Практика_11 / Практика11(kad)
.pdfНайтидля нестационарного режима математическоеожиданиеи корреляционнуюфункцию выходногопроцесса интегрирующей RC-цеписо следующимипараметрами
Постоянная времени |
R := |
10 103 |
C := |
10 10- 6 T := |
R C = 0.1 |
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Импульсная характеристика цепи |
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g(t) := |
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1 |
exp |
-t |
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T |
T |
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Приt=0 матожидание m1x := 0.5 |
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кореляцфункция |
σ:= 0.5 |
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α:= 0.5 |
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R(τ) := σ2 exp(-α |
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τ |
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) |
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R(0) = 0.25 |
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Матожидание |
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t |
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1 |
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t - τ |
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- 10.0000000000000008 t |
|
|||||||||||
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|
m1y(t) := m1x |
|
exp |
- |
dτ -0.5 e |
+ 0.5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
выходногосигнала |
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T |
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T |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
|
или |
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0 |
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|||||
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m1y(t) := m1x |
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-1 |
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+ exp |
-t |
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T |
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||||||||||||||||||||
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|||||||
Корреляционнаяфункция процесса |
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||||||||||||||||
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2 |
t1 |
t2 |
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t1 - τ1 |
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|
t2 - τ2 |
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|||||||||||||
Ry(t1,t2) := |
σ |
|
exp |
- |
exp |
- |
exp[-α (τ2 |
- τ1)] dτ1 dτ2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
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T |
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0 |
0 |
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||||
После интегрирования |
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exp |
-(t2 + α t1 T) |
- exp |
-(t2 + t1) |
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||||||||||||||||||
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2 |
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|
(1 + α T) |
|
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|
T |
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|
T |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
Ry(t1,t2) := -σ |
|
exp t2 |
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- 1 |
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|||||||||||||
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|
T |
|
|
|
:= |
0.2 |
|
|
|
(T2α2 - 1) |
0.. 20 |
t1i := i |
t2j := j |
|||||||||||||||||||||||||||||
ГрафикнестационарнойКор ф-ции |
|
|
|
|
|
i := 0..20 j := |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иее параметры Ri,j := |
Ry(t1i,t2j) |
|
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||||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
R
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|
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|
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|
2 |
|
∞ |
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τ+x |
|
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|||
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|
σ |
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|
x |
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|
τ + x - z |
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|||||||||
Стационарное значение |
R(τ,x) := |
|
|
exp |
|
dx |
|
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|
exp(-α |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
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|
-T |
|
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|
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|
exp - |
|
T |
|
z ) dz |
||||||||||||||||||
КФдля τ>0 |
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T |
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|||||||||
Вычисление первого |
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|
0 |
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|
- ∞ |
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||||||
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0 |
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τ+x |
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|||
внутреннего |
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τ + x |
|
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|
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|
|
z |
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|
z |
|||||||||||
интеграла |
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|
- |
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α z) dz + |
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|||||||||||||
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|
f(τ,x) := exp |
|
T |
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|
exp T exp( |
|
|
exp T exp(-α z) dz |
|||||||||||||||||||||||
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|
- ∞ |
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0 |
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Интегрировани, |
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+ |
x) |
(α T - |
1) |
(1 + |
|
||
подстановка |
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|
-(τ |
+ x) |
|
|
-2 α T + exp -(τ |
|
T |
|
α T) |
||||||||||||||||||
ивзятиепредела |
|
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||||||||
f(τ,x) := -exp |
T |
T |
|
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|
(1 + α T) (α T - 1) |
|
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||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||
Вычисление второго внешнего интеграла |
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||||||||||
|
∞ |
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|
(α T - 1) |
|
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|||||
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|||||||
σ2 |
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|
(τ + x) |
-2 α T + exp -(τ + x) |
|
|
T |
|
(1 + α T) |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
R(τ) := T |
|
-exp - |
T |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + α T) (α T - 1) |
|
|
|
exp |
-T dx |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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Интегрирование, |
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|
-1 |
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|||||
подстановка |
|
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2 |
|
-exp( |
-τ α) + exp T τ |
α T |
|
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|||||||||||||||||
ивзятиепредела |
R(τ) := σ |
|
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(-1 + α2 T2) |
|
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|||||||||||
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|
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|
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|
|||||||||||
|
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|
|
|
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|||||||||
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|
-exp(- |
τ |
α) + exp |
|
-1 |
|
τ |
|
α T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Учитывая свойство |
