Работа при плоскопараллельном движении

Как известно из основной теоремы статики, любая система сил при

приведении к заданному центру заменяется одной силой, равной главному вектору, и одной парой, момент которой равен главному моменту системы сил.

Главный вектор, приложенный в центре масс, будет побуждать тело к совершению поступательного движения, а главный момент, действуя независимо, – к совершению вращательного движения (рис. 7.9).

Mzce

Рис. 7.9

Мощности и элементарные работы при этом будет суммироваться:

154

Элементарная работа внешних сил, приложенных к твёрдому телу,

при плоскопараллельном движении складывается из работы главного вектора внешних сил приложенного в центре масс на элементарном перемещении центра масс и работы главного момента относительно оси проходящей через центр масс на элементарном угловом перемещении относительно этой оси.

155

Тема 8.

Теорема об изменении кинетической энергии

8.1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Кинетической энергией материальной точки называется величина, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости:

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формуле аналогичной (8.2)

с той разницей, что сумма заменяется интегралом:

где m ─ масса бесконечно малого объема тела, а v ─ его скорость.

Примечания:

Кинетическая энергия не может быть отрицательной;

Кинетическая энергия (так же как и скорость) зависит от выбора системы отсчета.

Размерность кинетической энергии ─ джоуль:

[ ] = кг ∙ м2⁄с2 = Дж.

Рассмотрим, как записывается кинетическая энергия при различных формах движения тела.

Поступательное движение тела

При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы и совпадают со скоростью центра масс. По этой причине (8.3) упрощается:

158

ТЕОРЕМА

Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех действующих в системе сил:

Или, выделяя отдельно работы внешних и внутренних сил:

Доказательство

Запишем теорему в дифференциальной форме и проинтегрируем левую и правую части равенства по времени за промежуток времени (0,t):

∫0 = ∫0 ∑ .

Преобразуем левую часть равенства:

Преобразуем правую часть равенства:

∫0 ∑ = ∑ .

Приравнивая, получим − 0 = ∑=1 .

Теорема доказана

159

Тема 9.

Потенциальное силовое поле

9.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ

Потенциальными или консервативными силами называются силы, работа которых не зависит ни от траектории, по которой движется точка приложения силы, ни от характера этого движения, а определяется только начальным и конечным положением точки.

Силовым полем называется область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, однозначно определенная в любой момент времени по величине и по направлению:

= ( , , , ).

Силовое поле называется стационарным, если действующая в нем сила не зависит от времени:

= ( , , ).

Силовое поле называется однородным, если действующая в нем сила постоянна как вектор:

= .

Силовое поле называется потенциальным или консервативным, если для него существует функция координат П( , , ), такая, что проекции

действующей силы могут быть вычислены через ее частные производные:

Для исследования скалярных функций нескольких переменных используют векторную функцию, которую называют градиентом: