Optics print-ver
.pdfСамарский Государственный Аэрокосмический Университет
Оптика
Лектор: Мартыненко Алексей Петрович
Верстка: Козлов Дмитрий Андреевич
Самара, 2012 год
Оптика
Содержание
IГеометрическая оптика.
Предельный переход от волновой оптики к геометрической. |
3 |
|
1 |
Волновое уравнение. |
3 |
2 |
Решение волнового уравнения для сферической волны. |
3 |
3 |
Предельный переход к геометрической оптике. |
4 |
4 |
Принцип Ферма. |
5 |
II Фазовая и групповая скорости. Поляризация света. |
6 |
||
5 |
Волновой пакет и групповая скорость. |
6 |
|
6 |
|
Поляризация света. |
7 |
III Волновой вектор. Энергия света. |
8 |
||
7 |
Комплексная форма волновой функции и волновой вектор. |
8 |
|
8 |
|
Энергия света. |
9 |
9 |
Энергетические характеристики световых пучков. |
10 |
|
10 |
Энергетические характеристики источников. |
10 |
|
IV Понятие о когерентности. Интерференция колебаний. |
11 |
||
11 |
Интерференция параллельных пучков. |
11 |
|
12 |
Интерференция плоских волн. |
12 |
|
13 |
Интерференция реальных источников. |
12 |
|
14 |
Интерференция в тонких пленках. |
13 |
|
15 |
Многолучевая интерференция. |
14 |
|
V Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. |
14 |
||
16 |
Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля. |
15 |
|
17 |
Распространение волны точечного источника. |
15 |
|
18 |
Дифракция Френеля на отверстии. Зонная пластинка. |
16 |
1
Оптика
19 |
Теория дифракции Кирхгофа. |
17 |
20 |
Дифракция на прямоугольной щели. |
19 |
21 |
Дифракция Фраунгофера на щели. |
21 |
22 |
Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. |
21 |
23 |
Дифракционная решетка. |
23 |
VI Граничные условия. Дисперсия света и вращение плоскости поляриза- |
|
|
öèè. |
25 |
|
24 |
Формулы Френеля. |
25 |
25 |
Дисперсия света. |
26 |
26 |
Вращение плоскости поляризации. Эффект Фарадея и Зеемана. |
28 |
2
Оптика
Часть I
Геометрическая оптика.
Предельный переход от волновой оптики к геометрической.
Геометрическая оптика построена на четырех законах, полученных из опыта: закон прямолинейного распространения света, закон независимости световых лучей, закон отражения и закон преломления света. Нет необходимости строить формальную систему, основанную на этих четырех законах, так как геометрическая оптика является лишь предельным частным случаем волновой оптики. В этом параграфе будет получен предельный переход.
1Волновое уравнение.
Общий вид волнового уравнения
1 @2f |
(1.1) |
f = v2 @2t |
Его решение f = f(r; t) называется волновой функцией. Одним из важных видов волнового уравнения является одномерный случай f(z, t)
@2f |
= |
1 @2f |
||
@2z |
v2 |
|
@2t |
Или в координатах = t z=v, = t + z=v
@2f = 0
@ @
Общее решение этого уравнения представляет собой сумму (или суперпозицию) двух волновых функций f( ; ) = ( ) + ( ) или в исходных переменных f(z; t) = (t z=v) + (t + z=v). и описывают две
плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях.
2Решение волнового уравнения для сферической волны.
Лаплассиан в сферических координатах выражается следующим образом
f = r2 |
@r |
r2 |
@r! + r2 Sin2 |
@2' |
+ r2 |
Sin @ |
Sin @ ! |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
@ |
|
|
@f |
|
1 |
|
|
@2f |
|
|
1 |
@ |
|
|
|
@f |
|
||
Или, если f представляет собой функцию f(r; t) |
@2r! |
|
|
|
|
|
|
@r! |
|
|
|
||||||||||||
f = r2 |
@r |
r2 @r |
! = r |
2 |
@r + r |
= r @r f + r |
= r @2r |
||||||||||||||||
1 |
@ |
|
|
|
@f |
|
1 |
@f |
@2f |
1 |
@ |
|
|
|
@f |
1 @2 |
[rf] |
||||||
Результат непосредственной подстановки этого выражения в (1.1) |
F = rf |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
r |
|
@2r |
= v2 |
@2t |
èëè |
|
@2r |
= v2 |
@2t |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
@2[rf] |
|
1 @2f |
|
@2F |
1 |
@2F |
|
|
|
|
|
Полученное уравнение формально совпадает с уже разрешенным, общим решением которого является
|
r |
|
|
r |
|
|
rf = |
t |
|
|
+ t + |
|
|
t |
t |
3
Оптика
3Предельный переход к геометрической оптике.
