Практикум по высшей математике_часть 2
.pdf46) −e2 x |
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(2cos5x +5sin 5x) |
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(3cos3x − 2sin 3x) |
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e3x |
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[3cos 4x + 4sin 4x]+C ; 48) (x +1)arctg |
x − |
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x +C ; |
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ln x + x +C ; 50) −cos xln |
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6.5. 1) 2ln |
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x + 2 |
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− 2x +C ; 2) |
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x +1 |
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3x −1 |
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)+C ; 10) |
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ln |
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x +1 |
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1 ln |
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x(x − 2)2 |
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1 ln |
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16) 2ln |
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+C ; |
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x +1 |
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18) − |
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(ln |
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x +3 |
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−5ln |
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x −1 |
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)−ln |
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x |
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+C ; 19) |
11 |
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x − 4 |
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+ |
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x |
−1 |
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− |
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x |
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+C ; |
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4 |
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12 ln |
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3 ln |
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4 ln |
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20) |
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7 |
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ln |
x2 |
−9 |
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+ |
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1 |
ln |
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x −3 |
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+C ; 21) |
3 |
ln |
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x − 2 |
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+ 2x +C ; |
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x2 |
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(x + 2)5 |
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x |
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x −1 |
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3 |
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x |
+ |
3 |
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2 |
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x |
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24) − |
1 |
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(ln |
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x +3 |
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19 |
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x −1 |
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)+ x + C ; 25) |
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1 ln |
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x2 (x − 2) |
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+C ; |
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3 |
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4 |
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8 |
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(x + 2) |
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x2 |
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x −5 |
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x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26) |
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1 |
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|
ln |
|
|
|
− 25 |
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|
+ |
|
|
1 |
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ln |
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+C ; 27) |
21 |
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|
ln |
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x +3 |
|
+ |
4 |
ln |
|
x − 2 |
|
+ |
|
− x +C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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50 |
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x2 |
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10 |
