2 Распределение Максвелла

Рассмотрим закон распределения молекул газа по скоростям. Этот закон был найден Максвеллом в 1959 г. Ход его рассуждений довольно сложен, мы ограничимся только в основном рассмотрением подхода к решению этой проблемы, а также физического смысла закона Максвелла и некоторых следствий из него.

Следуя Максвеллу, представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций скоростей отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора. Состояние газа будем считать равновесным, т.е. из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным.

Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от).

Итак, пусть макросистема (газ) содержит - молекул. Выделим в некоторой точке – конце вектора- малый объем. Этот малый объем должен быть таким, чтобы числомолекул в нем было достаточно большим.

Относительное число точек (молекул) в этом объеме , или другими словами, вероятностьтого, что скорость молекулы, т.е. конец вектора, попадает в этот объем, можно записать так:

(3.12)

где имеет смыслобъемной плотности (3.12) вероятности.

Рис. 2

Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале (), есть

(3.13)

где - функция распределения по.

Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах ,и, являются независимыми (это было строго доказано), поэтому в соответствии с теоремой об умножении вероятностей независимых событий можно записать

. (3.14)

Сопоставив (3.14) с (3.12), находим

. (3.15)

Опуская дальнейшие преобразования (с учетом условия нормировки), приведем окончательные результаты:

, (3.16)

аналогичный вид имеют функции и.

И тогда согласно (2.15)

(3.17)

График функции изображен на рис. 3.

Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь полоски на рис. 3 – это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале.

Рис. 3

Функция (3.16) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой

. (3.18)

Распределение молекул по модулю скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале . Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусамии(рис. 4). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е., объемная плотность вероятностиво всех точках слоя одинакова. Следовательно,

(3.19)

Величина - мы ее обозначим- характеризует искомую вероятность, т.е..

Учитывая (3.17), получим:

(3.20)

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Вид функции показан на рис. 5. Эта функция тоже нормирована на единицу:

(3.21)

Рис. 4 Рис.5

На рис. 5 пунктиром представлена «конструкция» (сомножители) функции . Заметим, что в отличие отплощадь под кривойфизического смысла не имеет.

Характерные скорости К ним относятся три скорости: наиболее вероятная , средняяи среднеквадратичная.

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения . Эта скорость определяется из условия. Осуществив дифференцирование (3.20), придем к уравнению

Отсюда следует, что

. (3.22)

Средняя скорость молекул (ее называют также средней арифметической скоростью) определяется выражением

(3.23)

(При вычислении использовалось табличное значение интеграла )

Среднеквадратичная скорость ; она находится из условия

,

откуда следует, что

(3.24)

Это выражение мы уже получили и без интегрирования (см. формулу (1.17)). (При вычислении интеграла использовалось его табличное значение ).

В качестве примера приведем среднюю скорость молекул азота при

=300 К: = 480 м/с. Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции.

Качественно это показано на рис. 5.

Зависимость распределения по Подставив значениеиз (3.22) в формулу (3.20), получим, что

~. (3.25)

В соответствии с этим результатом для разных температур кривые распределениябудут иметь вид, показанный на рис. 6.

или

Рис. 6

Площадь под всеми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рис. 6 можно рассматривать и иначе – как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем .

Формула Максвелла в приведенном виде Число молекул, скорости которых заключены в пределах от до, равно

. (3.26)

Эта формула значительно упрощается, если перейти к относительной скорости

(3.27)

т.е. положить .

Тогда вместо нужно подставить в (3.26), а вместо- выражение. В результате получается формула

(3.28)

где - число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах отдо. Функцияимеет вид

(3.29)

В таком виде распределение Максвелла является универсальным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Проинтегрировав выражение (3.28) в пределах от до, получим количество молекул, относительные скорости которых заключены в этих пределах:

(3.30)

Распределение по энергиям молекул От распределения по скоростям можно перейти к распределению молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения. Эта энергия связана со скоростьюсоотношением. Отсюда

, ,.

Заменим в (3.26) иих выражениями черези, придем к формуле

, (3.31)

где - число молекул, кинетическая энергия поступательного движения которых заключена в пределах отдо.

Из (3.31) следует, что функция распределения молекул по значениям имеет вид

, (3.32)

где - нормальный множитель,

.

График этой функции показан на рис. 7. Наиболее вероятная энергия находится из условия

: . (3.33)

Рис. 7

Замечание При подсчете вероятности или числа молекул в заданном интервале скоростей (или энергий) не всегда следует прибегать к интегрированию. Если интервал скоростей очень мал, т.е. или, то решение сводится просто к умножению. Например, вместо (3.30) будем иметь:

(3.34)