Контрольная работа 1 вариант 3
.pdfБанк рефератов Vzfeiinfo.Ru
Соглашение об использовании
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных заведениях.
Во всех остальных случаях полное или частичное воспроизведение, размножение или распространение материалов данного файла допускается только с письменного разрешения администрации проекта http://www.vzfeiinfo.ru/.
1
Вариант 3 Контрольная работа № 1
1. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2x |
−4x |
= 4, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 +3x3 = −2, . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
−3x |
2 |
+ x |
=8. |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составим матричное уравнение АХ=В, где |
|
|||||||||||||||
1 −2 −4 |
x1 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
A = |
1 −1 3 |
|
, |
X = x |
, |
B = |
−2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
2 −3 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим обратную матрицу A−1 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислим определитель матрицы: |
|
|
|
|
||||||||||||
D = |
|
1 |
−2 |
−4 |
|
=1 (−1) 1+2 (−2) 3 +(−4) (−3) 1−2 (−1) (−4)−1 1 (−2)−1 3 (−3)= |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
1 −1 3 |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1−12 +12 −8 +2 +9 = 2 ≠ 0;
Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:
A = |
|
|
|
1+1 |
|
−1 3 |
|
=8; |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
1+2 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
=5; |
A |
= |
|
1+3 |
|
1 −1 |
|
= −1; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A = (−1)2+1 |
|
|
−2 |
−4 |
|
=14; |
|
A |
|
|
= (−1)2+2 |
|
1 |
|
−4 |
|
=9; |
A |
|
= (−1)2+3 |
|
1 |
|
|
−2 |
|
= −1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A = (−1)3+1 |
|
|
−2 |
−4 |
|
= −10; |
|
|
|
A = (−1)3+2 |
|
1 |
−4 |
|
= −7; |
|
A |
|
= (−1)3+3 |
|
1 |
−2 |
|
=1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 14 −10 |
|||||||||||||||||||||||
Запишем матрицу |
|
|
14 |
|
|
9 |
|
|
−1 и транспонируем ее: |
5 |
|
|
9 |
|
|
|
−7 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 −7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 1 |
||||||||||||||||||||||
Учитывая, что |
1 |
D |
= |
1 |
2 |
, запишем обратную матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 14 −10 |
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
A−1 = |
|
5 9 |
|
|
−7 |
|
= |
5 |
|
|
|
|
9 |
− |
7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим матрицу A−1 на матрицу В:
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
7 |
|
−5 |
|
4 |
16 −14 −40 −38 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
X = |
|
5 |
|
|
9 |
− |
7 |
|
|
−2 |
= |
|
10 −9 −28 |
|
= |
−27 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
−2 |
+1+4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
− |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
− |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то есть x1 = −38; |
|
|
|
x2 = −27; |
|
|
x3 =3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: (−38;−27;3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
Найти предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(1−2x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 x(x+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim(1 −2x) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
x→0 |
|
|
= e−2 |
= 12 . |
|||||||||||
|
= lim (1 −2x)−2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
−2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
1
Ответ: e2 .
|
|
|
|
3. |
|
Найти производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
ln3 (3 3x +1) |
− |
|
|
ln 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2− x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
( |
3 |
3x +1) |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y′= |
ln |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3ln2 (3 3x +1) (ln (3 3x +1))′ − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
− x |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
−ln 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
) |
|
= 5 ln |
|
( |
|
3x +1) |
|
|
|
( |
|
3x |
+1) + |
|
||||||||||||||||||||||
(2 |
x |
+ |
2 |
− x |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2 x + 2− |
|
x ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
3ln2 (3 3x +1) |
3 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
ln2 2(2 x −2− |
|
x ) |
|
= |
ln2 (3 3x +1) |
|
|
3 |
|
+ |
(2 x −2− x )ln2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5(3 3x +1) |
|
33 x2 |
|
|
(2 x + 2− x )2 2 x |
|
5(3 3x +1) |
|
|
x2 |
|
(2 x + 2− x )2 2 x |
3
Ответ: y |
′ |
|
ln2 |
( |
3 3x +1) |
|
3 |
3 |
|
(2 x −2− x )ln2 2 |
|
||||||||
= |
5 |
( |
3 |
) |
|
x2 |
+ |
(2 |
x |
+ 2 |
− x |
) |
2 |
. |
|||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квадратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Какими должны быть размеры резервуара, чтобы расход олова оказался минимальным? (Толщиной стенок пренебречь.)
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пусть основание резервуара имеет сторону x , тогда площадь основания |
||||||||||||||||||||
|
|
обозначим x2 , а высоту резервуара обозначим как |
4 |
|
. Площадь внутренней |
|||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
=16 + x2 . Найдем при |
||
|
|
поверхности выразим как функцию S(x) = 4x |
+ x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
каком значении x |
(x >0) |
|
|
|
x2 |
|
|
x |
||||||||||||
|
|
функция примет наименьшее значение: |
||||||||||||||||||||
|
′ |
|
16 |
+ x |
2 |
′ |
= − |
16 |
+ 2x = |
2x3 −16 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
S (x) = |
|
x |
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (x) =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2x3 −16 =0 x = 2 (0;+∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
0 |
|
|
− |
|
2 |
|
+ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
S (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x)
min
Значит, при x =2 указанная функция принимает наименьшее значение, т.е. резервуар должен иметь основание со стороной 2 м и высоту 1 м.
Ответ: резервуар должен иметь основание со стороной 2 м и высоту 1 м.
5.Составить уравнения касательных к графику функции y = xx +−22 , образующих
с Ox угол 135°. Сделать чертеж.
