Практикум по высшей математике_часть 2
.pdfУравнение Бернулли |
|
Дифференциальное уравнение вида |
|
y′+ P(x) y = Q(x) yn , n ≠ 0, n ≠1 |
(7.23) |
называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли может быть сведено к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Для этого обе части уравнения (7.23) сначала
делят на yn . После этого вводят новую переменную z( y) = y1−n . В результате указанных преобразований уравнение (7.23) принимает следующий вид:
1 −z′n + P(x)z = Q(x) .
Заметим, что решение уравнения (7.23) можно искать в виде произведения двух функций y = uv , как и в случае решения линейных уравнений (метод
Бернулли) или методом вариации постоянной.
Примеры решения задач
Пример 7.12. Найти частное решение дифференциального уравнения y′− ytgx + y2 cos x = 0 , удовлетворяющее начальному условию y(0) = 13 .
Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Найдем сначала общее решение данного уравнения, для этого разде-
лим обе его части на y2 :
yy2′ − tgyx + cos x = 0 .
Теперь вводим новую переменную z = y1−2 = |
1 |
. Тогда |
y = 1z , y′ = − |
z′ |
и |
||||
y |
z2 |
||||||||
уравнение принимает вид |
|
|
|
||||||
− |
z′ |
z |
2 |
− ztgx + cos x = 0 |
|
|
|
||
z2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′+ ztgx = cos x . |
(7.24) |
158
Последнее уравнение есть линейное дифференциальное уравнение. Решаем его, используя метод замены. Пусть z = uv , z =u′v +uv′, тогда уравнение (7.24) перепишем в виде
′ |
′ |
|
|
′ |
′ |
= cos x . |
u v +uv +uvtgx |
= cos x или u v +u (v + vtgx) |
|||||
|
′ |
+ vtgx = 0 : |
|
|
|
|
Решаем уравнение v |
|
|
|
|||
dv |
= −vtgx , |
dv |
= −tgxdx , |
∫dv |
= −∫tgxdx , ln | v |= ln | cos x | . |
|
dx |
|
v |
|
v |
|
|
Отсюда v = cos x . Тогда для функции u(x) получаем |
|
|||||
u′cos x = cos x , |
du = dx , |
u = x +C . |
|
Следовательно, z = (x +C )cos x . Возвращаемся к исходной переменной:
yо. р. = |
1 |
= |
1 |
или y(x +C )= |
1 |
. |
|
z |
(x +C )cos x |
cos x |
|||||
|
|
|
|
Заметим, что y = 0 также является решением исходного уравнения. Используя начальное условие, находим значение константы С:
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
С = 3. |
|
3 |
= |
|
|
3 |
= |
|
|
(0 +C )cos0 |
C |
Следовательно, частное решение заданного дифференциального уравне-
ния, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 13 , имеет вид:
yч. р. = |
1 |
. |
(x +3)cos x |
Пример 7.13. Найти общее решение уравнения xy′+ y = xy2 ln x . Решение. Находим решение данного уравнения Бернулли в виде y = uv ,
не приводя его к линейному уравнению. Тогда |
|
|
|
|
|
||||||
′ |
′ |
|
= x(uv) |
2 |
ln x |
′ |
′ |
+ v)= x(uv) |
2 |
ln x . |
|
x(u v +uv )+uv |
|
или xu v +u (xv |
|
||||||||
Находим функцию v(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
|
xdv |
|
dv |
dx |
|
|
1 |
|
|
|
xv + v = 0 , |
dx |
= −v , |
v = − |
x , ln | v |= −ln | x |, |
v = x . |
|
|
159
Тогда для функции u(x) получаем уравнение u′ = u2v ln x , решая которое, находим
u |
′ |
= u |
