- •6. Типовые динамические звенья. Принцип выделения звеньев. УсилитеЛьНое звено. Инерционные звенья 1-го и 2-го порядков
- •Типовые динамические звенья
- •Пропорциональные (позиционные) звенья. Безынерционное (усилительное) звено
- •Инерционное звено первого порядка
- •Инерционные звенья второго порядка
- •Апериодическое звено второго порядка
- •Контрольные вопросы
6. Типовые динамические звенья. Принцип выделения звеньев. УсилитеЛьНое звено. Инерционные звенья 1-го и 2-го порядков
Несмотря на различное конструктивное оформление функциональных элементов в автоматических системах имеет место общность их математических выражений, связывающих входные и выходные величины. Можно выделить ограниченное число типовых алгоритмических звеньев.
Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев.
Классификацию типовых звеньев удобно осуществлять, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения:
.(87)
В табл. 2 приведены значения коэффициентов уравнения (87), названия типовых звеньев, их передаточные функции.
Таблица 2
Типовые динамические звенья
№ |
Наименование звена |
|
|
|
|
|
Примечание |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
Безынерционное пропорциональное |
0 |
0 |
1 |
0 |
K |
|
2 |
Инерционное первого порядка (апериодическое) |
0 |
T |
1 |
0 |
K |
|
3 |
Инерционное второго порядка (апериодическое) |
|
|
1 |
0 |
K |
|
Таблица 2 (продолжение)
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
Инерционное второго порядка (колебательное) |
|
|
1 |
0 |
K |
|
5 |
Идеальное интегрирующее |
0 |
1 |
0 |
0 |
K |
|
6 |
Реальное интегрирующее |
T |
1 |
0 |
0 |
K |
|
7 |
Идеальное дифференцирующее |
0 |
0 |
1 |
K |
0 |
|
8 |
Реальное дифференцирующее |
0 |
T |
1 |
K |
0 |
|
9 |
Изодромное (пропорционально- интегрирующее) |
0 |
1 |
0 |
|
K |
|
10 |
Форсирующее (пропорционально- дифференцирующее) |
0 |
0 |
1 |
|
K |
|
11 |
Интегро- дифференцирующее с преобладанием интегрирующих свойств |
0 |
T |
1 |
|
K |
|
Таблица 2 (окончание)
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
12 |
Интегродифференцирующее с преобладанием дифференцирующих свойств |
0 |
T |
1 |
|
K |
|
Отметим общие закономерности звеньев. Если коэффициенты и, то звенья имеют однозначную связь между входной и выходной величиной в статическом режиме. Они называются статическими, или позиционными. Звенья, у которых,,илииилии, обладают инерционностью (замедлением). К ним относятся звенья 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12.
У звеньев № 1, 5, 7 только два коэффициента не равны нулю. Они являются простейшими или элементарными. Все остальные могут быть образованы из элементарных путем последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединения.
Рассмотрим свойства звеньев № 1-8. Характеристики остальных звеньев № 9, 12 могут быть получены как характеристики различных соединений звеньев № 1-8.
При рассмотрении указанных звеньев будут приведены следующие характеристики:
уравнение звена и пример его физического представления;
частотные характеристики;
кривая разгона и импульсная переходная функция.
Временные характеристики есть реакция звена (элементов и т.д.) на апериодическое типовое воздействие. Реакция звена во времени на ступенчатое единичное воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой (функцией), или кривой разгона, и обозначается через h(t).
Реакция звена во времени на -функцию при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной характеристикой (функцией). Она обозначается через.
Эти характеристики приведены на рис. 24 и 25.
Рис. 24. Входное ступенчатое единичное воздействие (а) и кривая разгона (б)
Рис. 25. Входное воздействие в виде -функции (а) и импульсная переходная функция
Переходные и импульсные переходные функции связаны между собой соотношениями:
, (88)
. (89)
При помощи импульсной функции звена можно определить его реакцию на произвольное входное воздействие.
Связь между входной и выходной величинами устанавливается интегралом Дюамеля (интегралом свертки):
или
. (90)
Переходная функция h(t) звена представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения звена при и придля i=1... n.
Она состоит из двух составляющих:
, (91)
где – возмущенная составляющая, определяемая частным решением неоднородного уравнения и равна;– свободная составляющая, определяемая частным решением соответствующего однородного дифференциального уравнения в виде:
, (92)
где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Заметим, что собственный оператор D(p) представляет собой характеристическое уравнение, корни которогоестьв выражении (92).
В выражении передаточной функции звена знаменатель также представляет собой характеристическое уравнение, корни которого называются полюсами.
Корни числителя передаточной функции называются нулями. При значениях параметра P, равных нулям, передаточная функция W(P) обращается в ноль, а при значениях параметра P, равных полюсам, передаточная функция W(P) обращается в .