Добавил:

DutchHelm Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петрозаводский Государственный Университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

MAX 29-32.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2024

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида

соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz. имеем

π	6−ρ2	π
2	6−ρ2	2
V = 4∫2 dϕ∫ρdρ ∫dz = 4∫2 dϕ∫ρz			6ρ−ρ2 dρ =


0 0	ρ	0 0

=4∫dϕ∫(6ρ − ρ3 − ρ2 )dρ =

π						2 dϕ =		π					π
= 4∫2 (3ρ2 −	ρ4		ρ3	)			64	∫2 dϕ =	64						32π	.

		−									ϕ		2	=
	4	−	3				3		3		ϕ		2	=	3
0	4		3			0	3	0	3				0		3


Если не учитывать симметрию, то
			2π		2		6−ρ2			32π
		V = ∫				dϕ∫ρdρ ∫dz =				32π		.
		V = ∫				dϕ∫ρdρ ∫dz =			3			.
			0		0			ρ	3
			0		0			ρ

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.

3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f ( x, y ) определена вдоль плоской кусочно-

гладкой1 кривой L, концами которой будут точки A и B. Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A, M1,...M n = B . На

каждой из частичных дуг Mi Mi +1 выберем произвольную точку (xi , yi ) и вычислим значения функции f ( x, y )в каждой из этих точек. Сумма

1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

n−1
σn = ∑ f (xi , yi )∆li ,	(3.1)

i =0

где∆li – длина частичной дуги Mi Mi +1 , называется интегральной суммой

для функции f (x, y) по кривой L. Обозначим наибольшую из длин
частичных дуг Mi Mi +1 , i =
	0,n −1 черезλ, то есть λ = max ∆li .
		0≤i≤n−1
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1)			при
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугMi Mi +1 ,			не
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от

выбора точек (xi , yi ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x, y) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x, y)dl .

Таким образом, по определению	L
Таким образом, по определению
n−1
I = lim ∑ f (xi , yi )∆li =∫ f (x, y)dl.		(3.2)
λ→0 i=0	L

Функция f (x, y) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L,

кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В- конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.

Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x, y) ≡1 для (x, y) L , то

получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа

l = ∫dl.

			L
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует,
что	dl = lim n−1
∫	dl = lim n−1	∆l	= lim l = l .
∫	λ→0 ∑	i	λ→0
L	i =0			#
				#
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа
аналогичны свойствам определенного интеграла:
1о. ∫[f1(x, y) ± f2 (x, y)]dl = ∫ f1(x, y)dl ± ∫ f2 (x, y)dl.
L		L	L
2о. ∫cf (x, y)dl = c∫ f (x, y)dl , где с- константа.
L	L			и L , не
3о. Если контур интегрирования L разбит на две части L				и L , не
			1	2

имеющие общих внутренних точек, то

∫ f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y )dl + ∫ f ( x, y )dl.

4о.Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x, y) в

произвольных точках и длины частичных дуг ∆li , которые положительны,

независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть

∫	f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl .	(3.3)
AB	BA
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа
сводится к вычислению определенных интегралов.
	x=x(t)		.
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями		y=y(t)

Пустьα и β – значения параметра t, соответствующие началу (точка А ) и

концу (точка В)

дуги

Считаем,

что

на

отрезке

[α, β]

функции

x(t), y(t) и

их

производные

x (t), y (t)

- непрерывны,

f (x, y) -

′

непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления

функций одной переменной известно, что

′

dt,

dl = (x (t))

+( y (t))

тогда

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t))

′

dt.

(3.4)

(x (t)

+( y (t))

∫x2 dl,

Пример 3.1.

Вычислить

где

– часть

окружности

x=a cos t

,0 ≤ t ≤

y=a sin t

2 .

′

Решение. Так как x (t) = −a sin t , y (t) = a cos t , то

dl =

(−a sin t)2 +(a cos t)2 dt = a2 sin2 t +cos2 tdt = adt

и по формуле (3.4) получаем

+cos 2t)dt =

sin 2t

)

∫x2dl = ∫a2 cos2 t adt = a

3 ∫

πa3

(

sin π

−

sin 0

) =

Если

кривая

L задана

уравнением

y = y(x),

a ≤ x ≤ b

y(x)

′

непрерывна вместе со своей производной y

(x) при a ≤ x ≤ b, то

dl =

′

1+( y (x))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y(x))

′

dx.

(3.5)

( y (x))

L задана

x = x( y), c ≤ y ≤ d

x( y)

Если

кривая

уравнением

′

непрерывна вместе со своей производной x ( y) при c ≤ y ≤ d , то

dl =

′

1+(x ( y))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x( y), y)

′

dy.

(3.6)

1 +(x ( y))

Пример 3.2. Вычислить ∫ydl, где L – дуга параболы

= 2x от

точки А(0,0) до точки В(2,2).

