Двойной интеграл

4. Момент инерции плоской фигуры

Вспомним определение момента инерции

а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);

б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:

Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.

Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части DSi (i = 1,2,…,n) и выберем в каждой части точку Pi (xi, hi). Назовем элементарным моментом инерции площадки DSi выражение вида DIi = (xi² + hi²)ΔSi и составим интегральную сумму

для функции f(x, y) = x² + y² по области D.

Предел этой интегральной суммы при называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:

Замечание.

Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функцией g = g(х,у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляется по формуле

5. Координаты центра масс плоской фигуры

Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с массами m1, m2,…, тп определяются по формулам

Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса элементарной площадки DSi сосредоточена в какой-либо ее точке . Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами

1

Тройной интеграл

1. Объем тела

Из определения тройного интеграла следует, что при f(x, y, z) = 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

2. Масса тела

Если g = g (x,y,z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

\Криволинейный интеграл 1-го рода

Поверхностный интеграл 1-го рода

Поверхностный интеграл 2-го рода

Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбранную сторону поверхности интегрирования.

Замечание 1.

Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции без подробного вывода.

Замечание 2.

В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.