Если рассматривать некоторую среду с переменными показателями диэлектрической и магнитной проницаемости, то уравнения Максвелла принимают вид
div E = 0; div H = 0; rot E = |
1 @[ H] |
|
1 @["E] |
|||||
|
|
|
; |
rot H = |
|
|
|
|
c |
@t |
c @t |
Соответствующее волновое уравнение довольно сложно. При взятии ротора от обоих частей третьего уравнения необходимо применять правила дифференцирования, учитывая зависимость v от координат.
Тем не менее предельный переход возможно получить исходя из обычного волнового уравнения.
E =
1 @E
v2 @t
Принимается следующий вид волновой функции
E = a Exp(i!t ik0 )
описывающей распространение плоской монохроматической волны в неоднородной среде. k0 волновое число в вакууме. Зависящий от координат множитель n = c=v вносится в функцию (r), которая называется эйконалом.
Подстановка E в волновое уравнение дает два следующих
a + a!2 ak2(r )2 = 0
v2 0
a + 2(ra)(r ) = 0
Чтобы упростить первое уравнение, вводится допущение о том, что длина волны достаточно мала, а амплитуда волны меняется в пространстве медленно, так что выполняется условие
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда можно говорить о выполнении следующего неравенства |
|
|||||||||||
|
a |
|
= |
2 |
|
a |
n2 |
|||||
k02a |
4 2 |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оно позволяет пренебречь слагаемым a |
â |
первом |
|
|
уравнении. |
С учетом того, что !=v = k0n |
||||||
(r )2 = n2 |
или в векторной форме r = ns |
Где s единичный вектор нормали волнового фронта. Это уравнение позволяет выразить скорость вол-
ны в направлении, перпендикулярном направлению волнового фронта, дифференцированием уравнения фазовой поверхности !t k0 = const, причем эта скорость равна v.
Далее следует подставить (r ) во второе уравнение
a + 2(ra)sn = a + 2n @s |
= 0 |
(ra)s = |
@s |
|
@a |
|
|
@a |
Луч следует рассматривать как кривую, ортогональную к семейству волновых фронтов, и заменить взятие частной производной дифференцированием по длине луча. В таком случае
da |
= |
|
ds |
|||||
|
a |
|
2n |
|||||
После интегрирования |
|
0 Z |
|
2n ds1 |
||||
a = a0 Exp |
|
|||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
@ |
0 |
|
|
A |
Отсюда очевидно, что для определения амплитуды волны в какой-либо точке луча необходимо знать только значение амплитуды в какой-либо другой точке этого же луча. Иными словами, световые поля разных лучей не зависят друг от друга.
4
Оптика
Представление о независимости лучей можно также получить из второго уравнения другим путем. Домножение на a дает
a2 + 2a(ra)(ns) = a2r(r ) + (ra2)(ns) = a2r(ns) + (ra2)(ns) = r(a2ns) = 0
Данное выражение совпадает с уравнением неразрывности для стационарного течения, где роль плотности тока играет вектор a2ns.
Полученные уравнения |
|
jr j = n |
(3.1) |
a + 2(ra)(r ) = 0 |
(3.2) |
называются системой уравнений геометрической оптики .
4Принцип Ферма.
Пьер Ферма сформулировал принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения .
Для доказательства принципа Ферма необходимо рассмотреть источник света и участок луча (ABC), замкнутый через произвольную точку пространства D.
I Z Z
(r )dl = n(sdl) + n(sdl) = 0
(ABCD) (ABC) (CDA)
Стоит отметить, что это выражение верно, если является однозначной функцией координат. По направлению луча (sdl) = dl, поэтому первый интеграл можно заменить интегралом первого рода.
Z |
ndl = Z |
n(sdl) = Z |
n Cos dl 6 Z |
ndl |
||
(ABC) (ADC) |
(ADC) |
(ADC) |
Последнее неравенство и доказывает принцип Ферма.
