7. Производная параметрически заданной функции
Не напрягаемся, в заключительном параграфе тоже всё просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрическом виде функция задается двумя
x 3t 1 |
|
|
|
|
||
уравнениями: |
t3 |
|
. Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а |
|||
y |
|
|
|
|
|
|
последовательно: |
x 3t 1 , y t3 . |
|
|
|
||
Переменная t |
называется параметром и может принимать значения от «минус |
|||||
бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение t 1 и |
||||||
|
|
|
x 3 1 1 |
x 4 |
. Или по человечески: «если икс равен |
|
подставим его в оба уравнения: |
|
|
||||
|
|
|
y 1 |
y 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку (4; 1) , и эта точка будет соответствовать значению параметра t 1. Аналогично можно
найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для параметрически заданной функции все права обычно тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр:
x 3t 1 |
|
3t x 1 |
|
t |
x 1 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
– и подставим его во второе уравнение:
|
|
x 1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
y t |
3 |
|
(x 1) |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
27 |
|
|
функция.
– в результате получена обыкновенная кубическая
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
y |
|
y |
|
t |
|||
|
|
||
x |
|
x |
|
|
|
||
|
|
t |
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
y (t |
3 |
) 3t |
2 |
|
|
||
t |
|
t |
|
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
xt (3t 1)t 3
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
41 |
|
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
y |
|
y |
|
3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|||
t |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра t . |
|||||||||
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи |
|
можно было просто |
|||||||
yx |
|||||||||
записать y без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная по «икс».
Но в литературе чаще встречается вариант y , поэтому я не буду отклоняться от
x
стандарта.
Пример 53
Найти производную от функции, заданной параметрически
|
2t t |
2 |
x |
|
|
|
|
|
y arcsin( t 1) |
||
|
|
|
Используем формулу
y |
|
y |
|
t |
|||
|
|
||
x |
|
x |
|
|
|
||
|
|
t |
В данном случае:
y |
(arcsin( t 1)) |
|
|
|
1 |
(t 1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
1 (t 1) |
2 |
|
|
t |
1 (t |
2 |
2t |
1) |
|
1 t |
2 |
2t 1 |
|
2t t |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
( |
2t t |
2 |
) |
|
|
|
|
1 |
(2t |
t |
2 |
) |
(2 2t) |
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
2t t |
2 |
|
|
t |
2 |
2t t |
2 |
|
|
2t t |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2t t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 t |
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И здесь у нас снова актуален «золотой» мотив: на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении yt я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке xt и yt в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Самостоятельно:
Пример 54
|
sin t |
|
Найти производную функции x |
|
|
1 sin t |
||
|
|
|
y cos t t sin t |
||
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
42 |
|
Для параметрически заданной функции довольно часто предлагают найти и вторую
|
|
|
( y ) |
|
||
|
x |
t |
|
|||
производную. Без проблем – вот готовая формула: |
yxx |
. |
||||
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
Пример 55
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически
x cos2 t
y tg2t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Сначала найдем первую производную. Используем формулу yx |
xt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
yt |
|
|
(tg |
t)t |
2tgt |
(tgt)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
(cos |
2 |
t) |
|
|
2cost (cos t) 2cost sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Подставляем найденные производные в формулу. В целях упрощений используем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрическую формулу tg |
sin |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
2tgt |
|
|
|
|
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
2 cos t sin t |
|
2 cos |
t cos t sin t |
cos |
t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
cos t cos |
t sin t |
|
cos |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Вот так-то оно лучше, брать производную от |
|
1 |
|
|
|
гораздо проще, чем от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
4 |
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tgt |
|
|
|
|
. Распечатайте, кстати, тригонометрические формулы, если вы ещё не успели |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этого сделать – материал крайне полезный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Вторую производную найдём по формуле |
|
|
|
|
( yx )t |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
yxx |
|
xt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Знаменатель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
xt уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную от первой производной по переменной «тэ»: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( y |
|
|
|
|
|
|
|
t (cos |
|
|
( 4) cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
t |
|
|
|
|
|
|
cos4 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
( sin t) |
4sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos5 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
cos5 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
43 |
|
Подставляем завоёванные трофеи в формулу и проводим финальное упрощение:
|
|
( y ) |
|
|
4sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
cos |
5 |
t |
|
4sin t |
|
|
|
2 |
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
t |
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|||||||
xx |
|
x |
|
|
2cost sin t |
|
2cost sin t cos |
t |
|
cos |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Готово.
Для закрепления материала:
Пример 56 |
|
|
|
|
|||||
Найти |
|
|
и |
|
|
параметрически заданной функции |
|||
yx |
yxx |
||||||||
|
x sin 4 |
3t |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
а) |
|
y |
|
cos |
4 |
3t |
|||
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x arctge |
|
|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
y ln(1 e |
) |
|||||||
|
|
||||||||
Решения и ответы совсем близко.
Поздравляю вас с прохождением курса, теперь вы сможете найти практически любую производную!
И это не преувеличение – ведь я задал достаточно высокую планку.
Более подробную информацию и дополнительные примеры можно найти в соответствующем разделе портала mathprofi.ru (ссылка на аннотацию к разделу).
Из учебной литературы рекомендую К.А. Бохана (попроще), Г.М. Фихтенгольца
(посложнее), Н.С. Пискунова (для ВТУЗов).
Желаю успехов!
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
44 |
|