Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

426.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

	(x +3)3 2	x +3		2	3 2
=	3 2 −3		+C =	3	(x +3)	−6 x +3 +C .
		1 2

Справочный материал к задачам 6, 7

В некоторых случаях подынтегральное выражение удобно разбить на два множителя и применить формулу интегрирова-

ния по частям:

∫udv = uv −∫vdu .

Здесь u = u(x) и v = v(x) — непрерывно дифференцируемые

функции.

При вычислении определённого интеграла формула интегрирования по частям выглядит так:

b		b
∫u dv = uv		ba − ∫v du .


a		a

Эта формула удобна, если получившийся интеграл ∫vdu

проще исходного или ему подобен.

При использовании формулы интегрирования по частям в качестве функции u берётся такая, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv — оставшаяся часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.

Перечислим основные типы интегралов, которые берутся с использованием формулы интегрированием по частям.

			abx

			sin bx
1.	∫	P	(x) cosbx dx , где P (x) — многочлен степени n.
	∫	n		n
			sh bx
			ch bx

За функцию u следует взять многочлен, а за dv — оставшуюся часть подынтегрального выражения. Интеграл сводится к табличному после применения формулы интегрирования по частям n раз.

lnk x
	k
	k	x
arcsin		x
2. ∫xn arccosk x dx .
	x
arctgk	x

arcctgk x

Множитель dv здесь следует принять равным xndx , а остальное

взять в качестве функции u.

После процедуры интегрирования по частям вновь получившийся интеграл часто оказывается не табличным. Если в исходном интеграле содержались обратные тригонометрические функции, то мы можем (в некоторых случаях) прийти к интегралу вида

− x

−a

+ x

∫R x,

dx ,

∫R x,

или ∫R x,

dx ,

где R — рациональная функция. Тогда следует применить одну из замен переменных:

а)

б)

в)

∫R x,

a2 − x2 dx :

x2 −a2 dx :

a2 + x2 dx :

asin t , dx = a costdt ,

	a	,	dx = a sin t dt ,
	cost
				cos2 t
a tg t ,			dx =	a	dt .

				cos2 t

Задача 6

Вычислить неопределённый интеграл ∫(2x −1)sin 6xdx .

Решение задачи

Применим формулу интегрирования по частям:

∫(2x −1)sin 6xdx =

u = 2x −1

du = 2dx

dv = sin 6xdx

v = −

cos6x

−

= (2x −1)

cos 6x

−∫2

cos 6x dx =

=− 16 (2x −1)cos 6x + 13 ∫cos 6xdx =

=− 16 (2x −1)cos 6x +181 sin 6x +C .

Задача 7

									1
Вычислить определённый интеграл									∫x arccos x dx .
									2 2
			Решение задачи
1				u		= arccos x			du = −		dx
1											1 − x2 =
∫x arccos x dx =									x2		1 − x2 =
2 2					dv = xdx				x2
					dv = xdx				v = 2
					1			1
					1			1
	=	x2	arccos x				+ 1	∫	x2dx		= (×)
	=		arccos x				+ 1	∫	x2dx		= (×)
	2					2 2	2	2 2	1− x	2
						2 2		2 2	1− x

В новом интеграле произведём замену переменных x = sin t .

x =sin t,

dx = costdt

(×)= x =1

t =π 2

x =

2 2

t =π 4

= 1 arccos1 − (

2 2)2 arccos

2 +

1 π∫

2 sin2 t cos tdt

π 4

1 −sin

0 − 1

1 π∫

2 sin2 tdt = −

1 π∫2

1−cos 2t

dt =

π 4

π 2

= −

∫dt −

∫cos 2t dt

= −

+ 1

∫dt −

∫ cos 2t d 2t

π 4

π 2

= −

∫dt −

∫cos 2t d 2t

= −

t −

sin 2t

π 4

		π			1	π		1		π			π		1			π			=
= −				+			−		sin 2			−		−		sin 2
= −	16			+	4		−	2	sin 2	2		−	4	−	2	sin 2		4
	16				4	2		2		2			4		2			4
			π		1	π		1				π		1			π			1
= −				+			−		sinπ		−		−		sin				=			.
= −		16		+	4		−	2	sinπ		−		−	2	sin		2		=	8		.
		16			4	2		2				4		2			2			8

Справочный материал к задачам 8, 9

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:


a	0	xn +a xn−1	+K+a	n−2	x2 +a	n−1	x +a		n .
		1
b xm +b xm−1			+K+b		x2 +b			x +b
0		1	m−2		m−1				m

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( n < m ), то дробь называется правильной. В противно случае ( n ≥ m ) дробь называется неправильной.

