= 4 sin ϕ π2 = 4(1 +1)= 8 .
−π2
Задача 6.1
Вычислить момент инерции относительно оси |
Oy |
однородного |
|||
участка поверхности x2 + z2 = y2 при 0 ≤ y ≤ 4 . |
|
|
|||
Задача 6.2 |
|
|
|
|
|
Вычислить |
площадь |
участка |
сферы |
x2 + y2 + z2 = 2 , |
|
вырезанного параболоидом x2 + y2 = x . |
|
|
|||
Задача 6.3 |
|
|
|
|
|
Вычислить |
массу |
участка |
поверхности |
z = x2 + y2 , |
|
ограниченного |
плоскостями |
x = 0 , |
y = 0 , z =3 , |
если плотность |
|
δ(x, y)= x2 + y2 .
Справочный материал
Поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по формуле
∫∫ f (x, y, z) dσ = ∫∫ f (x, y, z(x, y)) |
1 + (z′x )2 + (z′y )2 dxdy , |
|||||||||||
σ |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z = z(x, y) - |
уравнение поверхности σ, область D – ее |
|||||||||||
проекция в координатную плоскость xOy . |
||||||||||||
Если поверхность |
σ |
задана |
|
неявным уравнением |
||||||||
F(x, y, z )= 0 , то |
|
|
|
|
|
|
)2 + (∂∂Fy |
)2 + ( |
|
|
|
|
∫∫ f (x, y, z)dσ = ∫∫ |
f (x, y, z(x, y)) |
|
( |
∂F |
∂F |
)2 |
dxdy |
|||||
|
∂x |
∂z |
||||||||||
|
|
|
|
∂F |
|
|
|
|||||
σ |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
||
Если поверхность |
σ, по которой ведется интегрирование, удобно |
|||||||||||
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|