- •010501 Прикладная математика и информатика
- •2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •2.2. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •2.3. Важнейшие дискретные случайные величины и их законы распределения
- •2.4. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины
Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева
Кафедра «Техническая кибернетика»
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Курс лекций
для студентов, обучающихся по специальности
010501 Прикладная математика и информатика
Случайные величины
Лектор: к.ф.-м.н., доцент
Коломиец Э.И.
САМАРА 2011
2.1. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Интуитивное представление о случайной величине
Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.
Примеры случайных величин:
а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);
б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);
в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).
Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….
Определение случайной величины
Пусть задано некоторое вероятностное пространство .
Определение. Функция называетсяслучайной величиной, если для любого множество
является событием, то есть .
Смысл приведенного определения случайной величины состоит в требовании того, чтобы у подмножества была определена его вероятность при любом.
Определение. Говорят, что функция является-измеримой, если множестводля любого.
Таким образом, случайная величина есть -измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходучисло.
Из определения случайной величины и свойств -алгебры вытекает, что событиями являются также следующие подмножества, связанные со случайной величиной:
;
;
;
,
и любые другие, получающиеся из них с помощью выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, приведенное определение случайной величины эквивалентно тому, что попадание случайной величины в любое борелевское множество на числовой прямой является событием:для любого.
Заметим, что, если в -алгебресодержатся все подмножества(как, например, в случае конечного или счетного), то случайной величиной являетсялюбая числовая функция . В общем случае это не так.
Определение функции распределения случайной величины
Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и делать это одним и тем же способом для любых случайных величин, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция, определенная при каждомравенством:
.
Из определения случайной величины следует, что ее функция распределения определена для любого.
Геометрически функция распределения означает вероятность попадания случайной точкилевее заданной точки:
Свойства функции распределения
Функция распределения является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины, поскольку позволяет определять вероятности любых событий с ней связанных. Это вытекает из следующих ее свойств функции распределения.
F0). для любого.
(свойство следует из определения, так как - вероятность).
F1). Функция распределения является функциейнеубывающей: .
▲ . Поэтому в силу свойства 3 вероятности ■.
F2). .
▲ Нестрогое доказательство данного свойства и его смысл состоят в следующем:
в силу свойства 2 вероятности;
в силу аксиомы нормированности Р2).
Строгое доказательство свойства F2) основано на использовании аксиомы непрерывности Р4).
Рассмотрим события ,. Нетрудно заметить, что последовательность событийудовлетворяет свойствам: 1); 2). Поэтому в силу аксиомы непрерывности
.
Свойствам аксиомы непрерывности удовлетворяют также события ,и поэтому. Поскольку, то■.
F3). Функция распределения является функциейнепрерывной слева, то есть для любого
,
где - предел слева функции распределения в точкех.
▲ Рассмотрим события ,. В силу аксиомы непрерывности. Поскольку
,
то ■.
Замечание. Отметим, что если функцию распределения определить как , то она будет функцией непрерывной справа.
Замечание. Свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс функций распределения в смысле следующего утверждения (без доказательства).
Если функция удовлетворяет свойствамF1), F2) и F3), то есть функция распределения некоторой случайной величины, то есть найдется вероятностное пространствои такая случайная величина на этом пространстве, что.
F4). Для любого
,
где - предел справа функции распределения в точкех, - величина скачка функции распределения в точке.
Следствие. Если функция распределения непрерывна в точке , то. Если функция распределения непрерывна для любого, тодля любого.
▲ Поскольку справедливо представление
и события в сумме являются попарно несовместными, то в силу аддитивности вероятности
.
Доказательство свойства следует из того, что последовательность событий ,удовлетворяет аксиоме непрерывности и поэтому■.
F5). Для любого
.
▲ Действительно,
■.
Замечание. Геометрически свойства F3), F4) и F5) означают следующее. В точках , где функция распределения имеет разрыв 1 рода, то есть когда, за значение функции распределения принимается левое (нижнее, меньшее). При этом вероятность событияявляется ненулевой и ее значение равно величине скачка. В точках непрерывности функции распределения свойстваF3) F4) и F5) содержательными не являются.
F6). Вероятность попадания случайной величины в интервалопределяется как приращение функции распределения на этом интервале:
для любых
.
▲ Поскольку и события в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности
или, что эквивалентно,
■.
F7). .
F8). .
F9). .
(Доказать свойства F7), F8) и F9) самостоятельно).
В общем случае график функции распределения может иметь вид:
В приложениях, как правило, встречаются случайные величины, функции распределения которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные случайные величины), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные случайные величины). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем функция распределения, вероятностные характеристики случайных величин.