Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

модуль 1.5.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

754.69 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

3 Маятник

Пружинный маятник Пружинным маятником называется система, состоящая из шарика массы , подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с (рис. 4).

Рис. 4

В положении равновесия сила уравновешивается упругой силой :

(5.20)

( — удлинение пружины). Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой , причем ось . направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой , то удлинение пружины станет равным и проекция на ось результирующей силы, действующей на шарик, примет значение . Учтя условие (5.20), получим, что

. (5.21)

Следовательно, результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы, и шарик будет совершать гармонические колебания.

Сообщим шарику смещение , после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы шарик начнет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью . При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис.5), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем).

Рис. 5

Пройдя через положение равновесия, шарик будет двигаться по инерции. Это движение прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным . Затем такие же превращения энергии будут происходить при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от до неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

, или (5.22)

или ,

где

Мы пришли к дифференциальному уравнению вида (5.9). Согласно (5.6) решением

этого уравнения является функция

, (5.23)

где

- собственная частота колебаний пружинного маятника (5.24)

Таким образом, выведенный из положения равновесия шарик будет совершать гармонические колебания около этого положения. Частота колебаний будет тем больше, чем больше жесткость пружины и чем меньше масса шарика .

Математический маятник Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия естественно характеризовать

углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 6).

Рис. 6

Уравнение движения математического маятника имеет общий вид

, (5.25)

где - момент импульса колеблющегося шарика, - момент силы, действующей на шарик. Как следует из рис.6 векторы и параллельны друг другу, но направлены в противоположные стороны.

Поэтому проекция уравнения (5.25) на ось , перпендикулярно плоскости моста, будет иметь вид

(5.26)

Так как и , то вместо (5.26) имеем

(5.27)

Момент инерции математического маятника . Кроме того, в случае малых колебаний можно положить , в результате уравнения (5.27) упростится и примет вид

или , (5.28)

где .

Таким образом, мы снова пришли к дифференциальному уравнению гармонических колебаний. Его решением является функция

, (5.29)

где — амплитуда колебаний (наибольший угол, на который отклоняется маятник от положения равновесия). Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону с циклической частотой

, (5.30)

которая называется собственная частота математического маятника. Отсюда видно что частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения и не зависит от массы маятника.

Согласно формуле (5.2) период колебаний математического маятника

. (5.31)

Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается.

Физический маятник. Если колеблющееся тело нельзя считать материальной точкой, то маятник называется физическим. Для того чтобы получить закон изменения угла отклонения от времени, необходимо записать уравнение его движения. Проекция этого уравнения на ось вращения для физического маятника будет иметь такой же вид, как и для математического маятника:

, (5.32)

где - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Рис. 7

В случае малых колебаний (5.32) переходит в дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

, (5.33)

где

. (5.34)

Из формул (5.33) и (5.34) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси подвеса и расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. В соответствии с (5.34) период колебаний физического маятника определяется выражением

. (5.35)

Из сопоставления формул (5.31) и (5.35) получается, что математический маятник с длиной

(5.36)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (5.36) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси подвеса, называется центром качания физического маятника (см. рис. 7).

По теореме Штейнера момент инерции маятника может быть представлен в виде

где — момент инерции относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника. Подставив это выражение в (5.36), получим, что

. (5.37)

Из этой формулы следует, что приведенная длина всегда больше , так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс.

Задачи

Задача 1 Амплитуда гармонического колебания 5см, период = 4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

Решение

Уравнение колебаний при данных условиях имеет вид

следовательно

откуда

(см/с).

Ускорение равно

значит

(см/с²).

Задача 2 Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки = 49,3 см/с², период колебаний = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени = 2,5 см.

Решение

Максимальное ускорение равно

Отсюда находим амплитуду колебаний

(см).

В начальный момент времени

(см),

откуда

Подставляя найденные значения , и в уравнения колебаний

получаем

см.

Задача 3 Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна

= 30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело, = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний = 2 с и начальная фаза .

Решение

Для того чтобы написать уравнение колебаний

надо найти амплитуду .

Найти амплитуду можно, если известны полная энергия колеблющегося тела и максимальная сила:

, ,

откуда

Подставляя числовые значения, находим

(м).

Таким образом

м.

Задача 4 Частица массы совершает колебания в силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты как , где - постоянные. Найти циклическую частоту малых колебаний частицы около положения равновесия .

Решение

Согласно основному уравнению динамики,

Так как колебания малые, то и уравнение можно привести к виду

Отсюда следует, что

Задача 5 Идеальная жидкость объемом налита в - образную трубку (рис.) с площадью поперечного сечения . Найти период малых колебаний жидкости.

Решение

Задачу наиболее просто решать с помощью дуговой координаты . Запишем основное уравнение динамики в проекции на орт :

, где - проекция силы тяжести, действующей справа на элемент жидкости длины .

Отсюда, имея в виду, что

, получаем

Значит,

и .

Задача 6 Физический маятник На каком расстоянии от центра надо подвесить тонкий однородный стержень длины , чтобы период его малых колебаний был наименьшим?

