L04-Динамика, механика твердого тела
.pdfЛекция 04
Глава 4. Механика твердого тела
§ 31. Мгновенная ось вращения |
|
al |
|
§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого |
|||
тела |
|
i |
|
|
|
|
|
§ 33. |
Вращение тела вокруг неподвижной оси |
|
|
§ 34. Момент инерции |
n |
|
|
t |
|||
§ 35. |
|
de |
|
Кинетическая энергия твердого тела |
|
§ 36. |
Работа внешних сил при вращении твердого |
||
тела |
|
|
f |
§ 37. |
Кинетическая энергия телаiпри плоском |
||
движении |
|
|
|
§ 38. |
Гироскопы |
C |
|
|
|
|
|
|
§ 31. Мгновеннаяonось вращения |
||
|
y |
|
При вращательном движении все точки твердого тела движутсяpanпо окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Для описания вращательного движения нужно задать положениеm в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени. Любое
oдвижение твердого тела может быть представлено как Cналожение двух указанных выше основных видов
движения. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости. В этом
случае все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях
|
Элементарное перемещение какой-либо точки тела ds |
||||
|
можно разложить на два перемещения — |
|
|
al |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
t |
||
|
«поступательное» dsn и «вращательное» dsв: |
|
|
||
|
ds = dsn + dsв, |
|
|
|
|
|
причем dsn для всех точек тела одно и то же. Такое |
||||
|
разложение перемещения ds можно осуществитьn |
||||
|
различными способами, причем в каждом случае |
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
вращательное перемещение dsв осуществляется |
|
|||
|
|
on |
|
|
|
|
поворотом тела на один и тот же уголdedϕ (но |
|
|
||
|
относительно различных осей), в то время как dsn и |
||||
|
dsв |
оказываются различными. |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
Разделив ds на соответствующий промежуток |
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
времени dt, получим скорость точки v: |
|
|
|
|
|
|
pan |
|
|
|
|
где vo — одинаковая для всех точек тела скорость |
||||
|
поступательного движения и v' — различная для |
||||
|
m |
|
|
|
|
|
разных точек тела скорость, обусловленная |
|
|
|
|
|
вращением. |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений —
поступательного со скоростью vo и вращательного с угловом скоростью ω (вектор ω направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).
Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями vo и v', но соответствующих одной и той
же угловой скорости
|
Движение цилиндра, без скольжения по плоскости, |
|||
|
можно представить как поступательное движение со |
|||
|
скоростью vo и одновременное вращение с угловой |
|||
|
скоростью ω вокруг оси О, либо как поступательное |
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
al |
|
движение со скоростью v" = 2 vo и вращениеtс той же |
|||
|
угловой скоростью вокруг оси О", либо, наконец, как |
|||
|
|
|
n |
|
|
одно только вращение опять-таки с той же угловой |
|||
|
скоростью ω вокруг оси О'. |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
|
f |
|
|
Движение тела можно представить как вращение с |
|||
|
угловой скоростью ω в системе отсчета, которая |
|
||
|
движется относительно неподвижной системы |
|
||
|
поступательно со скоростьюonvo. Следовательно, |
|
||
|
скорость этой точки при сложном движении тела |
|||
|
C |
|
|
|
|
может быть представлена в виде |
|
||
|
y |
|
|
|
|
Существуют такие точки (они могут лежать в |
|
||
|
пределах тела, или вне его), которые, участвуя в |
|
||
|
обоих движениях— поступательном и вращательном, |
|||
|
будут неподвижнымиpan |
. |
|
|
|
m |
|
|
|
|
Если имеется хотя бы один вектор r, который при |
|||
o |
|
|
|
|
C |
векторном перемножении с ω дает вектор, равный -vo, |
|||
то существует еще ряд векторов r, которые при |
|
|||
векторном перемножении с ω дают такой же |
|
|||
|
|
результат.
Точки, определяемые этими радиусами- векторами r,
будут в рассматриваемый момент времени |
t |
||
неподвижными. Эти точки лежат на одной прямойialи |
|||
образуют так называемую мгновенную ось |
|
||
вращения. Положение мгновенной оси вращенияn |
|||
относительно неподвижной системы отсчета и |
|||
|
|
i |
|
|
|
f |
|
относительно самого тела может меняться со |
|||
временем. В случае катящегося цилиндраdeмгновенная |
|||
|
|
on |
|
ось О' совпадает с линией касания цилиндра с |
|||
плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось |
|||
перемещается как по плоскости (т. е. относительно |
|||
неподвижной системы отсчета), так и по поверхности |
|||
цилиндра. |
y |
|
|
C |
|
||
|
pan |
|
|
Плоское движение твердого тела можно |
|
||
рассматривать как ряд последовательных |
|
||
элементарных вращений вокруг мгновенных осей. |
|||
m |
|
|
|
o |
|
|
|
§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого |
|||
тела |
|
|
|
Разбив тело на элементарные массы, можно |
|
||
Cпредставить его как систему материальных точек, |
взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс
может находиться под воздействием как внутренних
сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными' массами рассматриваемого тела, так и внешних сил.
|
|
|
al |
Напишем для каждой элементарной массы уравнение |
|||
второго закона Ньютона |
|
i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
где fi — результирующая всех внутренних силt, a Fi - |
|||
|
|
de |
|
результирующая всех внешних сил, приложенных к |
|||
данной элементарной массе. Складывая уравнения |
|||
|
i |
|
|
|
f |
|
|
для всех элементарных масс, получим: |
|
||
|
on |
|
|
Учли, что сумма всех внутренних сил, действующих в |
системе, равна нулю. Сумму, стоящую в левой части |
|
|
C |
уравнения, можно заменить произведением массы |
|
тела на ускорение его центра инерции |
|
|
y |
Тогда |
pan |
|
Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массеmтела, под действием всех приложенных к телу сил.