Полученный принцип позволяет вывести закон преломления и отражения света. Все следующие доказательства рассматриваются в плоскости.
Справедливость закона отражения доказывается следующим образом: пусть луч приближается к границе раздела сред из источника A, отражается в точке O и попадает в точку B. Пусть также O точка, соответствующая равенству угла падения и отражения, O0 некоторая другая точка, а A0 зеркальное отображение A в плоскости раздела сред. Легко убедиться, что O лежит на отрезке A0B. Результатом этого построения является треугольник A0BO0, в котором
AO = A0O
AO0 = A0O0
A0B = A0O + OB
A0B 6 A0O0 + O0B
Первые три соотношения верны по построению, а четвертое есть неравенство треугольника. Результиру-
ющее неравенство
AO + OB 6 AO0 + O0B
показывает, что путь из A в B, получаемый из закона отражения света, соответствует минимуму оптиче- ского пути.
Чтобы доказать закон преломления, недостаточно одних построений. Пусть из точки A на поверхность
раздела сред падает луч, преломляется в некоторой точке O и попадает в B. Пусть также ортогональньная проекция A на плоскость раздела сред есть точка A0, à B åñòü B0. Далее вводятся следующие обозначения: A0B0 = l, A0O = x. Оптический путь из A в B через точку O выражается следующей функцией
pp
L(x) = n1 (AA0)2 + x2 + n2 (l x)2 + (BB0)2
5
Оптика
Следует найти нуль производной L(x), чтобы установить, при каких условиях оптический путь достигает минимума.
dL |
= n |
|
|
|
|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
(l x) |
|
|
|
|
= 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(AA )2 + x2 |
|
(l |
|
x)2 + (BB |
)2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Sin 1 |
} |
|
|
|
Sin 2 |
|
|
2} |
||||||||||
|
|
|
|
| |
{z |
|
|
n|1 Sin 1 {z 2 |
Sin |
||||||||||||||
|
|
что эквивалентно |
|
|
|
|
|
= n |
|
|
|
Таким образом, закон преломления Снелиуса также следует из принципа Ферма. Система из уравнений (3.1) и (3.2) вместе с принципом Ферма полностью описывает всю геометрическую оптику.
Часть II
Фазовая и групповая скорости. Поляризация света.
Множество разновидностей волн не исчерпывается классами монохроматических плоских и сферических волн. В этом параграфе будут рассмотрены совокупности волн, двигающиеся как одно целое волновые пакеты, а также поляризация света.
5Волновой пакет и групповая скорость.
Фазовой скоростью называется скорость движения волнового фронта. Из уравнения фазовой поверхности непосредственно следует, что v = !=k. За скорость перемещения совокупности волн с волновыми числами
в диапазоне [k0 k; k0 + k] принимается скорость максимума огибающей. Суперпозиция всех волн пакета представляется интегралом
k0+ k
Z
U(x; t) = a(k)ei(!t kx)dk
k0 k
Где a(k) зависимость амплитуды от волнового числа. Группой волн называется волновой пакет, для которого диапазон волновых чисел настолько узок, что внутри него зависимость скорости и частоты
волны можно аппроксимировать линейно. |
|
|
|
|
|
! = !0 + !0(k k0) |
!0 = |
d! |
|||
|
dk(k0) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое представление функции ! позволяет переписать интеграл в виде
k0+ k
Z
U(x; t) = a(k)ei(!0t k0x)ei(!0 t x)(k k0)dk
k0 k
Если группа волн характеризуется очень узким диапазоном волновых чисел и амплитуда меняется слабо, то множитель a(k) можно заменить на a(k0) и вынести из интеграла. После замены ! k k0 он примет âèä
+ k |
|
|
|
||
U(x; t) = a(k0)ei(!0t k0x) Z |
|
Sin |
k(! t |
x) |
|
ei(!0 t x) d = 2a(k0) |
0 |
|
ei(!0t k0x) |
||
|
|
||||
|
!0t x |
|
k
Это уравнение описывает волну с амплитудой
Sin k(!0t x)
A(x; t) = 2a(k0) !0t x
Максимум расположен в точке !0t x = 0. Скорость распространения максимума амплитуды волнового
пакета называется групповой скоростью.
dx d! dt = dk
6
Оптика
6Поляризация света.