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x |
+5 |
|
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5 |
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2 |
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218
28) |
4ln |
|
x +1 |
|
− |
7 ln |
|
2x +1 |
|
+C ; 29) |
1 |
ln |
|
x −3 |
|
− |
4 |
ln |
|
x + 2 |
|
+ |
1 ln |
|
x −1 |
|
+C ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
|
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10 |
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15 |
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6 |
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||
|
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|
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|
|
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|
|
30) ln |
|
(x − 4)5 (x −1)4 |
|
|
+C ; 31) 26ln |
|
x −3 |
|
− |
|
7ln |
|
x − |
2 |
|
+ |
|
x2 |
|
+5x +C ; |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
(x +3)7 |
|
|
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2 |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x4 |
|
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x3 |
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5x2 |
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28 |
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1 |
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|
|
|
|
|
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x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32) 7ln |
|
x +1 |
|
|
−2ln |
|
|
x |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
−5x +C ; 33) |
|
|
ln |
|
x − |
3 |
|
|
− |
ln |
|
x |
|
+ |
|
|
|
+3x +C ; |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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4 |
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|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1523 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
11 |
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|
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|
|
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5 |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x3 |
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
34) |
ln |
|
x −5 |
|
|
ln |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 26x +C ; |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
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|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
35) |
1 ln |
|
|
(x +1)5 (x − 2)6 |
|
|
+ 8 ln |
|
x2 − 4 |
|
|
+ ln |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+C ; 36) 1 ln |
|
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 |
+C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x4 |
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(x −1)(x + 2)6 |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
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|
|
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|
|
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|
|
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|
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2 |
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|
x2 |
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|
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|
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|
5 |
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x |
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4 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x −1 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||
6.6. 1) |
|
−ln |
|
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|
− |
|
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+C |
; 2) 3ln |
|
x −1 |
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|
− |
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+ |
|
+ 2x +C ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x3 |
|
|
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|
x −1 |
|
x |
|
−1 |
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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(x −1)2 |
|
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3 |
|
|
+C ; 4) ln |
|
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1 |
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5x +3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) −ln |
|
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x3 |
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− x |
|
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x −1 |
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+ x +C ; 5) |
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|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
(x +1)(3 − x) |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
15 ln |
|
|
x −1 |
|
|
+ 2ln |
|
x2 −1 |
|
|
|
|
9x −8 |
|
|
|
|
|
+ |
x2 |
|
|
|
+ 2x +C ; 7) ln |
|
x −3 |
|
− |
|
|
4x −9 |
|
|
+C ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
|
|
|
|
4(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) ln |
|
(x − |
1)2 |
|
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|
+ x + |
1 |
+C ; 9) 6ln |
|
x −1 |
|
− |
|
|
|
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|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