Решение. Вычислим интеграл двумя способами, применяя

формулы (3.5) и(3.6)

1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как

2x ( y ≥ 0), y′

то

y =

= 2 x =

2x ,

dl =

1+ 2xdx,

3 / 2 2

1 (5

32 −1) .

∫ydl = ∫

2x +1dx = ∫(2x +1)1/ 2 dx =

1 (2x +1)

3 / 2

2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как

′

x = 2 , x

= y, dl

1+ y

dy,

то

	2	y 1 + y 2 dy =	1	(1 + y	2	)	3	/ 2 2
∫ ydl = ∫
L	0		2	3 / 2				0

= 13 ( 5 5 −1).

Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x, y, z) по

пространственной кусочно-гладкой кривой L:


∫ f (x, y, z)dl = lim		n−1
∫ f (x, y, z)dl = lim		∑ f (xi , yi , zi )∆li .
L	λ→0 i =1

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

α ≤ t ≤ β , то

dl =

′

(x (t))

( y (t))

(z (t))

∫ f (x, y, z)dl =

= ∫

′

dt .

f (x(t), y(t), z(t)) (x (t))

( y (t))

(z (t))

x=x(t) ,y=y(t)

z=z(t)

(3.7)

Пример 3.3. Вычислить∫(2z − x2 + y2 )dl, где L – дуга кривой

		L

x=t cos t	,0 ≤ t ≤ 2π.
y =t sin t	,0 ≤ t ≤ 2π.

z =t
Решение.		Так как
то	x′ = cost −t sint, y′ = sint +t cost, z′ =1,
то
	dl =	(cos t −t sin t )2 +(sin t +t cos t )2 +1dt =

= cos2 t −2t sin t cos t +t2 sin2 t + sin2 t + 2t sin t cos t +t2 cos2 t +1dt =

= 2 +t2 dt .

Теперь по формуле (3.7) имеем

					2π
∫(2z −	x2 + y2 )dl = ∫(2t −									t 2 cos2 t + t 2 sin 2 t )								2 + t 2 dt =
L				0						2π
2π		2		1 (2		+t2 )		3	2		1			2		3
								3

= ∫	t 2 +t		dt =							=		(2	+4π		)		2	−2 2	=
= ∫	t 2 +t		dt =	2		3				=	3	(2	+4π		)		2	−2 2	=
0				2		3	2			0	3
0

= 2 32 (1+2π2) 32 −1 .

Геометрический смысл криволинейного интеграла по длине дуги: если f (x, y) ≥ 0 , то криволинейный

интеграл∫ f (x, y)dl			численно		равен
	L
площади	цилиндрической			поверхности,
которая составлена из перпендикуляров к
плоскости xOy,		восстановленных в точках
(x, y)	кривой	L = AB		и имеющих

	переменную длину,	равную	f ( x, y )
	(рис. 3. 1).
Рис. 3.1	Физический	смысл	криволиней-
ного интеграла по	длине дуги: криволинейный	интеграл	∫ρ(x, y)dl
			L

представляет собой массу кривой L, имеющей переменную линейную плотность ρ(x, y)

m = ∫ρ(x, y)dl .		(3.8)
L	x=t

Пример 3.4. Найти массу дуги AB		t 2 , 0 ≤ t ≤1,
	линии
	y=
		2

линейная плотность которой меняется по закону ρ(x, y) = 2 y.

Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как

′

1+t

dt ,

то

x (t) =1, y (t) = t , dl =

3/ 2 1

2 t

1 (1+t

)

m = ∫ 2 ydl = ∫

12 +t2 dt = ∫t 1+t2 dt =

3 / 2

(23 / 2 −

1) =

2 2 −1.

3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по

координатам). Пусть функция

f (x, y) определена вдоль плоской

кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В. Опять

произвольным

образом

разобьем

кривую L

на

частей

точками

M 0 = A, M1,...M n = B Так же выберем в пределах

каждой частичной

дуги Mi Mi +1

произвольную точку

( xi , yi )

и вычислим

значения

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
06.02.202441.34 Кб028.11 Pic3.png
#
06.02.20246.9 Кб028.11.txt
#
06.02.202418.55 Mб0Matan_1_1.docx
#
06.02.202412.71 Mб0Matematicheskiy_analiz.docx
#
06.02.202413.62 Mб0mat_analiz_2_semestr (1).docx
#
06.02.20241.72 Mб0MAX 29-32.pdf
#
06.02.2024333.11 Кб0Вопросы к экзамену.pdf
#
06.02.2024475.31 Кб0Задачи к экзамену по МА.pdf
#
06.02.2024361.71 Кб1КР 1 new.pdf
#
06.02.2024805.39 Кб0Криволинейные интегралы 29-30.docx
#
06.02.20241.4 Mб0Лекция 1.doc

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа

3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа