Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов (общая распределительная задача)
Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом.
Поэтому целью решения этого типа задач является отыскание такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате распределения доход. Распределительную задачу можно представить в виде таблицы (см. табл.3.1).
Таблица 3.1
Типичная распределительная задача
Ресурсы |
Работы, которые нужно выполнить |
Объем ресурсов |
||||||
J1 |
J2 |
… |
Jj |
… |
Jn |
|
||
R1 |
X11 C C11 |
X12 C C12 |
… |
X1j C1j |
… |
X1n C1n |
b1 |
|
R2 |
X21 C21 |
X22 C22 |
… |
X2j C 2j |
… |
X2n C2n |
b2 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
... |
|
Ri |
Xi1 Ci1 |
Xi2 Ci2 |
… |
Xij Сij |
… |
Xin Cin |
bi |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
... |
|
Rm |
Xm1 Cm1 |
Xm2 Cm2 |
… |
Xmj Cmj |
… |
Xmn Cmn |
bm |
|
Объем работ |
a1 |
a2 |
… |
aj |
… |
an |
|
Элементы Cij стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратам или доходу, отвечающим выделению единицы ресурса i на работу j.
Если затраты (или доход), определяемые объемом хij ресурса i, выделенного на выполнение работы j, равны сijхij, то имеем линейную распределительную задачу.
Постановка и формализация задачи. Пусть в системе имеется m видов взаимозаменяемых ресурсов i в объеме bi. Ресурсы используются при выполнении n различных работ j в объеме aj. Пусть заданы числа ij, указывающие, сколько единиц работы j можно получить из единицы ресурса i. Кроме того, заданы числа cij – затраты (или доход), отвечающие выделению единицы ресурса i на работу j.
Требуется так распределить ресурсы i по работам j, чтобы суммарные затраты были наименьшими (или суммарный доход наибольшим).
Данная задача называется общей распределительной задачей.
Взаимозаменяемость ресурсов – когда одну и ту же работу можно выполнить, используя различные ресурсы.
Построим математическую модель задачи.
Управляемые переменные. Обозначим через хij – количество единиц ресурса i, выделяемое на работу j.
Целевая функция в зависимости от смысла величин Cij имеет вид:
а) найти - минимум суммарных затрат (3.1)
или б) - максимум суммарного дохода. (3.1*)
III. Система ограничений:
(3.2)
(3.3)
. (3.4)
Ограничение (3.2) обеспечивает выполнение требования о полной реализации всех заданных объемов работ (при этом возможно перевыполнение плана), а ограничение (3.3) – что ресурсы должны быть израсходованы полностью. Модель (3.1) – (3.4) относится к классу моделей ЛП.