+ x +C ; 10) ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
+C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
−1 |
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
6.7. 1) |
|
1 |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
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−1 |
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+C ; |
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 arctgx |
4 ln (x |
|
|
+1)+ |
|
2 ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
− |
1 (arctgx + ln |
|
|
|
x2 +1 + ln |
|
|
x +1 |
|
)+ ln |
|
x |
|
|
+C ; |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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|||
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|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
x |
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
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x |
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3) |
1 |
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5arctg |
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−3 |
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2arctg |
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+C |
; 4) −arctgx + |
1 |
ln |
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+ x +C ; |
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4 |
2 |
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2 |
x |
+ |
1 |
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(x |
2 |
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− 2x |
+5)+C ; 6) |
5 |
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(x |
2 |
+ x +1)+ ln |
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x +1 |
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1 |
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+C ; |
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5) |
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2 ln |
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arctg |
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− |
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2 ln |
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+ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
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x +1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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x −1 |
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7) |
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2 ln |
(x |
|
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+ 2x |
+3)+C ; 8) − 2 arctgx − 4 ln |
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+C ; |
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x +1 |
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|
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2 |
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2x +1 |
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x2 |
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+ x +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
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|
arctg |
|
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+ arctgx + ln |
|
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+C ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
|
3 |
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x |
2 |
+1 |
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10) |
1 |
|
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|
|
1 |
|
|
arctg |
2x |
|
−1 |
+ |
1 |
ln (x |
2 |
|
− x + |
1)−ln (x − 2)− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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3 |
|
|
|
3 |
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3 |
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2 |
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x − 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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6.8. 1) |
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1 |
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(sin 7x + |
|
7sin x)+C ; 2) 1 cos3x − |
|
1 |
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cos11x +C ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
14 |
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22 |
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6 |
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219
3) |
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1 |
sin 6x − |
|
1 |
sin10x +C ; 4) |
|
|
1 |
sin 6x + |
1 sin 4x +C ; 5) |
− |
|
|
1 |
cos7x + |
1 cos x +C ; |
|||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
12 |
14 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
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|
8 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
6) |
|
1 sin 4x − |
1 |
|
sin10x +C ; 7) − |
|
1 |
|
cos5x − 1 cos x +C ; 8) |
|
1 |
sin 9x + |
1 sin 3x +C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
20 |
10 |
18 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
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|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||
