- •И.И. Мамаев, з.Г. Донец
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •§1. Матрицы и их виды
- •§2. Определители 2, 3 и n-го порядка
- •§3. Действия над матрицами
- •2 Способ (с помощью элементарных преобразований):
- •§5. Ранг матрицы.
- •§6.Формулы Крамера
- •§7. Метод Гаусса
- •§8. Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •§10.1 Линейная зависимость векторов
- •§10.2 Базис и размерность линейного векторного пространства
- •§11.1 Скалярное произведение двух векторов в r2 и r3
- •§11.2 Скалярное произведение двух n-мерных векторов. Евклидово пространство
- •§12. Линейные операторы
- •Алгебра линейных операторов
- •§13. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора
- •Часть 2. Элементы аналитической геометрии
- •§1. Понятие уравнения линии. Составление уравнения линии
- •§2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§8Расстояние от точки до прямой
- •§14Гипербола
- •§15Парабола
- •§16Приведение квадратичных форм к каноническому виду
- •§17Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду
- •§18.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •§19Общее уравнение плоскости
- •§20 Взаимное расположение двух плоскостей
- •§21 Нахождение координат любой точки, принадлежащей данной плоскости.
- •22Прямая в пространстве
- •§23Угол между прямыми в пространстве
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Литература
- •Учебное издание
- •355011,Г.Ставрополь,ул 45-я параллель,36.
- •355011,Г. Ставрополь,ул. 45-я Параллель,36
И.И. Мамаев, з.Г. Донец
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
УЧЕБНИК
Для студентов заочного бакалавриата,
Обучающихся по направлению подготовки ,,Экономика”
Ставрополь
2013
УДК 512
ББК 22.14
Л 56
Рецензенты:
Симоновский А. Я., профессор, доктор физико-математических наук
Бондарь В.В., доцент, кандидат физико-математических наук
Линейная алгебра: учебник/ И.И. Мамаев,
Л 56 , З. Г. Донец.
Ставрополь:Сервисшкола,2013.
Книга представляет собой учебник по
курсу линейной алгебры. В нем отражен
теоретический материал по разделам:
Матрицы, определители, системы линейных уравнений, линейно векторные пространства, линейные операторы , аналитическая геометрия .
Учебник соответствует Федеральному государственному
Образовательному стандарту (третьего поколения).
Предназначен для студентов заочного бакалавриата,
Обучающихся по направлению подготовки ,,Экономика”
ISBN 978-5-93078-762-2
УДК 512
ББК 22.14
ISBN 978-5-93078-767-2
Авторы, 2013
Сервисшкола,2013
Глава 1. Матрицы и определители
§1. Матрицы и их виды
Матрица обозначается заглавными латинскими буквами (А, В, С,...).
Определение 1. Прямоугольная таблица вида ,
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.
- элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.
Виды матриц:
Величина называетсяразмерностью матрицы .
Если , матрица называетсяквадратной, ее размерность n.
Если все элементы матрицы нули, то матрица называется нулевой.
Матрица вида: , называетсядиагональной.
Матрица вида: , называетсяединичной.
Матрица вида: , называетсяматрица-строка.
Матрица вида: , называетсяматрица-столбец.
Следом trA квадратной матрицы А называется сумма её
элементов, стоящих на главной диагонали:
trA=a11+a22+a33+…+ann.
§2. Определители 2, 3 и n-го порядка
Пусть даны две квадратные матрицы:
Определение 1. Определителем второго порядка матрицы А1 называется число, обозначаемое ∆ и равное , где
Пример. Вычислить определитель 2-го порядка:
Определение 2. Определителем 3-го порядка квадратной матрицы А2 называется число вида:
Это один из способов вычисления определителя.
Пример. Вычислить
Определение 3. Если определитель состоит из n-строк и n-столбцов, то он называется определителем n-го порядка.
Свойства определителей:
Определитель не меняется при транспонировании (т.е. если в нем строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка следования).
Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца, то определитель изменит только знак.
Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или пропорциональны.
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример.
Определение 4. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания столбца и строки, называется минором соответствующего элемента. Мij элемента aij .
Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента аij , называется выражение