Дифференцирование функций, заданных параметрически.
При параметрическом задании функции независимая и зависимая переменные выражаются через параметр.
(1)
Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (1) каждому значению параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением t описывает кривую на плоскости. Уравнения (1) называют параметрическими уравнениями этой кривой.
Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что для первой из них существует обратная функция t=φ-1(x), имеющая производную, получим, что у является функцией от х: y=ψ(φ-1(t))=f(x).
для которой также существует производная, которую можно вычислить по правилу для вычисления дифференциала сложной функции:
(2)
В случае
параметрического задания кривой, формула
(2) позволяет по уравнениям (1) установить
угловой коэффициент касательной, не
переходя к заданию кривой в явном виде:
.
Пример.
Найти производную функции
циклоида
=
Чтобы найти
замечаем, что функция
параметрически задается уравнениями
,
где ψ1(t)=
или ψ1(t)=
.
Тогда
=
=
=
В рассмотренном
примере
=
Аналогично, считая,
что функция
задана параметрически уравнениями
,
где ψ2(t)=
Находим
=
=
и т.д.