9) |
|
sin (m − n)x |
− |
sin (m + n)x |
+C ; 10) |
sin (m − n)x |
+ |
sin (m + n)x |
+C ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
(m − n) |
2(m + n) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
sin 2x |
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
11) −cos |
|
x |
|
|
sin |
|
x + |
|
sin x |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+C ; 12) |
−cos |
|
x |
|
sin |
|
x |
+ |
|
|
|
+C ; |
||||||||||
|
6 |
|
8 |
|
|
32 |
16 |
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
12 |
|
13)sin5 x −cos4 x + cos2 x + 2 +C ;
14)− 1 sin 5x − 1 sin 3x + 1 sin x cos x +1 +C ; 20 4 4 4 3 4 2
|
|
3x |
|
|
sin8x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
2 |
|
|
|
sin4 x |
|
|||||||
15) |
|
|
− |
1024 (2sin |
|
|
|
4x |
+3)+C ; 16) − |
15 |
|
(3sin |
|
x + 2)+C ; 17) |
4 |
+C ; |
||||||||||||||||||
128 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
18) |
− |
cos4 |
x |
+C ; 19) |
|
|
x |
− |
sin 6x |
+C ; 20) sin 2x + 4sin x +3x +C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
21) |
− |
sin 4x + cos 2x |
+ |
+C ; 22) |
|
|
|
|
|
|
2 |
x + |
|
+C ; |
|
|||||||||||||||||||
8 |
2 |
|
8 |
sin 2xcos |
|
2 |
sin 2x +3x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23) |
|
sin 2x |
|
|
sin x |
3x |
|
+C ; 24) − |
cos x |
(3sin |
4 |
x |
+ 4sin |
2 |
x +8)+C ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
16 |
− |
2 |
+ 8 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25) |
− |
cos x |
(sin2 x + 2)+C ; 26) |
sin x |
(cos2 x + 2)+C ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
27)sin35x 5cos6 x + 6cos4 x +8cos2 x +16 +C ;
28)43 sin 2xcos x +3sin 2x + 343 sin x + 7x +C ;
|
5x |
|
|
5 |
x |
|
5sin |
3 |
x + |
5sin x |
|
|
|
1 |
|
29) |
−cos x sin |
|
+ |
|
|
+C ; 30) |
−sin x − |
+C ; |
|||||||
16 |
|
|
24 |
16 |
sin x |
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
31) |
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
1 |
|
+C ; 32) |
|
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
+C ; 33) 1 ln |
|
cos3x |
|
+ |
1 tg2 |
3x +C ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3cos3 |
x |
|
cos x |
sin x |
3sin3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
34) |
− |
1 ctg3 2x + 1 ctg2x + x +C ; 35) − |
1 ln |
|
sin 2x |
|
− 1 ctg2 |
2x +C ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg ( |
2tgx)+C ; |
|
|
|
||||||||||||||
36) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C ; 37) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x + 2 |
2 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3tgx |
|
1 |
(x + ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
)+C ; 40) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
38) |
|
|
|
|
|
arctg |
5 |
|
|
; 39) |
2 |
sin x + cos x |
5 |
sin x cos |
|
x + 4 |
+C ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4sin2 x − 2 |
|
||||||||
41) |
|
|
|
16sin x − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+C ; 42) |
|
|
|
|
|
+C ; |
||||||||
|
|
|
sin x |
|
sin |
3 |
x |
sin |
5 |
x |
|
|
sin 2x |
|||||||||||||||||||||
|
|
5cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
|
1 |
|
|
+C ; |
|
||||||
43) |
|
|
tgx 8 |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+C ; 44) − |
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
15 |
cos |
2 |
x |
|
cos |
4 |
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
45) |
ctg |
x |
+ |
π |
+ x +C ; 46) x + 2ctg |
x |
−ctg |
2 x |
− |
2 |
ctg |
3 |
|
x |
|
− 2ln |
|
sin |
|
x |
|
+C ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3ln |
|
tg |
x |
|
− |
3 |
ctg |
2 |
|
x |
+C ; 48) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
+C ; 49) |
|
|
|
|
|
|
cos x |
+C ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
cos x |
+sin x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
50) |
|
arctg |
|
|
|
tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
+C |
; 51) |
|
|
|
arctg |
2tg |
|
|
|
|
|
|
|
+C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
52) |
− |
2 |
ctgx + |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.9. 1) |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
10 |
|
− |
5 |
|
+ |
|
|
10 |
|
|
|
− |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+C ; 2) |
3 x2 3 + 6arctg 6 x +C ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 +10 x )10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 x |
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
310 x3 |
|
|
|
2 5 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 2 |
t +4(4 t +ln (1+ 4 |
t ))+C ; 5) |
|
6 |
|
6 |
|
x |
|
+2ln |
|
1+ 6 |
x |
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
+C ; |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
6 |
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1+ |
|
|
x |
|
|
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|||||||
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|
||||||||||
6) 4 4 |
x + 6 6 |
x + 2412 x + 24ln |
12 x −1 |
+C ; 7) 4ln |
4 x +1 |
+C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) 2 ln |
|
1 − x |
|
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+ 2arctg |
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1 + x +C ; 13) |
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3 |
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4 |