Решение

Период малых колебаний физического маятника , где - момент инерции стержня относительно искомой точки подвеса. По теореме Штейнера, , где - момент инерции относительно центра масс . Подставив это выражение в формулу для , получим

или

Период будет наименьшим при условии (или при равенстве нулю производной от подкоренного выражения):

откуда

Задача 7 Однородный брусок положили на два быстро вращающихся диска (рис.). Известны расстояние между осями дисков и коэффициент трения между бруском и дисками. Показать, что брусок будет совершать гармонические колебания. Найти их период.

Решение

Согласно основному уравнению динамики,

Отсутствие вращения стрежня означает, что алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на стержень, равна нулю.

Относительно точки (начала отсчета координаты )

Отсюда

Подставим в основное уравнение и получим

Это и есть уравнение гармонического осциллятора с частотой

и периодом .

Заметим, что вращаться диски должны достаточно быстро, чтобы при всех положениях бруска было обеспечено трение скольжения.

Тесты

1. Гармоническими называются колебания вида:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

2. При малых колебаниях математического маятника он обладает максимальной кинетической энергией:

1. – в момент прохождения положения равновесия; 2. – при максимальном отклонении груза от положения равновесия; 3. – в момент времени, когда потенциальная энергия равна половине максимальной; 4. – когда маятник останавливается; 5. – в начальный момент времени.

3. При уменьшении длины нити математического маятника в 2 раза, увеличении массы маятника в 2 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза период колебаний…

1 – не изменится; 2. – увеличится в 2 раза; 3. – уменьшится в 2 раза; 4. – увеличится в раз; 5. – уменьшится в раз.

4. Сила, возвращающая колеблющуюся на пружине массу в положение равновесия, равна:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

5. Колебания материальной точки совершаются по закону . Амплитуда и период колебаний даны в СИ. Наибольшее значение скорости колебаний равно:

1 .– 3,14 м/с; 2. – 31,4 м/с; 3. – 314 м/с; 4. – 0,0314 м/с; 5. – 0,314 м/с.

6 .Смещение тела, совершающего колебания с периодом T, описывается выражением . В какой момент времени скорость тела максимальна?

1. – t = 0; 2. – t = T/8; 3. – t = T/4; 4. – t = 3T/8; 5. – Скорость не меняется.

7. Уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей колебания с амплитудой 10 см, периодом 2 с и начальной фазой 45° можно записать в виде:

1. ; 2. – ; 3. – ;

4. – ; 5. – .

8. Фазой колебания, изображенного на рисунке, в произвольный момент времени называют:

1. – длину отрезка на оси времени, от начала отсчета до первого пересечения графика с осью времени; 2. – величину максимального отклонения графика от оси времени; 3. – длину отрезка, отсекаемого на оси амплитуд при t=0; 4. – величину аргумента функции синуса или косинуса (ωt+φ₀); 5. – промежуток времени между двумя соседними максимумами функции.

9. Периодом колебаний называют:

1. – промежуток времени между двумя ближайшими переходами функции через ноль; 2. – промежуток времени между двумя ближайшими точками, имеющими одинаковую фазу; 3. – амплитуду колебаний в момент времени t=0; 4. – максимальное положительное значение функции; 5. – максимальное отрицательное значение функции.

10. Если период колебаний груза массой m, подвешенного на пружине, равен T, то период колебаний груза массой 2m, подвешенного на двух таких же пружинах, соединенных параллельно, равен:

1. T; 2. – 2T; 3. – 4T; 4. – T/2; 5. – T/4.

11. Амплитуда скорости колебаний точки связана с амплитудой смещений соотношением:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. –

12. Период колебаний математического маятника в равноускоренно движущемся горизонтально вагоне:

1. – будет непрерывно уменьшаться; 2. – будет непрерывно возрастать; 3. – останется прежним; 4. – уменьшится; 5. – увеличится.

13. Частота колебаний математического маятника равна:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. .

14. Период колебаний связан с частотой соотношением:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

15. Собственная циклическая частота колебаний груза на пружине равна:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

16. При колебаниях математического маятника он обладает максимальной потенциальной энергией:

17. Уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей колебания с амплитудой 100 см, периодом 2 с и начальной фазой 30° можно записать в виде:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

18. Чему равно максимальное ускорение шарика, совершающего свободные незатухающие колебания по закону , см?

1 .– 5 см/с²; 2. – π/4 см/с²; 3. – π см/с²; 4. – π²/5 см/с²; 5. – π/5 см/с².

19. Если жесткость пружины механического осциллятора увеличить вдвое, то максимальная скорость при той же амплитуде…

1. – не изменится; 2. – уменьшится в два раза; 3. – увеличится в два раза; 4. – уменьшится в раз; 5. – увеличится в раз.

20. Период колебаний математического маятника равен:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. .

21. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A=4 см и периодом T=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется в соответствии с уравнением (в СИ)

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – .

22. Период колебаний пружинного маятника равен:

1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

23. Уравнение колебательного движения материальной точки, совершающей колебания с амплитудой 10 см, периодом 2 с и начальной фазой 45° можно записать в виде: