НГТУтв3
.pdfКолмогоровские аксиомы теории вероятностей
Алгебра и σ – алгебра событий
Идея: в качестве событий должны рассматриваться только такие подмножества множества Ω, операции над которыми приводят снова к событиям.
Определение. Алгеброй F называют непустой класс подмножеств множества Ω, которые удовлетворяют следующим условиям:
1)Ω F ;
2)из того, что A F следует, что A F
3) из условия, что A1 F, ..., An F следует, что
A1 ... An F .
Определение. σ -алгеброй F называют непустой класс подмножеств множества Ω, которые удовлетворяют следующим условиям:
1)Ω F ;
2)из того, что A F следует, что A F
3) из условия, что A1 , A2 ,... F следует, что ∞ |
Ai F . |
i=1 |
|
Вероятностное пространство
Назовем вероятностным пространством тройку
< Ω, S, P >, где Ω - множество элементарных событий, S - σ -алгебра событий над Ω,
P - функция, которая каждому событию A S сопоставляет число, называемое вероятностью этого события.
Аксиомы вероятности:
1.0 ≤ P( A);
2.P(Ω) =1;
3. Если A1, A2 ,... попарно несовместны ( Ai Aj = (i ≠ j)),
∞ |
∞ |
то P( Ai ) = ∑P( Ai ) (счетная аддитивность). |
|
i=1 |
i=1 |
Свойства вероятности
1.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P ( ) = 0.
2.Аддитивность вероятности: для всякого конечного набора попарно несовместных событий A1, A2 ,..., An
P( n Ai ) = ∑n P( Ai ).
i=1 i=1
3. Вероятности случайного события A и A в сумме составляют единицу, т.е. P (A)+ P (A) =1.
4. Правило сложения вероятностей. Для произвольных событий А и В
P (A B) = P (A)+ P (B)− P (AB).
AB
А
В
5. Если A B, то P( A) ≤ P(B).
Ω
В
А
Условная вероятность
Определение. Условной вероятностью события А, вычисленной в предположении, что произошло событие В, называется величина
Р(А| В) =
Обоснование формулы с помощью геометрической
вероятности: P( A | B) = |
P( AB) |
= |
μ( AB) / μ(Ω) |
= |
μ( AB) . |
|
P(B) |
μ(B) / μ(Ω) |
|||||
|
|
|
μ(B) |
То есть получили отношение площадей; роль пространства Ω выполняет B.
АВ
А
В
Из формулы условной вероятности можно сформулировать правило умножения
вероятностей:
P (AB) = P (A)P (B | A) = P (B)P (A | B).
Замечание. Условная вероятность P( A | B) не имеет смысла, если P(B) = 0.
Событие А называют независимым от события В, если появление события В не изменяет вероятности появления события А, т.е. если условная вероятность P (A / B) равна вероятности P (A):
P (A | B) = P (A).
Для независимых событий правило умножения вероятностей имеет вид:
P (AB) = P(A)P(B).
Свойства независимых событий.
1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т.е.
P (B | A) = P (B).
Доказательство. P (B | A) = P (BA) = P (B)P( A) = P(B).
P( A) P( A)
2.Если события А и В независимы, то независимы также события A и B , A и B, A и B.
Докажем независимость A и B :
А В
P( AB) = P( A \ AB) = P( A) − P( AB)=P( A) − P( A)P(B)
= P( A)(1 − P(B)) = P( A)P(B).
Остальные случаи рассматриваются аналогично.