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x + 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.12. 26) − |
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2 − x |
|
+C ; 36) |
|
e2 x |
|
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1 |
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+C ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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5 |
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sin 4x + |
2 |
|
cos 4x |
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|||||||||||||
40) |
− |
arctgx |
+ |
|
1 |
ln |
|
x2 +1 |
|
− |
|
1 |
|
|
+C ; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x3 |
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|
6 |
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|
x2 |
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6x2 |
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||||||||||||||||
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1+ex |
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|||||||||||
44) |
2x |
|
|
1+ex |
−4 |
1+ex −2ln |
|
|
−1 |
+C ; 46) arcsin 2 x +C . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ex |
+1 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.13. 1) |
|
|
1 |
|
; 2) |
π |
|
; 3) |
|
|
|
1 |
|
|
; 4) 25; 5) 1; 6) ln |
|
3 |
; 7) e −1; 8) |
7 |
; 9) 1; 10) ln 2 ; 11) π |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
6 |
|
|
ln 2 |
|
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
12) |
1 |
+e ; 13) –7,5; 14) |
|
π |
; 15) 17,5 −6ln 6 ; 16) |
4 |
; 17) |
|
32 |
|
; 18) |
|
19 ; 19) ln 2 ; 20) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
; 21) |
|
1 ln |
3 |
; 22) 3 −ln 2 ; 23) |
|
1 ln 2 ; 24) 1− |
|
|
2 |
; 25) |
|
|
3 −2 |
; 26) –5; 27) |
158 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
28) |
ln 7 ; 29) arctg |
|
2 −1; 30) arcsin |
1 |
; 31) |
2 − |
|
2 ; 32) 0. 6.14. 1) |
1 |
; 2) |
3 ; 3) 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
221
4) 1; 5) e − e ; 6) |
1 |
|
; 7) 2; 8) |
1 |
|
; 9) |
π |
; 10) e −1 |
; 11) 2 − |
|
2 ; 12) |
π |
; 13) 3ln |
π |
; |
|||||||||||||||||||||||
4 3 |
3 |
|
2 |
|
8 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
14) |
1 |
(e −1); 15) |
1 |
ln |
4 |
; 16) |
|
|
1 |
|
; 17) |
π |
; 18) |
16 |
; 19) 2; 20) |
1 |
. 6.16. |
|
6( 3 − 2 ) |
. |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
3 |
|
4ln 2 |
6 |
3 |
3 |
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(ln (e |
2 |
+1)+ln 2). 6.25. 1) |
22 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
6.17. |
|
. 6.18. |
9 . 6.19. 1− |
2 |
|
3 |
; 2) |
3 |
|
; 3) 8ln 2 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
e −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 1; 5) 12; 6) 22 |
; 7) |
|
32 |
6 |
; 8) |
16 |
; 9) 63; 14) |
4 . |
8.1. 1) Нет; |
2) Да; 3) Да; 5) Да; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) Да; 7) Нет, т.к. lim |
|
|
|
n |
n |
= e |
−1 |
; 8) Да, т.к. |
lim |
|
|
1 |
|
= 0 |
; 9) Нет; 10) Да. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. 1) Расходится; 2) Расходится; 3) Сходится по радикальному признаку Ко-
|
|
|
|
∞ xdx |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
∞ xdx |
|||||||
ши; 4) Сходится, т.к. ∫1 |
|
|
|
= |
8 |
; 5) Расходится, т.к. ∫1 |
|
=∞; 6) Сходится, |
||||||||||||
(1 + x)3 |
1 + x2 |
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.к. ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
; 7) Сходится по радикальному признаку Коши; |
||||||||||||||||
(x +1)ln2 (x +1) |
ln 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
ln 3 |
|
|
|
|||||||
8) Сходится; 9) Сходится, т.к. ∫1 |
|
; 10) Сходится; 11) Расходится; |
||||||||||||||||||
|
|
= |
4 |
|||||||||||||||||
4x2 −1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
π |
|
|
|
|||
12) Сходится; 14) Сходится, т.к. ∫1 |
|
|
= 4 |
. 8.3. 1) Сходится (сравнить с рядом |
||||||||||||||||
1 + x2 |
||||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
); 2) Расходится (сравнить с гармоническим рядом); 3) Сходится; 4) Рас- |
|||||||||||||||||||
n−1 |
||||||||||||||||||||
n=1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ходится (сравнить с рядом ∑ |
); 5) Расходится; 6) Сходится; 7) Расходится |
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сравнить с гармоническим рядом); 8) Сходится; 9) Расходится (сравнить с ря-
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дом ∑ |
|
); 10) Расходится; 11) Расходится; 12) Расходится; 13) Сходится; |
|
||||||||||
3 |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
Сходится; |
15) |
Расходится; 16) Сходится. |
8.4. |
1) Сходится, |
т.к. |
|||||||
lim an+1 |
= |
1 |
<1; |
2) |
Сходится, т.к. |
lim an+1 |
= 1 <1 |
; 3) |
Расходится, |
т.к. |
|||
n→∞ |
a |
|
3 |
|
|
|
n→∞ a |
n |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim an+1 |
= |
3 |
>1; 4) Расходится, т.к. lim an+1 =∞; 5) Сходится, т.к. lim an+1 = 0 <1; |
||||||||||
n→∞ |
a |
|
2 |
|
|
n→∞ |
a |
|
|
|
n→∞ a |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
6) Сходится; 7) |
Сходится; 8) Расходится, т.к. lim an+1 |
= e >1; 9) Сходится, т.к. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
222
lim an+1 |
= |
3 |
<1; 10) Сходится, т.к. lim an+1 |