|
|
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
R(τ) |
:= |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
четности |
|
σ |
|
|
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|
(-1 + α2 T2) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R(1) = 0.152 |
B := 10 |
τ:= -B,-B + |
B |
..B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
volt*volt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
(1+α T) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ГрафикКФ |
R(τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
- 10 |
|
|
|
|
|
|
- 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
10 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия вустановившемся режиме |
|
|
|
Dy:= |
(1 + α T) = 0.238 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
__________________________________________________________________________________ |
Найти математического ожидание спектр плотности корелляционнуюфункциюи дисперсию для выходногопроцесса со схемысоследующими параметрами
R1 := 40 103 R2 := 80 103 C := 25 10- 6
Постоянная времени T := R2 C |
|
|||||||
Кэффпередачи |
K(ω) := |
-R2 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
+ j ω T) |
|||||
На входнапряжение с |
R1 |
(1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
матожиданием |
|
m1x := 0.5 |
|
|
|
|||
σ:= 0.5 |
α:= 0.2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
- α τ2 |
|
|
|
|
|
|
КФ Rx(τ) := σ |
e |
|
Rx(0) |
= 0.25 |
||||
|
|
|
|
Используемпреобразование Хинчина Винерадля определения спектральнойплотности
2 |
∞ |
|
- α τ2 |
|
- j ω τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1.25 ω2 |
||||
|
e |
e |
dτ 0.99083182440150275334 e |
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Sx(ω) := σ |
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Частотныйкэфф |
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Kp(ω) := ( |
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)2 |
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передачимощности |
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1 + 2i ω |
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exp -ω |
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мощности |
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Sy(ω) := |
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π |
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R12 |
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(1 + ω2 T2) |
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Матожидание |
m1y := K(0) m1x -1.0 |
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-R2 m1x = -1 |
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-ω2 |
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R22 |
σ2 |
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exp |
4α |
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π |
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j |
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КФпроцесса Ry(τ) := |
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ω τ |
dω |
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(1 + |
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2π |
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α |
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ω T |
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- ∞ |
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Используемметодконтурного интегрирования на плоскостикомплексной переменно и находитьзначение интеграла посредставомвычета
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1 + ω2 T2 = 0 |
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Полюсы |
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-T |
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подынтегральной |
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T2 |
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1 |
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-T |
2 |
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i |
||||||||||||
функции |
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-1 |
-T2 |
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T |
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T |
2 |
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ω1 := |
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j |
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ω2 := |
-j |
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Два полюса |
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T |
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Далее интегрируемпротивипочасовой стрелке для разныхполюсов |
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После интегрирования |
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exp |
-ω |
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Вычетвточке w1 |
lim |
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4α |
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exp(j ω τ) |
ω |
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j |
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(-1 + 4 τ α T) |
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exp |
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j |
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(1 + ω T |
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T |
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(α T2) |
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Resω1(τ) := |
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2 T exp 4 |
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(α T2) |
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R22 |
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σ2 |
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(-1 + 4 τ α T) |
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Корреляционнаяфункция для τ>0 |
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π |
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R1 (τ) := |
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j |
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После интегрирования |
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σ2 |
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(1 + 4 τ α T) |
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Корреляционнаяфункция для τ<0 |
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R2y(τ) := |
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-j |
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R12 |
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(T2 α) |
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1 R22 2 |
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(T2 α) |
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Есливзятьпеременнуютпо модулюто два выражения объеденяются в |
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σ |
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( |
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T) |
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(T2 α) |
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Ry(0) = 1.354 |
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Дисперсия выходного сигнала |
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Dy:= |
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R2 |
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σ |
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2 T |
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T |
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= 1.354 |
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Условия для графиковкорреляционныхфункцийвходного ивыходного сигналов |
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M := 10 |
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τ:= -M,-M + |
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M |
..M |
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2 |
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Dy |
volt*volt |
Ry(τ) |
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Rx(τ) |
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1 |
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||
|
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|
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Rx(0) |
