- •Решение
- •5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью f -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.
- •6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия с оборотом 100 млн. Руб.
- •7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
- •8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.
- •9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
- •10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
- •11. С помощью f -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,95.
- •13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.
- •Тестовые задания
Ситуационная (практическая) задача № 1
Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 16 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице..
Требуется:
1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью оборотных средств. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.
2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью оборотных средств с надежностью 0,99.
3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств.
4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.
5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.
6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия с оборотом 100 млн. руб.
7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.
9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.
12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия, на котором стоимость основных фондов составляет 70 млн. руб., а стоимость оборотных средств - 100 млн. руб.
13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.
Решение
1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью основных фондов. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.
Построим поле рассеяния:
Рис. 1. Корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью основных фондов
На основе визуального анализа построенных полей рассеяния можно выдвинуть гипотезу о линейной зависимости валового дохода от стоимости основных фондов.
Математически данная зависимость запишутся в виде:
y = α0+ α1x1 +
- случайная переменная.
2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью основных фондов с надежностью 0,99
Составим расчетную таблицу:
Табл.1
i |
yi |
xi1 |
xi12 |
yi xi1 |
yi2 |
1 |
218 |
108 |
11664 |
23544 |
47524 |
2 |
89 |
18 |
324 |
1602 |
7921 |
3 |
79 |
17 |
289 |
1343 |
6241 |
4 |
128 |
40 |
1600 |
5120 |
16384 |
5 |
90 |
46 |
2116 |
4140 |
8100 |
6 |
123 |
92 |
8464 |
11316 |
15129 |
7 |
125 |
106 |
11236 |
13250 |
15625 |
8 |
118 |
114 |
12996 |
13452 |
13924 |
9 |
252 |
144 |
20736 |
36288 |
63504 |
10 |
175 |
105 |
11025 |
18375 |
30625 |
11 |
90 |
88 |
7744 |
7920 |
8100 |
12 |
141 |
76 |
5776 |
10716 |
19881 |
13 |
175 |
94 |
8836 |
16450 |
30625 |
14 |
78 |
38 |
1444 |
2964 |
6084 |
15 |
226 |
103 |
10609 |
23278 |
51076 |
16 |
136 |
65 |
4225 |
8840 |
18496 |
Σ |
2243 |
1254 |
119084 |
198598 |
359239 |
среднее |
140,1875 |
78,375 |
7442,75 |
12412,38 |
22452,44 |
Найдем коэффициент парной корреляции для :
проверим, существенно ли отличается найденный коэффициент корреляции от нуля. Найдем:
Сравним с квантилем распределения Стьюдента
Т.к. 4,2039 >2,9768, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная зависимость между y и
3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости основных фондов.
Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:
таким образом, получаем уравнение регрессии:
4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.
Коэффициент детерминации: , т.е. вариация валового дохода на 55,8% объясняется вариацией стоимости основных фондов.
Фактическое значение F-статистики Фишера
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии найдем , признается статистическая значимость коэффициентов регрессии.
Найдем доверительную полосу для уравнения регрессии , построим вспомогательную таблицу: (таблица 2)
Табл.2
ỹi |
ỹi -yi |
(ỹi -yi )2 |
(xi1-x1)2 |
Sy |
Sy |
2,9768Sy |
ỹн |
172,657 |
-45,343 |
2055,988 |
877,6406 |
11,41914 |
11,41914 |
33,99249 |
138,6645 |
74,017 |
-14,983 |
224,4903 |
3645,141 |
17,84864 |
17,84864 |
53,13184 |
20,88516 |
72,921 |
-6,079 |
36,95424 |
3766,891 |
18,07906 |
18,07906 |
53,81775 |
19,10325 |
98,129 |
-29,871 |
892,2766 |
1472,641 |
13,07111 |
13,07111 |
38,91009 |
59,21891 |
104,705 |
14,705 |
216,237 |
1048,141 |
11,91595 |
11,91595 |
35,47141 |
69,23359 |
155,121 |
32,121 |
1031,759 |
185,6406 |
9,129288 |
9,129288 |
27,17606 |
127,9449 |
170,465 |
45,465 |
2067,066 |
763,1406 |
11,073 |
11,073 |
32,96209 |
137,5029 |
179,233 |
61,233 |
3749,48 |
1269,141 |
12,53064 |
12,53064 |
37,30121 |
141,9318 |
212,113 |
-39,887 |
1590,973 |
4306,641 |
19,06707 |
19,06707 |
56,75884 |
155,3542 |
169,369 |
-5,631 |
31,70816 |
708,8906 |
10,90516 |
10,90516 |
32,46248 |
136,9065 |
150,737 |
60,737 |
3688,983 |
92,64063 |
8,776122 |
8,776122 |
26,12476 |
124,6122 |
137,585 |
-3,415 |
11,66222 |
5,640625 |
8,432361 |
8,432361 |
25,10145 |
112,4835 |
157,313 |
-17,687 |
312,83 |
244,1406 |
9,344604 |
9,344604 |
27,81702 |
129,496 |
95,937 |
17,937 |
321,736 |
1630,141 |
13,47454 |
13,47454 |
40,11101 |
55,82599 |
167,177 |
-58,823 |
3460,145 |
606,3906 |
10,58078 |
10,58078 |
31,49687 |
135,6801 |
125,529 |
-10,471 |
109,6418 |
178,8906 |
9,104116 |
9,104116 |
27,10113 |
98,42787 |
Σ |
|
19801,93 |
20801,75 |
|
|
|
|
, для каждого xi1 рассчитаем
,
, где . Результаты расчетов для каждого приведены в таблице 2.
Значения определяют доверительный интервал для каждого . Линию регрессии и доверительную полосу изобразим на рисунке 2
Рис. 2. Линия регрессии и доверительная полоса