3 Hезависимость сопряженных признаков
Пусть мы имеем
пар
,
которые составляют случайную выборку
из некоторого двумерного непрерывного
распределения.
Нулевая гипотеза предполагает
независимость случайных величин
и
:
Опишем проверку гипотезы о независимости используя понятия ковариации и корреляции. Для этого нужно построить их статические оценки и если они не близки к нулю, то гипотеза о независимости отвергается. Можно построить аналогичные меры связи при непараметрическом походе, используя понятие рангов наблюдения при упорядочивании.
3.1 Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна
Пусть "n" пар наблюдений
.
Составляем вариационный ряд
и
.
Если две переменные сильно зависимы,
то мы вправе ожидать, что ранги двух
элементов примерно одинаковые.
где
Cвойства
х и у сильно связаны.
При гипотезе
существуют таблицы распределения
.
Пусть
то
отбрасываем, если
Аналогично можно вывести односторонний
критерий.
Замечание Если имеются связи в двух ранжируемых множествах, то необходима корекция , но эффективность корорекции мала, если доля связок невелика.
Пример 1. При тестировании двумя тестами испытуемые набрали баллы
индивидуум |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1-й тест |
31 |
82 |
25 |
26 |
53 |
30 |
29 |
2-й тест |
21 |
55 |
8 |
27 |
32 |
42 |
26 |
Проверить гипотезу о независимости двух тестов.
Ранги имеют вид
индивидуум |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1-й тест |
5 |
7 |
1 |
2 |
6 |
4 |
3 |
2-й тест |
2 |
7 |
1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
разность
|
3 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
-2 |
0 |
Оснований отвергнуть гипотезу нет.
Пример 2. У группы студентов измеряли вес и рост. Данные приведены в таблице
индивидуум |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
вес |
68.8 |
63.3 |
75.7 |
67.2 |
71.3 |
72.8 |
76.5 |
63.5 |
69.9 |
71.4 |
рост |
167 |
113 |
159 |
153 |
150 |
181 |
173 |
115 |
125 |
166 |
Проверить независимость признаков.
индивидуум |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
вес |
4 |
1 |
9 |
3 |
6 |
8 |
10 |
2 |
5 |
7 |
рост |
8 |
1 |
6 |
5 |
4 |
10 |
9 |
2 |
3 |
7 |
разность |
-4 |
0 |
3 |
-2 |
2 |
-2 |
1 |
0 |
2 |
0 |
Ранговая корреляция значима