Уравнения Максвелла указывают на поперечность векторов E и H в плоской волне. Для E(z; t) и H(z; t) верно следующее
div E = @Ez = 0
@z
(k rot H) = @Hy @Hx = 1 @Ez = 0
@x @y c @t
Следовательно Ez(z; t) = const, вектор E совершает колебания в плоскости, перпендикулярной направ-
лению движения. Аналогично выводится |
Hz(z; t) = const. Уравнения Максвелла разбиваются на две |
||||||||||||||||||||
независимые группы |
8 |
(j rot E) = c |
@ty |
è |
8 |
(i rot E) = c |
|
@tx |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
1 |
@H |
|
> |
|
1 |
@H |
||||||||||
|
|
|
1 @Ex |
|
|
1 @Ey |
|||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<(i rot H) = |
|
|
|
|
|
|
|
<(j rot H) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c |
|
@t |
|
c |
|
|
@t |
|||||||||||||
|
âîëí> |
|
|
|
колебания> |
напряженности происходят в одном на- |
|||||||||||||||
В каждой из обособленных |
> |
|
(Ex; Hy) |
è |
|
(Ey; Hx) |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
: |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлении. Такие волны называются линейно поляризованными . Если выделить направление колебания невозможно, вектор
E(z; t) = iEx(z; t) + jEy(z; t)
Описывает в плоскости некоторую кривую. Плоскость, в которой совершаются колебания E, называется
плоскостью поляризации.
В случае плоской монохроматической волны компоненты E |
Sin Sin 2) |
|
|||||||||||||
Ey = A2 |
Cos(!t kz + 2) = A2 |
(Cos Cos 2 |
= !t kz |
||||||||||||
Ex = A1 |
Cos(!t |
kz + 1) = A1 |
(Cos Cos 1 |
|
Sin Sin 1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор напряженности описывает в плоскости эллипс, так как уравнение |
|
|
|||||||||||||
A1 |
Sin 2 + A2 |
Sin 1 |
2 |
A1 |
Cos 2 + |
A2 |
Cos 1 |
|
2 |
|
|
||||
+ |
= Sin2( 2 1) |
||||||||||||||
|
Ex |
|
Ey |
|
|
Ex |
|
Ey |
|
|
|
|
|
Которое получается манипулированием значений компонент, формально совпадает с уравнением эллипса. Вектор может перемещаться по эллипсу по часовой стрелке (правополяризованная волна) или против (левополяризованная волна). Если раскрыть скобки, оно примет вид
Ex2 |
|
Ey2 |
|
2ExEy |
2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
Cos( 2 2) = Sin |
( 2 |
1) |
( ) |
A12 |
A22 |
A1A2 |
Характер движения зависит от разности фаз 2 1: в зависимости от е¼ значения эллипс может вырождаться в отрезок или окружность. При 2 1 = m , где m 2 Z, правая часть уравнения обращается в
ноль, и все уравнение упрощается до
Ex = Ey A1 A2
Зависимость Ex îò Ey однозначно линейная. Этот случай является случаем линейной поляризации. Аналогично, при 2 1 = =2 + m уравнение ( ) вырождается в уравнение окружности (если амплитуды одинаковы)
Ax |
2 |
+ |
Ay |
2 |
||||
|
= 1 |
|||||||
|
E |
|
|
|
|
E |
|
|
Такая поляризация называется круговой.
Направление поляризации также определяется разностью фаз. Если зафиксировать некоторый момент времени t = t0 для рассматриваемой точки, что !t0 kz + 1 = 0 из исходной системы для Ex è Ey
Ex = A1
Ey = A2 Cos( 2 1)
E_y = !A2 Sin( 2 1)
7
Оптика
Знак производной E_y полноcтью задает направление вращения вектора напряженности. Для разности фаз в промежутке (0; ) направление обхода будет совершаться по часовой стрелке, а для ( ; 0) против.
Правая круговая поляризация имеет разность фаз =2 + 2m
E(+) = A Cos( + 1)i A Sin( + 1)j
Точно так же получается выражение вектора при разности фаз =2 + 2m (левая поляризация).
E( ) = A Cos( + 1)i + A Sin( + 1)j
Сумма векторов для правой круговой поляризации и левой круговой поляризации в результате дает вектор с линейной поляризацией. Любую линейно поляризованную волну можно разложить на сумму двух волн с круговой поляризацией.