2 ln x |
, |
du |
= u |
2 ln x |
, |
du |
= |
ln x |
dx , |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
dx |
|
|
x |
|
u2 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
du |
= |
ln x |
dx , |
− |
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
, |
− |
1 |
= |
ln2 x |
+C1 . |
||||||
∫u |
2 |
∫ x |
|
u |
∫ |
ln xd |
|
u |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Отсюда u = −ln2 x2+C , C = 2C1 . Следовательно, общее решение исходно-
го дифференциального уравнения:
y = −1 |
|
|
2 |
|
или xy(ln2 x +C )+ 2 = 0 |
||||
ln |
2 |
x +C |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7.14. Найти общее решение уравнения xy′+ y = 2x2 yy′ln y . |
|||||||||
Решение. Так как y′x |
1 |
, то, разделив данное уравнение на y′x , по- |
|||||||
= |
|
||||||||
′ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
+ x = 2x |
2 |
y ln y . |
||
лучаем линейное уравнение yx |
|
Решим последнее уравнение методом вариации постоянной. Для этого сначала находим решение соответствующего однородного уравнения:
′ |
|
dx |
|
dx |
|
dy |
|
|
C |
|
|
C |
yx |
+ x = 0 , |
y dy |
= −x , |
x |
= − |
y |
, |
ln | x |= ln |
y |
, |
x = |
y . |
Теперь, предполагая, что C = C( y) , подставляем найденное решение однородного уравнения в исходное уравнение.
|
С |
′ |
|
|
|
С |
2 |
|
|
|
′ |
−2 |
C |
+ С |
= 2С |
2 |
|
|||||
y |
+ x = 2 |
|
y ln y , |
|
|
y Сy |
ln y , |
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
|
||||
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
dC |
|
|
2 |
|
dC |
|
ln y |
|
|
|
||||
Сy = 2С |
|
ln y , |
|
dy y |
= 2С |
|
ln y , |
|
С2 |
= 2 |
|
|
dy , |
|||||||||
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||
dC |
|
|
|
ln y |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
∫С2 |
= 2∫ |
y |
dy, − |
|
= ln |
|
|
y +C0 , C( y) = − |
|
. |
||||||||||||
C |
|
|
ln2 y +C |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Так как x = C( y) |
, то общее решение исходного уравнения имеет вид |
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy = − |
|
|
1 |
|
|
|
или |
xy (ln2 y +C0 )+1 = 0 . |
|
|
|
|||||||||||
ln |
2 |
y +C |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160
Задания для самостоятельного решения
7.1. Проверить, удовлетворяют ли дифференциальным уравнениям дан-
ные функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
|
x + y′ = 3x , |
|
y = x2 ; |
|
2) |
y′+ y cos x +sin 2x = 0 , y = cos x ; |
||||||||||
|
|
y′′ |
+ x |
2 |
|
2 y |
|
4 |
|
|
′′ |
|
′ |
−2 x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x ; |
|
y |
+ 4 y |
+5y = e sin x . |
||||
3) |
12 |
|
= x |
2 |
, |
4) |
|||||||||||
|
|
|
7.2. Найти общие интегралы или общие решения дифференциальных
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
xyy′ =1 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
xy′− y = 0 ; |
||||||||||
3) |
xy′− y = y3 ; |
|
|
|
|
|
|
4) |
|
ln | cos x | y′− ytgx = 0 ; |
||||||||||
5) |
(xy2 + x)dx + ( y − x2 y)dy = 0 ; |
6) |
y − xy′ = a(1 + x2 y′); |