Здесь мы будем изучать интегрирование только правильных дробей. Рассмотрим способы интегрирования правильных дробей.

Рассмотрим правильную рациональную дробь

Pn ((x)), Qm x

где Pn (x) и Qm (x) — многочлены с действительными коэффи-

циентами степеней n и m соответственно ( n < m ). Разложим знаменатель на множители

Qm (x)= a0 (x − x1)k1 (x − x2 )k2 K(x − xr )kr (x2 + p1x +q1)m1 × ×(x2 + p1x +q1)m1 (x2 + p2 x +q2 )m2K(x2 + ps x +qs )ms .

Тогда дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, знаменателями которых являются множители, составляющие знаменатель исходной дроби:

(x)

+K+

Qm (x)

x − x0

(x − x

)k1

+K+

(x − xr )2

x − xr

(x − xr )kr

C x + D

Cm x + Dm

+K+

x2 + p1x +q1

(x2 + p1x +q1)m1

E x + F

x + Fm

+K+

x2 + p2 x +q2

(x2 + p2 x +q2 )m2

G x + H

x + Fm

+K+

x2 + ps x +qs

(x2 + ps x +qs )ms

Каждая из получившихся дробей является простейшей дробью, а приведение правильной рациональной дроби к такому ви-

ду называется разложением дроби на простейшие.

Числа A1 ,... , Fms называются неопределёнными коэффици-

ентами.

Рассмотрим три вида простейших дробей:

1.	A	;
	x −a

2.	A		( m		= 2,3,4,K);
	(x −a)m
3.	Ax + B			.
	x2 + px +q

Дроби первого и второго типа непосредственно сводятся к табличным интегралам.

Разберём метод интегрирования дробей третьего типа. Прежде всего выделим в знаменателе полный квадрат:

p 2

+ px +q = x2

x +

−

+q =


		p 2			p		2
= x +			−				+q .
= x +			−				+q .
		2			2
Если A ≠ 0 , выделим в числителе дроби производную знаме-
					p
нателя, то есть выражение	2 x +					:
нателя, то есть выражение	2 x +					:
					2
				15

Ax + B = A x +

−

+ B =

x +

− A

+ B ,

и разобьём интеграл на два:

Ax + B

x +

−

+ B

∫

= ∫

+ px +q

x +

−

2 x

∫

dx +

p 2

x +

−

− A

+ B ∫

p 2

−

− A

+ B

= I .

dx =

Первое слагаемое проинтегрируем, подведя под знак дифференциала числитель дроби:

2 x +

= ∫

dx =

2 x +

dx = d x +

p 2

x +

−

x +

−

= ∫

p 2

x +

−

p 2

= ln

x +

−

+C .

Второе слагаемое сводится к одному из двух табличных интегралов:

∫a2 + x2 или

в зависимости от знака выражения

∫ x2dx−a2

	p 2
−		+q .
−	2	+q .
	2

Рассмотрим отдельно каждый случай.

1.− p 2 +q > 0 .

I2	= ∫			1
			p 2		p 2
		x +		−		+q
			2		2

					p
		d x +
		d x +
dx = ∫				2				=
dx = ∫		p 2				p 2		=
	x +		−				+q
	x +	2	−				+q
		2				2

x +

arctg

+C .

p 2

−

Окончательно:

p 2

I =

x +

−

x +

− A

+ B

arctg

+C .

p 2

−

2.− p 2 +q < 0 .

d x +

I2 = ∫

= ∫

p 2

−

x +

−

x +

−

−q

+C .