E(+) + E( ) = 2A Cos( + 1)i
Часть III
Волновой вектор. Энергия света.
Следующим шагом будет обобщение уравнения волны для движения в произвольном направлении в произвольной системе координат путем введения волнового вектора. Будет рассмотрен простой случай плоской волны, хотя волновой вектор может зависеть от координат и времени. Во второй части рассмотрено доказательство теоремы Пойнтинга.
7Комплексная форма волновой функции и волновой вектор.
При рассмотрении плоскополяризованного вектора E удобно перейти к представлению его в комплексной форме. После замены по формулам Эйлера Cos x на Re[eix]
h |
i |
E = Re (A1ei 1 i + A2ei 2 j)ei(!t kz)
За E будет обозначаться комплексное значение под оператором взятия действительной части. Пусть задана плоская монохроматическая волна
E = eei(!t Kr)
H = hei(!t Kr)
Вектор nk называется волновым вектором и обозначается K, где n вектор нормали к волновому фронту, направленный в сторону распространения волны. Значения дивергенций для E и H
div E = (exKx + eyKy + ezKz)ei(!t Kr)
div H = (hxKx + hyKy + hzKz)ei(!t Kr)
Роторы расписываются с учетом того, что
@ Exj = iexj Kxi ei(!t Kr) @xi
На примере rot E
[ |
E] = det |
|
|
|
@i |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|||
|
|
e |
x |
ei(!t Kr) |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j
@
@y
eyei(!t Kr)
k
@
@z
ezei(!t Kr)
|
= |
|
iei(!t Kr) det |
K |
x |
K |
y |
K |
z |
|
= |
|
|
||
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e |
x |
e |
y |
e |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
i[Ke]ei(!t Kr) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Оптика
Следовательно |
|
|
|
|
|
||
1 |
@H |
i! |
|
||||
i[Ke]ei(!t Kr) = |
|
|
|
|
= |
|
hei(!t Kr) èëè [ne] = h |
c |
@t |
c |
Абсолютно аналогично выводится соотношение [nh] = e. Из выражений для дивергенций следует (eK) = = 0 и (hK) = 0. Эти равенства говорят о том, что вектора E и H не только перпендикулярны направлению движения (которое совпадает с направлением вектора K), но и взаимноперпендикулярны.
8 Энергия света.
Пусть волна определяется заданными векторами E и H. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
rot E = |
1 @H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
c |
@t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
rot H = |
1 |
|
@E |
+ |
4 |
j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c @t |
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Результатом подстановки значений роторов в соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
H rot E E rot H = div[EH] |
|
|
|||||||||||||||||
Является выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
@! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
+ H2 |
|||
|
div[EH] = |
|
+ jE |
ãäå |
! = |
|
|
|
||||||||||||||
4 |
@t |
|
8 |
|||||||||||||||||||
! объемная плотность электромагнитной энергии. Вектор |
c[EH]=4 обозначается S и называется âåê- |
|||||||||||||||||||||
тором Умова-Пойнтинга . Интегрирование предыдущего выражения в новых обозначениях |
||||||||||||||||||||||
|
Z |
@ |
Z |
! dV + Z |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
div S dV = |
|
jE dV |
|||||||||||||||||||
|
@t |
|||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Интеграл в левой части уравнения заменяется по теореме Остроградского-Гаусса на поверхностный по границе @V . Этот резуьтат, известный также как теорема Пойнтинга, представляет собой закон сохране-
ния энергии для электромагнитых полей. Согласно ему, электромагнитная энергия в некоторой области расходуется на джоулево тепло и на поток вектора Пойнтинга через границу области.
@ |
! dV +VZ |
jE dV +@VI |
|
|
@tVZ |
S dn = 0 |
(8.1) |
При рассмотрении случая тока точечных зарядов в среде плотность тока в точке представится следующей функцией
X
j(r) = qiri (r ri)
Здесь это дельта-функция Дирака, обладающая следующим свойством
Z
f(x) = f(r) (r x)dr
1
Если положить, что для точечных зарядов верны законы Ньютона
d
mdtri = qiEi
То второе слагаемое в (8.1)
Z jE dV = |
|
|
|
d |
|
2 |
|
dT |
(ri qiEi) = |
|
|
|
m2ri |
= |
|||
|
m(ri •ri) = dt |
|
dt |
|||||
V |
X |
X |
|
|
X |
|
|
|
9