Решение.
k =tg135°= −1.
Т.к. y′= k и
4
|
|
x |
+ |
2 |
′ |
( |
x + 2 ′ |
x −2 |
) |
− |
x |
+2 |
)( |
x |
−2 ′ |
|
|
x −2 |
− |
( |
x +2 |
) |
|
x |
− |
2 |
− |
− |
2 |
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y′= |
|
|
|
= |
) ( |
|
|
|
|
( |
2 |
|
|
|
|
|
) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
x |
= |
4 |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(x −2) |
2 |
||||||||||||||||||
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 = 2, |
|
|
|
x = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−4 |
|
|
|
= −1; |
|
|
(x −2) |
2 |
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x −2) |
2 |
|
|
|
|
|
−2 |
= −2; |
|
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Т.к. точки касания принадлежат графику функции, то можем найти вторую |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координату: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y (0)= |
|
2 |
|
|
= −1; |
|
(0;−1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y (4)= |
|
4 + 2 = |
6 |
=3; |
|
|
(4;3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 −2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь можем составить уравнения касательных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y +1 = −1(x −0); y = −x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y −3 = −1(x −4); y = −x +7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −x −1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −x +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-15 |
|
|
|
-10 |
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
10 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y = −x −1; y = −x +7. |
|
|
|
|
||
|
x +1 |
4 |
||||
6. Исследовать функцию |
y = |
|
|
|
и построить схематично ее график. |
|
1− x |
||||||
|
|
|
|
5
y′
y
Решение.
x +1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1− x |
|
(−∞;1) (1;+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) D( y ) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
x +1 |
4 |
lim |
x +1 |
4 |
|||||||
Так как |
|
|
|
= +∞, |
|
|
|
|
|
=+∞, то значит, точка |
|||||
|
|
− x |
|||||||||||||
|
|
|
x→1+0 |
1− x |
x→1−0 |
1 |
|
|
x =1является точкой разрыва II рода.
= 1 − x 4 - функция ни четная, ни нечетная.
1 + x
3) Определим точки пересечения графика с координатными осями.
x +1 |
4 |
x =−1; |
|||
c Ox ( y =0 ) : |
|
|
|
=0 ; |
|
|
|||||
1 − x |
|
(−1;0). |
|
||
Точка касания Ox |
|
|
сOy ( x = 0 ) : y = 0 +1 4 =1.
1 −0
Точка пересечения с осью Oy : (0;1).
4) Найдем критические точки функции, прировняв к нулю первую производную:
|
|
|
|
x +1 |
|
4 |
′ |
|
x + |
1 |
3 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
||||||||||
y′= |
|
|
= 4 |
|
(x +1) (1 − x)−(x |
+1)(1 − x) |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − x) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x + |
1 3 |
|
1 − x + x +1 |
|
|
|
x +1 |
3 |
2 |
|
|
|
8(x +1)3 |
|
|||||||||||||||
= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(1 − x) |
|
|
(1 − x) |
2 |
(1 − x) |
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
′ |
= 0; |
|
|
(x |
+1) |
3 |
= 0; |
|
|
|
x = |
−1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− −1 + 1 x
min
5) Определим промежутки монотонности и экстремумы функции: Функция возрастает на [−1;1).
Функция убывает на (−∞;−1] и на (1;+∞). Функция имеет локальный минимум в точке x =−1.
6
y(−1) = −11++11 4 =0;
6) Определим промежутки вогнутости и выпуклости, найдем точки перегиба.
y′′= 8((1x−+x1))53 ′ = (8(x +1)3 )′(1− x(1)5−−x8)10(x +1)3 ((1− x)5 )′ =
= |
8 3(x +1)2 (1 − x)5 −8(x +1)3 5(1− x)4 (1 − x)′ |
= |
|
24(x +1)2 (1− x)5 +8(x +1)3 5(1 − x)4 |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1− x)10 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(1− x)10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8(x |
+1)2 |
(1− x)4 (3 −3x +5x +5) |
= |
8(x +1)2 (2x |
+8) |
= |
16 |
(x + |
1)2 (x + 4) |
; |
|
|||||||
|
|
|
(1 |
− x)10 |
|
|
(1− x)6 |
|
|
|
|
(1 |
− x)6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
′′ |
= 0; |
(x +1) |
2 |
(x + 4)=0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x =−1 |
- критические точки второго рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x =−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
−4 |
|
+ |
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Точка перегиба −4; |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
7) Найдем асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x +1 |
4 |
= +∞ |
|
|
lim |
x +1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x =1является |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а) Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
=+∞, то прямая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) Рассмотрим наличие у функции наклонных асимптот. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k = lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
=0; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
4 |
1 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ 1 − x |
|
x→±∞ |
x |
5 |
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
x |
−1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
1 4 |
|
|
|
1 4 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
1 + |
|
1 + |
|
||||||||
b = lim ( f ( x ) −kx ) = lim |
|
|
|
|
−0 |
x |
= lim |
|
|
|
|
|
x |
= lim |
|
|
x 4 =1; |
|
1 − x |
|
|
|
1 |
|
4 |
1 |
|
||||||||||
x→±∞ |
x→±∞ |
|
|
|
|
x→±∞ |
4 |
|
|
x→±∞ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
y =1 - горизонтальная асимптота.
8) Используя результаты исследования, строим график функции.
|
y |
|
|
10 |
|
|
|
8 |
x +1 |
4 |
|
|
y = |
− x |
|
|
1 |
|
6
x=1
4
2
y=1
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-18 -16 -14 -12 -10 -8 |
-6 |
-4 |
-2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 12 14 16 18 |
-2
-4
-6
-8
8