3. Подведение функции под знак дифференциала
Не так давно мы научились раскрывать дифференциал, напомню пример, который я приводил выше:
d (2x 1) (2x 1) dx (2 0)dx 2dx
И сейчас нам предстоит освоить обратное действие:
Пример 7
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
sin( 3x 1)dx
В Таблице интегралов есть похожая формула: sin xdx cos x C , но проблема
заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Организуем или, как говорят, подведём функцию (3x 1) под знак дифференциала:
sin( 3x 1)dx 13 sin( 3x 1)d (3x 1)
Легко видеть, что d (3x 1) (3x 1) dx 3dx , и всё корректно.
Почему именно так и зачем это нужно?
Принцип: формула sin xdx cos x C (и все другие табличные формулы)
справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной x , но и для любого сложного выражения – ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( 3x 1 в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.
Поэтому мысленное рассуждение при решении данного примера складывается следующим образом: «Мне нужно решить интеграл sin( 3x 1)dx . Я посмотрел в
таблицу и нашел похожую формулу sin xdx cos x C . Но у меня сложный аргумент
(3x 1) и формулой я воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить
(3x 1) и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу d (3x 1) ,
тогда d (3x 1) (3x 1) dx 3dx . Но в исходном интеграле sin( 3x 1)dx множителя- |
|
тройки нет и для того, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо её |
|
домножить на 1 ». |
|
3 |
|
После чего и рождается запись: |
|
sin( 3x 1)dx 1 sin( 3x 1)d (3x 1) |
|
3 |
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
12 |
|
Теперь можно пользоваться табличной формулой sin xdx cos x C , единственное отличие, у нас здесь не буква «икс», а сложное выражение 3x 1:
sin( 3x 1)dx |
1 |
sin( 3x 1)d (3x 1) |
1 |
cos(3x 1) C, |
где C const |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||
Готово. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выполним проверку: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos(3x 1)) (C) |
|
||||||||
|
|
|
cos(3x 1) C |
|
|
||||||||
3 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
( sin( 3x 1)) (3x 1) 0 |
1 |
sin( 3x 1) (3 0) sin( 3x 1) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции (u(v)) u (v) v , и это не случайность.
Подведение функции под знак дифференциала и (u(v)) u (v) v – это два
взаимно обратных правила.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
dx
5 2x
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в Таблицу интегралов и
находим наиболее похожую вещь: dxx ln x C .
Подводим функцию 5 2x под знак дифференциала:
|
|
dx |
1 |
|
|
|
d (5 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 2x |
2 |
|
5 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут |
||||||||||||||||||||
быстренько на черновике раскрыть дифференциал: |
||||||||||||||||||||
d (5 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(5 2x) dx (0 2)dx 2dx . Ага, получается 2dx , значит, чтобы |
||||||||||||||||||||
ничего не изменилось, надо домножить интеграл на |
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
Далее используем табличную формулу для сложного выражения (5 2x) : |
||||||||||||||||||||
|
|
dx |
1 |
|
|
|
d (5 2x) |
1 |
ln |
|
5 2x |
|
C, где C const |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 2x |
|
|
2 |
|
5 2x |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
13 |
|
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (С) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ln |
5 2x |
C |
|
|
(ln |
5 |
2x |
|
||||||||
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
(5 2x) 0 |
|
1 |
|
(0 2) |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
(5 2x) |
|
|
|
|
|
2(5 |
|
2x) |
(5 2x) |
|||||||
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти неопределенные интегралы, ответы проверить дифференцированием.
а) cos 2x dx
б) 45 x dx
Решения и ответы в конце методички.
Довольно таки скоро подобные примеры будут казаться вам лёгкими, и щелкаться как орехи:
e7 x dx e7 x d (7 x) e7 x |
C, |
|
где C const |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2x 1)5 dx |
1 |
|
|
(2x 1)5 d (2x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
(2x 1)6 C |
|
1 |
(2x 1)6 |
C, где C const |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
6 |
|
12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
5tg |
C, |
где C const |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
|
x |
|
cos |
2 x |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d (3x) |
1 |
arctg(3x) C, |
где C const |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 9x2 |
1 (3x)2 |
3 |
1 (3x)2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
d ( 2x) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 2x2 |
|
|
|
|
|
2 |
22 ( |
|
x)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
22 ( 2x)2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, |
|
|
где C const |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
И так далее.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
14 |
|
Особо хочется остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная x входит с единичным коэффициентом, например:
dx
x3
Строго говоря, решение должно выглядеть так:
|
dx |
|
d (x 3) |
ln |
|
x 3 |
|
C, |
где C const |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
x 3 |
x 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Как видите, подведение функции x 3 под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным
решением часто пренебрегают и сразу записывают, что |
dx |
ln |
|
x 3 |
|
C . Но будьте |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
x 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку |
|||||||||||
интеграла |
|
dx |
|
в таблице вообще-то нет. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разумеется, помимо линейной ax b , под знак дифференциала подводИмы и другие функции. Рассмотрим классику жанра:
Пример 10
Найти неопределенный интеграл.
tgxdx
(1) |
|
sin xdx (2) |
d (cos x) (3) |
|
|
|
|
|
|||
Решение: tgxdx |
|
|
|
|
ln |
|
cos x |
C, |
где C const |
||
|
|
||||||||||
|
|
cos x |
cos x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin |
|
|||||||
(1) Используем тригонометрическую формулу tg |
(см. Приложение |
||||||||||
cos |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полезные формулы).
(2)Очевидно, что d (cos x) (cos x) dx sin xdx и статус-кво соблюдён.
(3)Используем табличный интеграл dxx ln x C для косинуса «икс».
Проверка: ( ln cos x C) cos1 x (cos x) 0 cos1 x ( sin x) cossin xx tgx
Чуть более занятный интеграл для самостоятельного решения:
Пример 11
сtg2xdx
И, конечно, не забываем о проверке. Дерзайте!
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
15 |
|