Тема 5. Применения производной
Теорема Ферма.. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Условия существования экстремума. Признаки выпуклости и вогнутости функции. Точки переги6а. Дополнительные характеристики функции. Асимптоты функции. Общая схема и алгоритм исследования функции и построения графиков.
Тема 6. Неопределенный интеграл
Определения, основные свойства. Семейство первообразной. Интегралы от основных элементарных функций. Методы замены переменных и интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей.
Тема 7. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла как приращения первообразной и формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интеграл с переменным верхним пределом. Несобственные интегралы первого рода. Приближенная оценка интеграла с помощью теоремы о среднем. Формула трапеций. Вычисление площадей. Построение графика интеграла с переменным верхним пределом от функции, заданной графически при нулевых начальных условиях
Тема 8. Функции нескольких переменных
Определения. Способы изображения, понятие о линиях уровня. Частные и полное приращения. Частные производные. Дифференциалы. Градиент. Абсолютный экстремум функции двух переменных. Понятие об интегрировании функции нескольких переменных.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Основные понятия. Уравнения с разделяющими переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения, уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Тема 10. Ряды
Понятие ряда. Ряды с положительными членами. Сходимость ряда. Признаки сходимости: необходимый признак сходимости, признак Доламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды. Степенные ряды. Ряды Фурье.
Литература.
-
Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2001.
-
Дифференциальное и интегральное исчисление/под редакцией Пискунов Н.С. – М.: Физматиз, 1963.
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1974.
-
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П., Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.
-
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 ч. – М.: Высшая школа, 1997.
-
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити, 2007.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
1. Определить результаты действий
Таблица 1 – Варианты задания 1
Вариант |
Задание 1.1 |
Задание 1.2 |
Задание 1.3 |
1 |
р1 – число букв в полном имени студента р2 – число букв в полном имени отца студента р3 – число букв в фамилии студента. |
||
2 |
|||
3 |
|||
4 |
|||
5 |
|||
6 |
|||
7 |
|||
8 |
|||
9 |
|||
10 |
2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя (табл. 2).
Таблица 2 – Варианты задания 2
Вариант |
Пределы |
|
Вариант |
Пределы |
1 |
а) б) в) г) |
|
6 |
а) б) в) г) |
2 |
а) б) в) г)
|
|
7 |
а) б) в) г) |
3 |
а) б) в) г)
|
|
8 |
а) б) в) г) |
4 |
а) б) в) г)
|
|
9 |
а) б) в) г) |
5 |
а) б) в) г) |
|
10 |
а) б) в) г) |
3. Найти производные данных функций (табл. 3).
Таблица 3 – Варианты задания 3
Вариант |
Функции |
|
Вариант |
Функции |
1 |
а) б) в) г) |
|
6 |
а) б) в) г) |
2 |
а) б) в) г) |
|
7 |
а) б) в) г) |
3 |
а) б) в) г) |
|
8 |
а) б) в) г) |
4 |
а) б) в) г) |
|
9 |
а) б) в) г) |
5 |
а) б) в) г) |
|
10 |
а) б) в) г) |
4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график (табл. 4).
Таблица 4 – Варианты задания 4
Вариант |
Функции |
|
Вариант |
Функции |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
5. Найти неопределенные интегралы (табл. 5).
Таблица 5 – Варианты задания 5
Вариант |
Интеграл |
|
Вариант |
Интеграл |
1 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|
7 |
|
3 |
|
|
8 |
|
4 |
|
|
9 |
|
5 |
|
|
10 |
|
6. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями (табл. 6).
Таблица 6 – Варианты задания 6
Вариант |
Уравнения линий |
|
Вариант |
Уравнения линий |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
7. Исследовать функцию на экстремум z=f(x;y) (табл. 7).
Таблица 7 – Варианты задания 7
Вариант |
Функция |
|
Вариант |
Функция |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
8. Найти общее решение для дифференциального уравнения (табл.8 ).
Таблица 8 – Варианты задания 8
Вариант |
Уравнение |
|
Вариант |
Уравнение |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
9. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , (табл. 9).
Таблица 9 – Варианты задания 9
Вариант |
Уравнение с условиями |
|
Вариант |
Уравнение с условиями |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
10. Исследовать сходимость числового ряда (табл.10).
Таблица 10 – Варианты задания 10
Вариант |
Ряд |
|
Вариант |
Ряд |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
11. Найти область сходимости степенного ряда (табл. 11).
Таблица 11 – Варианты задания 11
Вариант |
Ряд |
|
Вариант |
Ряд |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
12. Вычислить определенный интеграл (табл. 12) с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав его почленно.
Таблица 12 – Варианты задания 12
Вариант |
Интеграл |
|
Вариант |
Интеграл |
1 |
|
6 |
||
2 |
|
7 |
||
3 |
|
8 |
||
4 |
|
9 |
||
5 |
|
10 |
Составитель: Уфимцев Сергей Григорьевич
ПРОГРАММА КУРСА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Для студентов заочной формы обучения
направления 080 100 «Экономика»
ФГБОУ ВПО Уральский государственный аграрный университет
620075, г. Екатеринбург, ул. К. Либкнехта, 42