Доведення співвідношення
Cnm Cnn m , |
0 m n |
вибірка об’єму m |
|
вибірка об’єму n-m |
|
|
|||
= |
|||
n |
Cnn m |
||
C m |
|
21
Доведення співвідношення
Cnm Cnm 11 Cnm 1
|
X a1 , a2 |
, ...an |
+ |
вибірки з a1 |
Cnm 11 |
вибірки без a1 |
+ Cnm 1 |
|
|
всі вибірки |
Cnm |
22
Кількість підмножин
A={a1,a2,a3,….an} B A
B {α1,α2,α3,…..αn}
|
a B |
α1 |
– 2 |
можливості |
|
|
1 |
||||
|
i |
α2 |
– 2 |
можливості |
|
|
i |
|
|
можливості |
|
i 0 |
a B |
α3 |
– 2 |
||
|
|
|
.............................. |
||
|
|
|
αn – 2 |
можливості |
|
|
|
|
|
|
|
2n можливостей
23
Доведення співвідношення
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1 Cnn 2n
A a1,a2 ,...an
0-елементних підмножин
1-елементних підмножин
…………………
k-елементних підмножин
…………………
Всі підмножини
Cn0 Cn1
Cnk
2n
24
Біном Ньютона
|
|
|
|
n |
|
|
(a b) n |
Cnk a k b n k , n 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
(a b)(a b)....(a b) |
= an+an-1 b+….+ak bn-k+… |
|||
|
|
|
|
|
nразів
a k b n k |
з k дужок узято a, |
|
з решти - n-k дужок узято b |
||
|
способів вибрати k дужок з n |
Cnk |
25
Доведення співвідношення
Cn0 Cn1 Cn2 ... ( 1)n Cnn 0
(1 1)n Cn0 Cn1 .... ( 1)n Cnn (1 1)n Cn0 Cn1 .... Cnn
26
3.
Трикутник Паскаля
|
1 |
|
коефіцієнти біному Ньютона при |
n=0 |
|
|
1 1 |
|
коефіцієнти біному Ньютона при |
n=1 |
|
1 |
2 |
1 |
коефіцієнти біному Ньютона при |
n=2 |
|
1 3 3 |
|
1 коефіцієнти біному Ньютона при |
n=3 |
||
1 4 |
6 |
4 |
1 коефіцієнти біному Ньютона при |
n=4 |
|
|
|
|
Cnm 11 |
Cnm 1 |
|
+ |
|
Cnm |
27 |
Розміщення з
повтореннями
Кількість різних впорядкованих вибірок з повтореннями
об’єму k
з n елементної множини
Ak |
28 |
n |
|
Розміщення з повтореннями
Ank n k
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Перестановки з повтореннями
n1 |
елементів 1-го типу |
|
|
n2 |
елементів 2-го типу |
n1+n2+…+nk=n |
|
…………………… |
|||
|
|||
nk елементів k-го типу
Кількість різних способів впорядкування множини з n1 елементів 1-го типу,
n2 елементів 2-го типу,….
nk елементів k-го типу, всього n
Pn(n1,n2,…nk) 30