Финансово-коммерческие расчеты на основе Microsoft Excel

Срок ренты решено изменить на n1 лет. Определить величину нового платежа.

4. Изменение величины платежа

Может возникнуть ситуация, когда должна быть изменена величина платежа.

Пример. 4.11. Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4% годовых, в течение 10 лет должны вноситься ежегодные

значение нового аннуитета с этим сроком:

PV = 7500[1–(1 + 0.04)-6]/0,04 =39316 $.

Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма

PV0 = 40554,48– 39316 = 1238,48 $ должна быть выплачена кредитору

сразу.

73

5. Отсрочка начала выплаты

Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке r может быть отсрочено:

а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннуитета, а во втором – величина платежа.

Обозначим через n0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга PV1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит: PV1 PV (1 r)n0 .

Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

A1 [1 (1 r) n1 ] A [1 (1 r) n ] (1 r)n0

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям.

В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении A A1 (n1 будет найдено приближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей суммы (см. предыдущий пример).

Во втором – находим величину платежа A1 при n1 n n0 .

Пример. 4.12. Долг 3790$ выплачивается в виде годовой постоянной ренты постнумерандо: A 1000$; r =10%; n 5 . Начало выплаты откладываем на два года: а) с сохранением срока, б) с сохранением платежа.

Новый долг к концу второго года:

D D (1 r)n0 3790 1,12 4585,9$ .

Тогда в случае (а) найдем новый платеж:

4585,9 A1 1,1 3 A 2,48685. A 1844$. 0,1

Срок округляем до 6 лет и рассчитаем сумму, которую выплатим за этот срок:

Остаток 23,9$ выплатим в начале срока.

74

6. Объединение (консолидация рент)

Иногда требуется объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющей и заменяемых рент:

Объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете необходимо четко определить ее вид и все параметры, кроме одного. Далее для получения строгого баланса условий необходимо рассчитать величину неизвестного параметра исходя из равенства (4.20). Этим параметром может быть срок ренты или ее член.

Пример. 4.13. Два аннуитета требуется заменить одним аннуитетом со сроком 5 лет и процентной ставкой 8% годовых с начислением 1 раз в квартал.

Первый аннуитет: величина платежа – 2000$, процентная ставка – 10% годовых, с начислением процентов 2 раза в год ( m 1); срок–6 лет;

Второй: величина платежа – 4000$, процентная ставка – 6% годовых, срок– 10 лет;

75

5. Кредитные расчеты (погашение задолженности)

5.1. Основные понятия

Важным практическим приложением теории аннуитетов является составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. Анализ задолженности включает:

разработку плана погашения займа;

оценку стоимости долга на любой момент времени;

анализ эффективности финансовой операции для кредитора и заёмщика.

Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом. Такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга – срочная уплата.

Она включает: текущие процентные платежи и средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга.

Размеры срочных уплат зависят от условий займа:

срока;

наличия и продолжительности льготного периода;

уровня процентной ставки;

способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов.

Все эти параметры оговаривают при заключении контракта. Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают следующие показатели:

D – основная сумма долга (без процентов);

r – ставка процента по займу;

I – процент по займу (процентные деньги);

A – размер взноса на погашение задолженности;

Y – величина срочной уплаты, Y A I ;

n –срок займа.

5.2. Варианты погашения задолженности

Можно выделить пять основных вариантов погашения задолженности:

займы без обязательного погашения;

погашение долга в один срок;

погашение долга в рассрочку равными суммами;

погашение долга в рассрочку с использованием постоянных срочных

уплат;

76

погашение долга в рассрочку с использованием переменных срочных уплат.

Рассмотрим эти случаи.

1. Займы без обязательного погашения. В данном случае речь идет о вечной ренте. Задача в данном случае заключается и нахождении размера выплачиваемой суммы A при заданной процентной ставке r. Современная

стоимость аннуитета: PV Ar , отсюда размер платежа A PV r .

2. Погашение долга единовременным платежом в конце срока

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда (например, депозит банка), для чего периодически в фонд вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под которую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором. Создание погасительного фонда может оговариваться в контракте в качестве гарантии.

Пусть g – ставка процентов в погасительном фонде.

Взносы в погасительный фонд зависят от методов уплаты процентов по займу: a) Проценты по займу уплачиваются кредитору регулярно.

Найдем величину срочной уплаты Y и ее составляющие A и I . По определению I=D r.

Регулярные взносы в погасительный фонд может рассматривать как определенную ренту. Например, рассмотрим годовую постоянную ренту постнумерандо, m 1.

Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. наращенная сумма аннуитета с параметрами A, n, g, должна составить величину долга D.