|||||||||||||||||
7) |
ex2 dy +3x2 1 − y2 dx = 0 ; |
8) |
y2 y′ =1 − 2x ; |
|||||||||||||||||
9) |
tgxsin |
2 |
ydx + cos |
2 |
xctg ydy = 0 ; |
10) |
|
′ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y tgx − y = a ; |
||||||||||||||||
11) |
|
x3 y′ = 2 y ; |
|
|
|
|
|
|
12) |
|
y2dx −(2xy + 3)dy = 0 ; |
|||||||||
|
|
y |
′ |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
13) |
|
+sin |
2 |
=sin |
2 |
; |
14) |
|
y′ = ln y ; |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
15) |
(1 + x) ydx + (1 − y)xdy = 0 ; |
16) |
|
y′ = ytgx + cos x ; |
||||||||||||||||
17) |
1 + y2 |
|
=1 + x |
2 |
; |
|
|
|
|
18) |
(1 + 2x |
2 |
) ydx + (1 + y)xdy = 0 ; |
|||||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y2 sin y − xy)dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19) |
(1 + y2 )dx = ( |
|
20) |
|
y′ = 52 x+y . |
7.3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:
1) |
y′sin x = y ln y, y0 = e, x0 |
= π |
; |
||||
2) (1 + e2 x ) y2dy −exdx = 0, y |
|
2 |
|
||||
0 |
= 0, x = 0 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3) |
y′− |
1 + y2 |
= 0, y0 =1, x0 = 0 ; |
|
|||
1 |
+ x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4) 2 y′ x = y, y0 =1, x0 = 4 ; 5) e−y (1 + y′)=1, y0 =1, x0 =1;
6) |
y−3 ln ln xdx + xey2 dy = 0, |
y |
0 |
= 0, |
|
x = e ; |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
7) |
y′sin y cos x =sin xcos y, |
y0 |
= |
π |
, |
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
161
7.4.Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений:
|
y′− |
x − y |
|
1) |
|
= 0 ; |
|
x − 2 y |
|||
2) |
xy′− y = x2 + y2 ; |
||
3) |
y2 + x2 y = xyy′, y0 =1, x0 =1; |
4)y′− x22+xyy2 = 0 ;
5)xy′+ y ln y −1 = 0 ;
x
6) |
(xy′− y)arctg |
|
y |
|
= x, |
y0 =1, x0 =1; |
||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
xy′ = y + xsin |
|
y |
, |
y0 |
= |
π |
, x0 =1; |
||||
|
x |
2 |
||||||||||
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
||||
|
xy′cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
|
= y cos |
|
− x ; |
|
|
||||||
x |
x |
|
|
9) |
xdy − ydx = x2 + y |
2 dx y = 0, |
x =1; |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
′ |
|
y |
|
|
|
10) |
xy |
− y cosln x |
= 0 . |
|
|
||
|
|
|
7.5. Найти общие решения дифференциальных уравнений, удовлетво-
ряющие условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
y′+ y = cos x ; |
2) |
y′− y = sin x ; |
||||||||||
3) |
xy′+ y −ex = 0 ; |
4) |
(1 + x2 ) y′− 2xy = (1 + x2 )2 ; |
||||||||||
|
|
′ |
|
−x2 |
|
|
′ |
|
|
1 |
|
||
|
y |
+ 2xy = xe ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
6) |
y |
+ 2 y ctgx = sin x ; |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
y′ |
2 y |
e−x2 |
|
xy′+ y − xy |
2 |
ln x = 0 ; |
||||||
7) |
+ x − |
x = 0 ; |
8) |
|
|||||||||
9) |
y′cos x + y sin x =1; |
10) (1 + x2 ) y′+ y = arctgx . |
7.6. Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие условиям: |
|
|||||||||
1) |
y′− ytgx + y2 cos x = 0, |
y0 =1, x0 = 0 ; |
||||||||
2) |
y′+ |
y |
|
|
+ y2 |