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- 10 |
|
0 |
|
10 |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
sec |
|
|
________________________________________________________________________________ |
|||||
Найтикорреляционнуюфункцию идисперсиюдля выходного процесса схемыиздвух |
|||||
RC-звеньвмеждукоторымивключен развязывающий повторительвоследпараметрами |
|||||
Коэффициентпередачи |
K0 := 1 |
|
|
|
|
Постоянные времени |
T1 := 0.4 |
T2 := 0.2 |
|
|
|
Частотные кэффпередачи |
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||
K1(ω) := |
1 |
|
|
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1 + j ω T1 |
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K2(ω) := |
1 |
|
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1 + j ω T2 |
|
|
|
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Мошностиспектральной плотности |
S0 := 0.1 |
|
|
||
Частотныйкэффпередачи мошности всхеме |
|
|
|||
|
Kp(ω) := (K0 |
K1(ω) K2(ω) )2 |
1 |
|
|
|
|
|
[ (0.2i) ω + 1 |
]2 [ (0.4i) ω + 1 |
]2 |
Спектральная плотностьмощности выходного процесса |
|
|
|||
|
Sy(ω) := |
|
S0 K02 |
|
|
|
(1 + ω2 T12)(1 + ω2 T22) |
Sy(1) = 0.083 |
|
Корреляционнаяфункция выходного процесса |
|
||||
|
S0 K02 |
∞ |
ej ω τ |
|
|
|
|
|
|||
Ry(τ) := |
|
|
|
dω |
|
2π |
(1 + ω2 T12)(1 + ω2 T22) |
||||
|
|
|
|||
|
|
- ∞ |
|
|
Полагая wкомплекной переменно находимзначения интеграла стеориейвычетов |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Полюсы"корни"уравнения |
|
(1 + ω2 T12)(1 + ω2 T22)= 0 |
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Полюсыподынтегральнойфункции |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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ω1 := |
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j |
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||||||||
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-T1 |
2 |
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T1 |
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||||||||||||
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T12 |
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-j |
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||||||||
Решение уравнения |
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-1 |
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ω2 := |
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|||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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|
-T12 |
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T1 |
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|||||||||||||||||||||||||
ввиде вектор столбца |
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|||||||||||||||||||||
|
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|
T12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|||||
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
ω3 := |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
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|
-T22 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
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|
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|
|
|
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|
|
|
-j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||
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|
|
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|
-T2 |
2 |
|
|
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|
ω4 := |
|
|
|
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||||||||||||||||
|
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|
T2 |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
T2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
||||
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|
exp(j ω τ) |
|
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|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычетвточке w1 |
lim |
|
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|
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|
|
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|
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|
|
ω - |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
(1 |
+ |
ω |
|
T1 |
|
)(1 + ω |
T2 |
) |
|
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
После интегрирования T1 |
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
||||||
|
1 |
|
-τ |
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-τ |
|
T1 |
|
|
||||||||||
|
2 j exp T1 (T22 - T12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Resω1(τ) := |
|
2 j exp T1 (T22 - T12) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
exp(j ω τ) |
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|
|
|
|
|
|
|
j |
|
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|
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|
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|
||||||||||||
Вычетвточке w3 |
lim |
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ω - |
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||||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
ω |
|
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|
(1 + ω T1 |
|
)(1 + |
ω |
T2 |
|
) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
T2 |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
-1 |
|
-τ |
|
|
T2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||
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|
-1 |
|
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|
-τ |
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T2 |
|
|
или Resω3(τ) := |
j exp |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
После интегрирования |
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(T22 - T12) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 j exp T2 (T22 - T12) |
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2 |
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T2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
Для положительной области т |
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-exp -τ T1 + exp -τ T2 |
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1 |
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|
2 |
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|
T1 |
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|
T2 |
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|||||||||||||||||||||
корреляционная функция |
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|||||
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R1y(τ) := |
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2 S0 K0 |
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(T22 - T12) |
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||||||||||||||||||||||||||||||
Остальные вычетыполучаемизсвойствачетностии беремпеременнутпомодулюдля |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
корреляционнойфункции в полномслучаем |
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-exp - |
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τ |
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T1 |
+ exp - |
|
τ |
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||||||||||||||||||||||||
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Ry(τ) := |
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1 |
S0 K0 |
2 |
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T1 |
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T2 T2 |
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2 |
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(T22 - T12) |
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Ry(0) = 0.083 |
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Дисперсия выходноого сигнала |
Dy:= |
1 |
S0 |
K02 |
Dy = 0.083 |
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2 |
(T2 + T1) |
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Условия для графика корреляционнойфункции |
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M := 3 τ:= -M,-M + M ..M |
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выходногосигнала |
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100 |
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Dy
volt*volt |
Ry(τ) |
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- |
4 |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
τ
sec