- •Спеціальні класи бінарних відношень
- •Вовочка
- •Коло, трикутник, квадрат
- •Властивості відношень
- •Властивості відношень
- •Теорема про властивості
- •Доведення п.5
- •Доведення п.5
- •Відношення еквівалентності
- •Приклади відношеннь еквівалентності
- •Класи еквівалентності.
- •Приклади класів еквівалентності
- •Канонічна сюр’єкція
- •Розбиття
- •Теорема про зв’язок еквівалентності та розбиття
- •Відображення та еквівалентності
- •Доведення теореми
Класи еквівалентності.
Класом еквівалентності елемента x по відношенню еквівалентності R A A будемо називати множину [x]R елементів y A, що знаходяться у відношенні
еквівалентності R з x (включаючи сам x)
[x]R={y A|(x,y) R}
Фактор-множиною множини A по відношенню еквівалентності R, будемо називати множину всіх
класів еквівалентності множини A по відношенню еквівалентності R.
A/R={x A|[x]R} |
11 |
Приклади класів еквівалентності
Еквівалентність
Паралельність прямих Однакова остача
при діленні на 2 Бути родичами
x y mod 5
Класи
Напрямок
{парні},{непарні}
Сім’я, рід {1,6,..},{2,7,..}, {3,8,..},{4,9,..}, {5,10,..}
12
Канонічна сюр’єкція
R A×A, R – відношення еквівалентності
φR: A A/R при якому x A [x]R
R A / R
[x]R A/R φR-1([x]R)
φR-1([x]R) = x, оскільки x [x]R
13
Розбиття
A - розбиття A
1.A A
2.A A
14
Теорема про зв’язок еквівалентності та розбиття
Довільне відношення еквівалентності R на множині А породжує розбиття А на класи еквівалентності.
І навпаки кожне розбиття {Aα} множини A задає
на множині А відношення еквівалентності R, |
|
таке що |
xRy x, y A |
15
еквівалентність=>розбиття
1.[a]R [b]R c [a], c [b]
aRc,bRc симетричність aRc,cRb
транзитивність aRb
Доведемо, що в цьому разі [a]=[b]
w [a] aRw, aRb симетричність bRa, aRw
транзитивність bRw w [b]
В зворотному напрямку аналогічно
2.A [d ]
a A aRa a [a] a [d ]
16
розбиття=>еквівалентність
xRy x, y A
1. |
рефлексивність a A a A a A 0 |
aRa |
|||
|
|
|
|
|
|
2. симетрічність aRb a,b A 0 |
b, a A 0 |
bRa |
|
||
3. |
транзитивність aRb,bRc a,b A ,b,c A |
2 |
|
||
|
|
1 |
|
|
b A 1 A 2 1 2
a,b, c A 1 aRc
17
Відображення та еквівалентності
F: A B
F : x,y A , x F y F(x) = F(y)
Теорема.
Для довільного F: A B
F є відношенням еквівалентності
18
Доведення теореми
1.Рефлексивність |
F(x)=F(x) |
x A x F x |
|
2.Симетричність |
F(x)=F(y) F(y)=F(x) |
x F y y F x |
3.Транзитивність |
F(x) = F(y), F(y) = F(z) |
||
x F y , y F z |
|
||
|
x F z |
|
F(x) = F(z) |
|
19 |