![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 3. Предел функции. Вычисление пределов
- •Неопределенность типа
- •Неопределенность типа
- •Простейшие иррациональные выражения
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •§ 4. Непрерывные функции. Точки разрыва
- •Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Производная
§ 3. Предел функции. Вычисление пределов
Рассмотрим задачи, приводящие к вычислению пределов.
Пример 1
Для
наиболее рационального использования
леса необходимо знать закономерности
увеличения древесной массы в дереве с
течением времени. В лесоведении различают
два вида прироста: средний и текущий.
Текущим приростом в возрасте n
лет называют величину
,
где
объем дерева соответственно в возрасте
n
и
n–1
лет. Средним приростом в возрасте n
лет называют величину
.
При нормальных условиях средний прирост в первый период жизни возрастает (у хвойных до 50–60 лет), а затем убывает. Докажите, что в период возрастания среднего прироста его величина меньше величины текущего прироста, а затем больше [3].
Доказательство:
Справедливость утверждения вытекает
из следующего соотношения:
.
Пример 2
Бревна и дрова на складах лесоматериалов укладывают в штабеля (штабель с дровами обычно называют поленницей) различной формы. Учет уложенных в штабеля лесоматериалов ведется [27] с помощью коэффициента полнодревесности штабеля, под которым понимается отношение объема древесины в штабеле к геометрическому объему штабеля (первый меньше из-за имеющихся пустот).
Докажите, что значения коэффициента полнодревесности поленницы треугольного профиля, составленной из одинаковых цилиндрических чурок, не выходя из интервала (0,60; 0,91).
Рис. 8
Доказательство: Рассматриваемая поленница (рис. 8) представляет собой «лежащую на боку» правильную треугольную призму. Если в первом ряду поленницы уложено n чурок, то во втором ряду их n–1, в третьем n–2, в последнем 1. Общее количество чурок в поленнице
.
Коэффициент
полнодревесности поленницы
,
где l – длина, r– радиус чурки, S – площадь поперечного сечения поленницы, т.е. площадь треугольника ABC. Так как АВ = AD + DE + BE,
,
,
то
.
Следовательно,
и
Таким
образом, коэффициент полнодревесности
поленницы не зависит от радиуса
укладываемых чурок, но зависит от их
количества, определяемого числом n
чурок в
первом ряду. Обозначим коэффициент
полнодревесности, соответствующий
данному n,
через
и покажем, что последовательность (
)
возрастающая. В самом деле,
,
откуда
и вытекает, что
.
Для
возрастающей последовательности верно
соотношение
.
У
нас
.
Итак, мы получили для коэффициента
полнодревесности оценку снизу:
> 0,60.
Для
получения оценки сверху заметим, что
предел а
возрастающей последовательности больше
любого члена последовательности:
.
В нашем случае
.
Определение 1. Совокупность действительных чисел
,
(1)
расположенных
в порядке возрастания номера
,
называетсячисловой
последовательностью,
если каждому числу натурального ряда
чисел ставится в соответствие некоторое
действительное число
.
Если
функция рассматривается только при
целых и положительных значениях
аргумента, то она называется функцией
натурального
аргумента. Таким образом, переменная
величина
,
являющаяся общим членом числовой
последовательности (1), зависит от номера
и является функцией натурального
аргумента
,
т.е.
=
(
).
Пример
Написать
первые пять членов последовательности,
общий член которой
.
Решение:
Придавая
аргументу
значения 1, 2, 3, 4, 5, получим
;
;
;
;
.
Следовательно, искомая последовательность имеет вид:
,
,
,
,
Пример
Написать формулу общего члена последовательности
,
,
,
,
Он
имеет вид:
.
Определение 2.
Число
называется
пределом
последовательности
,
если для всякого сколь угодно малого
положительного числа
найдется такое положительное число
,
что
при
.
В
этом случае пишут
.
Определение 3.
Число
называется
пределом
функции
при
,
если для любого сколь угодно малого
положительного числа
найдется такое положительное число
,
что
при
.
В
этом случае пишут
.
Если
,
то функция
называетсябесконечно
малой
при
.
Условно
записывают
,
если
при
,
где М –произвольное положительное
число. В этом случае функция
называетсябесконечно
большой
при
.
Если
и
,
то употребляют запись
,
число
называетсяпределом
слева
функции
в точке
.
Если
и
,
то употребляют запись
,
число
называетсяпределом
справа
функции
в точке
.
Для
существования предела функции
при
необходимо и достаточно, чтобы
.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
Если
существуют
и
,
то
Предел алгебраической суммы двух (или нескольких) функций равен алгебраической сумме пределов этих функций
.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела
,
где
.
Предел произведения двух (или нескольких) функций равен произведению пределов этих функций
.
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций
(при
).
При вычислениях пределов используются также следующие пределы (а – постоянная, отличная от нуля):
; 2)
; 3)
; 4)
5) Первый замечательный предел:
(
есть радианная мера угла).
6) Второй замечательный предел:
.
Для
того чтобы найти предел непрерывной
функции
при
,
необходимо подставить предельное
значение аргумента
из области определения функции в данную
функцию и получить значение функции
при
:
.
Примеры
Найти пределы функций:
1)
так
как функция непрерывна в предельной
точке
,
поэтому находим предел функции как
частное значение в предельной точке.
2)
=
.
3)
.
Рассмотрим,
чему равен предел многочлена при
,
то есть
Коэффициенты
могут быть как положительные, так
отрицательные, поэтому возможны случаи,
когда под знаком предела будет не сумма
(
),
предел которой, естественно, равен
бесконечности, а разность (
),
предел которой надо отыскать. Вынесем
за скобку первое слагаемое многочлена
и рассмотрим предел сомножителя,
оставшегося в скобках
Находим предел выражения, заключенного в скобки
Следовательно,
предел многочлена при
полностью
определяется пределом первого слагаемого
=
На
основании этого рассмотрим нахождение
предела отношения многочленов при
.