= 0, y0 = |
1 , x0 = 0 ; |
|||
x +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
3) |
y′+ y2 = 2x−4 ; |
|
||||||||
4) xy′− 4 y − x2 |
y = 0, y0 =1, x0 =1; |
|||||||||
|
y′+ |
2 y |
|
|
2 |
y |
|
|||
5) |
x |
− |
|
= 0 . |
|
|||||
cos2 x |
|
162
7.7. Найти общие или частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям:
1)(x2 +1)y′+ 2xy2 = 0 , y(0) = −1;
2)y′ = 6x 3 y2 , y(1) =8 ;
3)(x +1)3 dy − 2(y − 2)2 dx = 0 , y(0) =3 ;
|
π |
|
|
2 |
|
||
4) y dx −ctg x dy = 0 , |
y |
|
|
= |
|
; |
|
4 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
5)xy′− y = 0, y(−2) = 4 ;
6)xy′+ y = 0, y(−2) = 4 ;
7)yy′+ x = 0, y(−2) = 4 ;
8)y′ = y, y(−2) = 4 ;
9)(x2 +1)y′+ 4xy = 3 , y(0) =1;
10)x y′+ y = 3x2 , y(2)= 3 ;
11)xy′+ y = (x +1)ex , y(1)= e ;
12)y′+ 2xy = sin x e−x2 , y(0) = 2 ;
13)y′+ 2 y cos x = sin 2x e−2sin x , y(0) = 12 ;
14)y′− yctgx = 2xsin x, y(0) = 3 ;
15)xy′+ y = 1 +1x2 , y(1) = 0 ;
16)cos xy′− y = 3x2esin x , y(0) = 5 ;
17)(1 + x2 ) y′+ 2xy = e2 x , y(0) = −2 ;
18)(y + x2 + y2 )dx − xdy = 0 , y 1 = 0 ;
2
19) |
y |
′ |
1 − y2 |
= 0 ; |
||
+ 1 |
− x2 |
|||||
|
20)xy′cos xy = y cos xy − x, y(1) = 0 ;
21)y 2 y′ =1 − 2x ;
22)xy′ = y(ln y −ln x), y(1)= e2 ;
23)y′+ 2xy = xe−x2 ;
24)(1 − x)t2 xt′ + x2 = −tx2 ;
25) 2(y′+ xy)=(1 + x)e−x y2 , y(0)= 2 .
163
ТЕМА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В общем случае дифференциальные уравнения второго порядка имеют
вид
F(x, y, y′, y′′) = 0 .
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, соответственно имеет вид
y |
′′ |
′ |
(7.25) |
|
= f (x, y, y ) . |
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянное C1 и C2 :
y =ϕ(x,C1,C2 ) .
При заданных начальных условиях |
|
y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ |
(7.26) |
постоянные C1 и C2 можно выбрать так, что функция y =ϕ(x,C1,C2 ) будет удовлетворять начальным условиям.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
1) Уравнение вида |
|
y′′ = f (x) , |
(7.27) |
где f (x) – заданная непрерывная функция, решается последовательным интег-
рированием правой части.
2) Пусть дифференциальное уравнение (7.25) не содержит в явной форме искомой функции y , т.е. имеет вид
F(x, y′, y′′) = 0 .
Тогда, используя замену y′ = z y′′ = z′, получаем дифференциальное уравнение первого порядка
164
′ |
(7.27) |
F(x, z, z ) = 0 . |
Если найдено общее решение z = z(x,C) дифференциального уравнения(7.27),
томожетбытьнайденоиобщеерешениедифференциальногоуравнения(7.25):
y′ = z(x,C) y = ∫z(x,C)dx +C1 .
3)Уравнение вида
x= f ( y′′)
решается с помощью подстановки y′′ = z .
|
4) Уравнение |
|
|
|
||
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
F( y, y , y ) = 0 , |
|||
не содержащее в |
явной |
форме переменной x , подстановкой y′ = p , |
||||
y′′ = |
dp |
dp |
|
|
|
|
dx |
= p dy |
приводится к виду |
||||
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
F y, p, p dp |
|
||
|
|
|
|
dy |
|
|
Примеры решения задач
Пример 7.15. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ = x +sin x .