= 0 <1. 8.5. 1) Сходится условно; |
||||
3 |
||||||||
n→∞ |
a |
n |
|
n→∞ |
a |
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
2) Сходится абсолютно; 3) Сходится условно; 4) Сходится абсолютно; 5) Сходится условно; 6) При a >1 сходится абсолютно, при a =1 сходится условно, при a <1 расходится; 7) Сходится абсолютно; 8) Сходится абсолютно; 9) Сходится абсолютно; 10) Сходится абсолютно; 11) Сходится условно; 12) Расходится; 13) Сходится абсолютно; 14) Сходится абсолютно; 15) Сходится условно; 16) Сходится абсолютно; 17) Сходится абсолютно. 8.6. 1) x [−3,3) ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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−1 |
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3 |
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|
3 |
|
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||||
2) |
x R ; 3) |
|
x [−5,3) ; 4) |
|
|
|
x (e |
|
|
|
|
,e) ; 5) x R ; 6) |
x (−5,5]; 7) x − |
|
|
|
|
, |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|||
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|
1 |
|
|
|
1 |
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|
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||||
9) |
x − |
|
|
|
|
, |
|
|
; 10) |
x = 0 ; 11) x [−2,8]; 12) x (−1,3) ; 14) x [0,1) ; 15) x = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
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||||||||||||
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|
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|
|
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|
|
|
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|
x |
2 |
|
|
|
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|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8.7. 1) cos(x − a) = 1 − |
|
+ |
|
−... cos a + |
x − |
+ |
|
−... sin a ; |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
5! |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
sin2 x = |
1 |
(2x) |
|
− |
(2x) |
|
|
+ (2x) |
|
−... ; 3) xex = x + x2 + |
x |
|
+ |
x |
+... ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
(mx)2 |
|
|
|
|
|
|
(mx)4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(mx)3 |
|
|
(mx)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
sin mx |
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−... |
+ |
|
|
|
mx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
... . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
2 |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||||||||
8.10. 1) ln |
= 2 |
x + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+... ; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
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|
|
∞ |
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|
x |
n |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) ln(2 −3x + x2 ) = ln[(1 − x)(2 − x)]= ln 2 − ∑(1 + 2−n ) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2x |
3 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
2x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|||||||||||||||||||||||||
3) ln(1 − x + x2 ) = ln |
|
|
|
= − x − |
|
|
− |
|
− |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+... = −2∑cos πn |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
3 n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8.11. 3 1 + x = (1 + x)1/ 3 =1 + |
1 x − |
|
|
2 |
|
x2 +...; |
3 1,006 = 3 1 + 0,006 ≈1 + 0,006 |
=1,002 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 0,991 = 3 1 −0,009 ≈1 − 0,009 = 0,997 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
||||||||
3 130 = 3 125 +5 = 5 |
3 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
5 1 |
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
≈ 5,067 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
|
|
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|
15 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
75 |
|
|
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|||||||||||||
8.12. sin12° = sin |
π |
|
|
≈ sin(0, 2094) ≈ 0,2094 |
− |
(0,2094)3 |
|
|
≈ 0,2079 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.13. ∫sin xdx = C + x − |
|
x3 |
|
|
+ |
|
|
|
x5 |
|
−... . 8.14. ∫ex dx |
= C |
+ ln x + x + |
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x2 |
+ |
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x3 |
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+.... |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5!5 |
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2!2 |
3!3 |
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x |
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3!3 |
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x |
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8.15. 0,108 . |
8.16. 0,023. |
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8.18. 0,658 . |
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223
|
СОДЕРЖАНИЕ |
3 |
РАЗДЕЛ 5. Функции многих переменных |
||
Тема 1. Основные понятия |
3 |
|
1. |
Определение функции многих переменных |
3 |
2. |
Графическое изображение функции двух переменных. Линии уровня |
3 |
3. |
Предел и непрерывность функции двух переменных |
4 |
4. |
Примеры решения задач |
5 |
Тема 2. Дифференцируемость функции двух переменных |
7 |
|