−q x +

−q

Окончательно:

p 2

I =

x +

−

x +

−

p 2

−q

+ −

+ B

+C .

p 2

−q x +

−q

Задача 8

Вычислить неопределённый интеграл ∫

x2 +1

dx .

x(x −2)2

Решение задачи

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

x2 +1	=	A	+	B	+	C	=	A(x −2)2 + Bx(x −2)+Cx	.
x(x −2)2				(x −2)		(x −2)2
		x						x(x −2)2

В левой и правой частях получившегося равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями, поэтому мы можем приравнять числители этих дробей:

x2 +1 = A(x −2)2 + Bx(x −2)+Cx

или

x2 +1 = A(x2 −4x +4)+ B(x2 −2x)+Cx .

Найдём неопределённые коэффициенты A, B и C. Для этого подставим в это равенство конкретные значения переменной x (удобно подставить корни знаменателя):

x= 0 4 A =1, A =1 4

x= 2 2C = 5, C = 5 2.

Оставшееся неизвестное значение B найдём, приравняв коэф-

фициенты при каких-нибудь степенях x, например, при x2 :

A + B =1, B =1 − A =1−1 4 = 3 4.

Теперь интеграл можно разбить на слагаемые и вычислить:

	x	2	+1		1 4		3 4		5 2
∫				dx = ∫		+		+		dx =
			2						2
							x −2
	x(x −2)			x					(x −2)

=14 ∫dxx + 43 ∫ xdx−2 + 25 ∫(x −dx2)2 =

=14 ln x + 43 ln x −2 − 2(x5−2)+C .

Задача 9

Вычислить неопределённый интеграл ∫ ( x −)(1 )dx . x2 +4 x +2

Решение задачи

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

x −1	Ax + B		C		(Ax + B)(x +2)+C(x2	+4)
(x2 +4)(x +2)=	x2 +4	+		=	(x2 +4)(x +2)		.
			x +2

Приравняем числители дробей

x−1 = (Ax + B)(x +2)+C(x2 +4)

инайдём неопределённые коэффициенты A, B и C

x= −2 −3 = 8C, C = −3 8

x = 0 −1 = 2B +4C, B =1 2 (−1 −4C)=1 4 x2 0 = A +C, A = −C = 3 8.

Подставим эти значения и вычислим интеграл:

x −1

3 8 x +1 4

3 8

dx =

−

dx =

∫ (x2 +4)(x +

x +2

∫ x2 +4

= 83 ∫

(xxdx2 +4)+ 14 ∫

(x2dx+4)− 83 ∫

x +2

d (x +2)

∫

(x2 +4)+

∫

(x2 +4)−

∫

x +2

d (x2 +4)

d (x +2)

∫ (x2 +4)

∫

(x2 +4)

−

∫

x +2

= 163 ln x2 +4 + 18 arctg 2x − 83 ln x +2 +C .

Справочный материал к задаче 10

Рассмотрим два типа интегралов, содержащих переменную x под знаком радикала в первой степени.

1. Подынтегральная функция содержит только выражения вида xk и n ax +b ( a ≠ 0 ). В этом случае удобна замена переменной t = n ax +b , то есть tn = ax +b .

	n1	ax +b,	n2	ax +b,K	nk		(a ≠ 0), где R — ра-
2. ∫R x,		ax +b,		ax +b,K		ax +b dx	(a ≠ 0), где R — ра-

циональная функция. Здесь можно сделать замену переменной t = n ax +b (то есть tn = ax +b ), где n — наименьшее общее кратное n1 , n2 ,... , nk .

В ряде случаев интеграл после этих подстановок приводится к виду ∫t −t a dt , ∫t t−2a dt или ∫t t−3a dt . Покажем, как с помощью

арифметических действий мы преобразуем эти интегралы в табличные.

1. ∫t −t a dt = ∫tt −−aa dt +∫t −aa dt = ∫dt + ∫t −aa dt = t +ln t −a +C .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
18.04.2015600.22 Кб16РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.pdf
#
18.04.2015535.48 Кб15РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015567.24 Кб42Рабочая тетрадь Тема 4.2. Интегральное исчисление функций одной переменной.pdf
#
18.04.2015634.96 Кб93Тема 4.3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf
#
18.04.2015700.25 Кб92Тема 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf
#
18.04.2015426.35 Кб28ТЕМА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf