∞

f (x)

= ∑an (x − x0 )n , x (x0 − R; x0 + R) ,

n=9

то коэффициенты an этого ряда определяются формулами

an =

f (n) (x0 )

,

n = 0, 1, 2, (f (0) (x0 ) =

f (x0 )).

(3)

n!

Пусть функция

f (x) при x = x0

имеет производные всех порядков

f ′(x0 ), f ′′(x0 ), , f (n) (x0 ), ,

т. е. является бесконечно дифференцируемой в точке x0 .

∞

Составим для этой функции формальный степенной ряд ∑an

(x − x0 )n , вычислив

его коэффициенты по формуле (3).

n=0

Определение. Рядом Тейлора функции

f (x) относительно точки

x0

называется сте-

пенной ряд вида

∞ f

(n) (x

)

∑

0

(x − x0 )n

=

n!

n=0

f

′′

)

f

′′′

)

f

(n)

(x

)

= f (x0 ) + f ′(x0 )(x

− x0 ) +

(x

(x − x0 )2 +

(x

0

(x − x0 )3 + +

(x − x0 )n +

0

0

2!

3!

n!

(здесь 0!=1, f (0) (x0 ) = f (x0 )).

Коэффициенты этого ряда a0

=

f (x0 ), a1

=

f ′(x0 )

, a2

=

f ′′(x0 )

, , an

=

f (n) (x0 )

,

1!

2!

n!

называются коэффициентами Тейлора функции

f (x) .

Если x0 = 0 , то ряд Тейлора

∞

f

(n)

(0)

n

′

′′

2

f

(n)

(0)

n

∑

f (0)

x

=

f (0) + f

(0) x +

x

+ +

x

+

n!

2!

n!

n=0

называют рядом Маклорена.

Из теоремы 3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Если на интервале (x0 − R; x0 + R), R > 0 , функция

f (x) разлагается в степенной

∞

ряд ∑an (x − x0 )n , то этот ряд является рядом Тейлора функции

f (x) .

n=0

3.1. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

∞

Для простоты будем рассматривать степенной ряд вида ∑an xn , т. е. ряд Маклорена.

Теорема 1.1. Для того чтобы функцию

f (x)

n=0

можно было разложить в степенной ряд

∞

∑an xn

на интервале

(−R; R) , необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функ-

n=0

ция f (x) имела производные всех порядков и чтобы в ее формуле Тейлора

′

f

′′

2

f

(n)

(0)

n

(0)

(1.1)

f (x) = f (0) + f

(0) x +

x

+ +

x

+ Rn (x)

2!

n!

остаточный член Rn (x)

стремился к нулю при n → ∞ длявсех x (−R; R) .

▲ Необходимость. Пусть на интервале (−R; R), R > 0 , функция

f (x) разложима в степен-

ной ряд

∞

∑an xn ,

(1.2)

n=0

вид an =

f (n) (x)

, т. е. мы можем написать равенство

n!

f

′′

f

(n)

(x)

2

n

f (x) = f (0)

′

(0)

x

+ +

x

+ .

(1.3)

2!

n!

+ f (0) x +

∞

(k )

В силу сходимости этого ряда

на интервале (−R;

R)

его остаток

Rn (x) = ∑

f

xk

k!

k =n+1

и в ее формуле Тейлора остаточный член Rn (x) → 0 при n → ∞ для любого

x (−R; R) .

Поскольку

′

f

′′

2

f

(n)

(0)

(0)

n

,

Rn (x) = f (x) − f (0) + f

(0) x +

x

+

+

x

2!

n!

то

′

f

′′

2

f

(n)

(0)

(0)

n

Rn (x)

→ 0

f (x) − f (0)

+ f (0) x

+

x

++

x

=

(1.4)

2!

n!

∞

(n)

(0)

∑

f

xn (0!=1,

f (0) (0) = f (0)).

n=0

n!

Докажем, что он сходится к функции f (x) . Для этого достаточно показать, что оста-

точный член R

(x) =

f (n+1) (θ x)

xn+1, 0 <θ <1, в формуле Тейлора (1.1) стремится к нулю

n

(n +1)!

при n → ∞ длявсех x (−R; R) . В самом деле,

учитывая, что − R < x < R и

f (n+1) (θ x)

≤ M

(θ x (−R; R)), будем иметь