Решение. Последовательно интегрируем обе части уравнения:
∫y′′dx = ∫(x +sin x)dx y′ = x2 −cos x +C1
2
|
∫ |
′ |
∫ |
x2 |
|
|
|
y dx = |
|
|
|
||
2 |
||||||
|
|
|
|
−cos x +C1 dx. |
Из последнего равенства находим общее решение исходного дифференциального уравнения
165
y = x3 −sin x +C1x +C2 , 6
где C1, C2 – произвольные постоянные.
Пример 7.16. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′+ yx′ − x12 = 0 .
Решение. Заданное уравнение не содержит в явном виде переменной y , решение находим, используя подстановку y′ = z . Тогда y′′ = z′ и уравнение принимает вид:
z′+ xz − x12 = 0 .
Получено линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его используя замену z = uv :
′ |
′ |
+ |
1 |
uv = |
1 |
′ |
|
′ |
+ |
v |
= |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
|||||||||
u v +uv |
x |
x |
u v +u v |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Отсюда
′ |
|
v |
|
′ |
1 |
|
|
+ x |
= 0 |
|
|
(7.28) |
|||
v |
и u v = x2 . |
Решаем первое уравнение из (7.28):
dv |
= − |
v |
dv |
= − dx |
ln | v |= ln |
1 |
v = |
1 . |
|
dx |
x |
x |
|||||||
|
v |
x |
|
|
x |
Решаем второе уравнение из (7.28), полагая v = 1x :
u′ |
= |
1 |
|
du |
= 1 du = dx |
u = ln | x | +C . |
||||||||||||||
x |
x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z = |
ln | x | |
C |
|
y |
′ |
|
ln | x | |
C |
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
+ x |
или |
|
|
= |
|
|
+ x . Дифференцируя обе |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
части последнего равенства, находим общее решение исходного уравнения: |
||||||||||||||||||||
∫ |
|
′ |
|
|
∫ |
ln | x | |
|
C |
|
|
|
|
ln2 | x | |
|
|
|||||
y dx = |
|
|
|
|
+ |
dx y = |
|
|
|
+C ln | x | +C1 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
166
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение называется линейным, если искомая переменная и ее производная входят в уравнение в первой степени, т.е.
y′′+ p(x) y′+ q(x) y = f (x) . |
(7.29) |
Если p(x) ≡ p и q(x) ≡ q – постоянные, то уравнение называется линей-
ным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Функция f (x) называется правой частью уравнения (7.29). Если f (x) ≠ 0 , то уравнение (7.29) называется линейным неоднородным уравнением
или уравнением с правой частью. Если f (x) ≡ 0 , то уравнение (7.29) называется
линейным однородным уравнением или уравнением без правой части.
Если y1 (x) и y2 (x) – два частных решение линейного однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка |
|
y′′+ py′+ qy = 0 , |
(7.30) |
то y1(x) + y2 (x) – также является решением этого уравнения.
Если y1 (x) – решение уравнения (7.30) и C – произвольная постоянная, то Cy1(x) также есть решение уравнения (7.30).
Если y1 (x) и y2 (x) – два линейно независимых решения дифференциального уравнения (7.30), то
yo.o. = C1 y1(x) +C2 y2 (x) , |
(7.31) |
где C1 и C2 – произвольные постоянные, есть общее решение |
yo.o. уравнения |
(7.30). |
|
Таким образом, для того, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (7.30), достаточно найти два частных линейно независимых решения этого уравнения.
Частные решения ищут в виде y = ekx , где k – искомая постоянная. Для
определения постоянной k для однородного уравнения (7.30) составляют ха-
рактеристическое уравнение
k2 + pk + q = 0 . |
(7.32) |
Рассмотрим зависимость между решением характеристического уравнения и общим решением дифференциального уравнения (7.30).
1) Корни k1, k2 характеристического уравнения (7.32) действительны и
различны (дискриминант D квадратного уравнения (7.32) больше нуля, k1 ≠ k2 ). Тогда общее решение дифференциального уравнения (7.30) имеет вид:
167