Величина срочной уплаты в данном случае определяется формулой:

Следует сказать, что платежи в погасительный фонд могут быть представлены рентой любого типа, соответственно будет меняться формула наращенной суммы.

77

b) Проценты по займу не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга.

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд, обозначим их A . Общая сумма долга на конец срока составит величину

Пример 5.1. Долг 120 тыс. долларов выдан под 10% годовых на 3 года, с ежегодной выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 12%. Найти ежегодные расходы должника.

Отсюда Y = 12000 + 35561,7 = 47561,88 $.

Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят = 47561,7 $.

Более наглядным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все основные характеристики обслуживания долга Составим такую таблицу.

Таблица 5.1

План погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов кредитору и созданием погасительного фонда

Здесь St St 1 (1 g) A, t 1,3 , S0 0

Таким образом, из приведенной таблицы видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга составят 47561,88 $, что в целом за три года составит

78

сумму 142685,64$. Выплата процентов составит 36000$, на погашение основного долга будет потрачено 106685,64 $, а 13314,36$ будут покрыты за счет процентов на размещение средств в фонде.

Пример. 5.2. Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия: проценты выплачиваются кредитору не ежегодно, а в конце срока.

Решение:

В данном случае необходимо накопить сумму долга с процентами:

D (1 r)n =120000 (1 0,1)3 159720 $.

Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит 47332,62 долларов, что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере. Составим таблицу погашения долга.

Таблица 5.2

План погашения долга единовременным платежом

Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до 159720$, из которых выплата процентов составит 39720$. Однако за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается и составит 141998,58$.

3. Погашение долга в рассрочку равными частями

В практике финансовой деятельности долг часто погашается в рассрочку, т.е. распределенными во времени платежами. При погашении основной суммы долга частями его текущее значение будет уменьшаться и, следовательно, сумма процентных платежей также будет уменьшаться.

Погашение долга частями также может осуществляться различными

79

способами. В зависимости от преследуемых интересов стороны могут выбирать различные, удобные для них режимы в виде постоянных или переменных финансовых рент, а также нерегулярных потоков платежей.

Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга равными частями. В этом случае величина погашения

A Dn = const. Проценты будут начисляться на постоянно уменьшающуюся

сумму долга: It Dt r .

Пример. 5.3. Сумма 120000 тыс. долларов выдана под 10% годовых на 3 года. Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга равными ежегодными частями.

Решение. Величина суммы погашения долга равна: A Dn =40000$.

Поскольку величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года в год, то план погашения долга удобно представить в таблице.

Таблица 5.3

План погашения основной суммы долга равными частями

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составили 144000$, из которых 24000$ составляют проценты.

4. Погашение долга равными срочными уплатамии

Срочные уплаты включают в себя как погашение основной суммы долга, так и величину процентов по нему: Yt At It =const.

При погашении долга в рассрочку величина долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и, соответственно, увеличению сумм, идущих на погашение долга (прогрессивное погашение).

Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность представляет собой финансовую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга. В зависимости от применяемой ренты выбираем

80

формулу современной стоимости ренты и получаем уравнение для нахождения срочной уплаты.

Например, рассмотрим годовую постоянную ренту постнумерандо при

годовой постоянной ренты постнумерандо с начислением процентов один раз в год. Составить план погашения долга.

Решение:

Составим уравнение для нахождения срочной уплаты, из которого найдем величину срочной уплаты Y :

Отсюда общие расходы по погашению долга равны:

3

Yt 3 48253,78 144761,34 $.

t 1

Составим план погашения задолженности.

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют 144761,34$ , из которых 120000$ идут на погашение долга, а 24761,33$ – проценты.

5.. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения. На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой

81

величиной остатка долга на начало последнего периода.

Пример 4.5. Долг в размере 10000 долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года: 2000 долл., 2000 долл., 4000 долл., 1500 долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годовых.

Проценты за первый год составляют: I D r 10000 0,05 500 $ . Тогда сумма на погашение основного долга: A1 Y1 I1 1500 $ , а остаток долга на начало следующего: D2 D1 A1 = 8500$ и т.д.

D5 A5 , тогда величина последней уплаты Y5 A5 I5 2031,55 $ .

5.3. Потребительский кредит

Частным случаем погашения долга равными срочными уплатами является потребительский кредит, при котором проценты начисляются сразу на всю сумму кредита, а сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока кредита. Проценты в потребительском кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой ставке: I D r n .

Тогда общая сумма расходов по погашению кредита складывается из выплаты процентов и суммы основного долга: Y D I . Следовательно,

взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов.

Решение:

Стоимость кредита – это проценты, которые равны:

I D r n = 5000 2 0,25 = 2500 рублей

82