CoВ случае поступательного, но не вращательно,
движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, но и любой другой точки тела.
§ 33. Вращение тела вокруг неподвижной оси |
|
||||||||||||
Силы взаимодействия между частицами действуют в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al |
противоположные стороны вдоль одной прямойt. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
Их моменты относительно произвольной точки равны |
|||||||||||||
и противоположны. Поэтому сумма моментов |
|
||||||||||||
внутренних сил равна нулю и учитывая выражения |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
on |
|
|
dp |
N |
|
|
L = åLi =å ri ×pi |
|
M |
= r ×F |
|
и |
= åFi |
|||||||
|
|
dt |
|||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
и Ci |
i i |
|
i=1 |
|
|||
сумма моментов внешних сил равна |
|
|
|
|
|||||||||
|
d |
L = åMвнешн |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент импульса замкнутой (в отсутствии внешних |
|||||||||||||
сил) системы частиц остается постоянным. Это закон |
|||||||||||||
|
|
|
|
pan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сохранения момента импульса. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
oАбсолютно твердое тело можно рассматривать как |
|||||||||||||
систему частиц с неизменным расстоянием между |
|||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ними. Для нее справедливо уравнение |
|
|
|
||||||||||
|
d |
L = åMвнешн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это основной закон вращательного движения.
|
Рассмотрим систему материальных точек, каждая из |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al |
|
которых может перемещаться, оставаясь в одной из |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
плоскостей, проходящих через общую ось Z. Все |
||||||||||
|
плоскости могут вращаться вокруг этой оси с |
|
|||||||||
|
одинаковой угловой скоростью ω . |
|
n |
|
|||||||
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
on |
|
|
|
||
|
Тангенциальная составляющая скорости i-й точки |
||||||||||
|
может быть представленаCв виде: |
|
|
|
|||||||
|
L |
|
= |
pan(R × (ω× R )) = m R2 |
|
ω |
|
|
|
||
|
vτi = ω× Ri |
y |
|
|
|
|
|
|
|||
|
где Ri — перпендикулярная к оси Z coставляющая |
||||||||||
|
радиуса-вектора ri (ее модуль Ri дает расстояние |
||||||||||
|
точки от оси Z). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
o |
|
i i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
||
|
|
zi |
|
|
|
|
|
||||
C |
(векторы Ri- |
ω и взаимно перпендикулярны). |
|
Просуммировав это выражение по всем точкам найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее выражение:
где - момент
инерции системы материальных точек относительно
|
оси Z. Тогда |
|
|
al |
|
|
Подставив это выражение в основной закон динамики |
||||
|
|
d |
|
t |
|
|
вращательного движения dt |
L = åMвнешн |
i |
||
|
i |
||||
|
придем к уравнению: |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
которое является основным уравнением динамики |
||||
|
вращательного движения. По формеdeоно сходно с |
||||
|
|
on |
|
|
|
|
уравнением второго закона Ньютона. |
|
|
||
|
Абсолютно твердое тело это система материальных |
||||
|
точек с неизменными расстояниями между ними. Для |
||||
|
него момент инерцииCIz относительно фиксированной |
||||
|
оси Z есть величина постоянная. |
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
Следовательно, полученное уравнение переходит для |
||||
|
абсолютно твердого тела в уравнение: |
|
, |
||
|
где угловоеpanускорение тела β = ω& . |
|
|
||
|
Видноm, что при вращательном движении роль силы |
||||
o |
|
|
|
||
C |
играет момент силы, роль массы — момент инерции и |
||||
т. д. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
al |
i |
|
t |
|
n |
|
Момент инерции тела может изменяться вследствие |
изменения взаимного расположения отдельных частей |
||
|
de |
|
тела и при нулевом моменте сил М = 0 изменение |
||
i |
|
|
момента инерции влечет за coбой соответствующее |
||
изменение угловой скорости. Этим объясняется |
||
on |
|
|
демонстрируемое явление, заключающеесяf |
в том, что |
человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки
в стороны, начинает вращатьсяC медленнее, а
прижимая руки к туловищу, начинает вращаться быстрее. y
§ 34. Моментpanинерции
Из определения следует, что момент инерции есть
величина аддитивная. Это означает, что момент |
|
инерции тела равен сумме моментов инерции его |
|
o |
|
частей. Распределение массы в пределах тела можно |
|
охарактеризоватьm |
с помощью |
Cгде m — масса тела, а V — его объем. |
В результате mi = ρi Vi момент инерции можно
представить в виде
I = åρi Ri2 Vi = ρå Ri2 Vi = ò ρR 2dV |
|
|
||
Интеграл берется по всему объему тела. |
|
al |
||
Подинтегральные величины являются функциями |
||||
точки. |
|
|
i |
|
|
|
|
t |
|
|
|
n |
|
|
|
|
de |
|
|
Вычисления дают, например, момент инерции |
|
|||
|
f |
|
|
|
однородного диска относительноiоси, |
|
|
||
|
on |
|
|
|
перпендикулярной к плоскости диска и проходящей |
||||
через его центр. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Нахождение момента инерции в примере значительно |
||||
m |
|
|
|
|
упрощалось вследствие того, что тело было |
|
|
||
однороднымpanи симметричным, в момент инерции мы |
||||
o |
|
|
|
|
искали относительно оси симметрии О-О). Если бы |
||||
C |
|
|
|
|
мы захотели найти момент инерции диска |
|
|
относительно, например, оси О'О', перпендикулярной к диску и проходящей через его край, вычисления, оказались бы гораздо более сложными.