1. |
Частные производные |
7 |
2. |
Полный дифференциал функции двух переменных |
8 |
3. |
Производная по направлению. Градиент |
9 |
4. |
Примеры решения задач |
11 |
5. |
Задания для самостоятельного решения |
13 |
6. |
Производные сложных и неявных функций |
19 |
7. |
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков |
20 |
8. |
Формула Тейлора |
22 |
9. |
Примеры решения задач |
23 |
10. |
Экономические примеры |
25 |
11. |
Задания для самостоятельного решения |
28 |
Тема 3. Исследование функции двух переменных |
33 |
|
1. |
Экстремум функции двух переменных |
33 |
2. |
Наибольшее и наименьшее значения функции |
34 |
3. |
Условный экстремум |
35 |
4. |
Метод множителей Лагранжа вычисления условного экстремума для |
|
|
функции двух переменных |
36 |
5. |
Примеры решения задач |
36 |
6. |
Задания для самостоятельного решения |
40 |
7. |
Метод наименьших квадратов |
43 |
8. |
Выравнивание с помощью показательной кривой |
45 |
9. |
Примеры решения задач |
46 |
10. |
Задания для самостоятельного решения |
50 |
11. |
Понятие задачи математического программирования |
52 |
12. |
Графический метод решения задач линейного программирования |
53 |
13. |
Алгоритм графического метода |
54 |
14. |
Примеры решения задач |
54 |
15. |
Задания для самостоятельного решения |
56 |
16. |
Задания для индивидуальной работы № 11 |
57 |
17. |
Задания для индивидуальной работы № 12 |
62 |
18. |
Задания для индивидуальной работы № 13 |
65 |
РАЗДЕЛ 6. Интегральное исчисление |
68 |
|
Тема1. Неопределенныйинтеграл. Основныеметодыинтегрирования |
68 |
|
1. |
Первообразная и неопределенный интеграл |
68 |
2. |
Основные свойства неопределенного интеграла |
71 |
3. |
Непосредственное интегрирование |
72 |
224
4. |
Метод подстановки (метод замены переменной) в неопределенном ин- |
|
|
теграле |
73 |
5. |
Введение переменной под знак дифференциала |
74 |
6. |
Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен |
75 |
7. |
Интегрирование по частям |
76 |
8. |
Задания для самостоятельного решения |
79 |
Тема 2. Основные классы интегрируемых функций |
84 |
|
1. |
Интегрирование рациональных функций |
84 |
2. |
Интегрирование тригонометрических выражений |
88 |
3. |
Интегрирование простейших иррациональных выражений |
92 |
4. |
Задания для самостоятельного решения |
96 |
Тема 3. Определенный интеграл |
103 |
|
1. |
Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница |
103 |
2. |
Свойства определенного интеграла |
103 |
3. |
Определенный интеграл как функция верхнего предела |
105 |
4. |
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в опреде- |
|
|
ленном интеграле |
106 |
5. |
Приближенное вычисление определенных интегралов |
106 |
6. |
Примеры решения задач |
107 |
7. |
Задания для самостоятельного решения |
110 |
Тема 4. Несобственные интегралы |
114 |
|
1. |
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования |
114 |
2. |
Признаки сходимости несобственного интеграла первого рода |
114 |
3. |
Несобственные интегралы от неограниченных функций |
115 |
4. |
Примеры решения задач |
116 |
5. |
Задания для самостоятельного решения |
120 |
Тема 5. Геометрическое приложение определенного интеграла |
122 |
|
1. |
Вычисление площадей в декартовой системе координат |
122 |
2. |
Вычисление объема тела вращения |
123 |
3. |
Вычисление длины дуги плоской линии, заданной в декартовой систе- |
|
|
ме координат |
124 |
4. |
Примеры решения задач |
124 |
5. |
Задания для самостоятельного решения |
126 |
6. |
Задание для индивидуальной работы № 14 |
128 |
7. |
Задание для индивидуальной работы № 15 |
139 |
РАЗДЕЛ 7. Дифференциальные уравнения |
143 |
|
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
143 |
|
1. |
Основные понятия. Задача Коши |
143 |
2. |
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися пе- |
|
|
ременными |
144 |
3. |
Примеры решения задач |
145 |
4. |
Однородные дифференциальные уравнения |
149 |
5. |
Линейные уравнения первого порядка |
152 |
6. |
Примеры решения задач |
154 |
7. |
Уравнение Бернулли |
158 |
225
8. |
Примеры решения задач |
158 |
9. |
Задания для самостоятельного решения |
161 |
Тема 2. Дифференциальные уравнения второго порядка |
164 |
|
1. |
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие пони- |
|
|
жение порядка |
164 |
2. |
Примеры решения задач |
165 |
3. |
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян- |
|
|
ными коэффициентами |
167 |
4. |
Примеры решения задач |
170 |
5. |
Задания для самостоятельного решения |
175 |
РАЗДЕЛ 8. Ряды |
177 |
|
Тема 1. Числовые ряды |
177 |
|
1. |
Основные определения |
177 |
2. |
Необходимый признак сходимости числового ряда |
177 |
3. |
Критерий сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходи- |
|
|
мости числового ряда |
178 |
4. |
Знакопеременныеряды. Признакисходимостизнакопеременныхрядов |
179 |
5. |
Примеры решения задач |
180 |
6. |
Задания для самостоятельного решения |
184 |
Тема 2. Степенные ряды |
187 |
|
1. |
Примеры решения задач |
188 |
Тема 3. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Мак- |
189 |
|
|
лорена. Приближенное вычисление |
|
1. |
Задания для самостоятельного решения |
192 |
2. |
Задание для индивидуальной работы № 16 |
194 |
3. |
Задание для индивидуальной работы № 17 |
197 |
Приложение |
202 |
|
Ответы |
203 |
226