Алгебра для статистиков 1 семестр
.pdfКонтрольная работа № 1 «Умножение матриц. Вычисление определителей четвертого порядка»
Типовой вариант:
1. Найти произведение матриц A и B , где |
|
|
||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
4 |
|
A = |
|
1 |
|
|
||||
|
−2 , |
B = |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Можно ли для данных матриц найти произведение BA? 2. Вычислить определитель
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
∆ = |
− 2 |
1 |
− 4 |
3 |
, |
|
3 |
− 4 |
−1 |
2 |
|
|
4 |
3 |
− 2 |
−1 |
|
предварительно получив максимально возможное число нулей в некоторой строке или некотором столбце.
Решение типового варианта.
1. По правилу умножения матриц имеем:
|
2 1+3 (−2) |
2 4 +3 1 |
|
|
−4 |
11 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
AB = 1 1+(−2) (−2) |
1 4 +(−2) 1 |
= |
. |
||||
|
0 1+1 (−2) |
0 4 +1 1 |
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
Так как число столбцов матрицы B , равное 2 , не совпадает с числом строк матрицы A, равным 3, то произведение BA не имеет смысла. ■
2. Прибавляя ко второй строке определителя его первую строку, умноженную на 2 , и вычитая из третьей и четвертой строк первую, умноженную соответственно на 3 и 4 , получим нули в первом столбце, начиная с его второго элемента:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
∆ = |
0 |
5 |
2 |
11 |
. |
|
0 |
−10 |
−10 |
−10 |
|
|
0 |
−5 |
−14 |
−17 |
|
Разложим определитель ∆ по первому столбцу и вынесем за знак определителя общий множитель −10 элементов второй строки и общий множитель −1 элементов третьей строки:
∆ =1 (−1)1+1 |
|
5 |
2 |
11 |
|
=(−10) (−1) |
|
5 |
2 |
11 |
|
|
|
5 |
2 |
11 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−10 |
−10 |
−10 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
=10 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
−5 |
−14 |
−17 |
|
|
|
5 |
14 |
17 |
|
|
|
5 |
14 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из второго и третьего столбцов первый, приходим к определителю
|
|
5 |
−3 |
6 |
|
, |
|
|
|||||
∆ =10 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
5 |
9 |
12 |
|
|
который удобно разложить по второй строке:
∆ =10 1 (−1)2+1 |
|
−3 |
6 |
|
=−10 |
|
−3 |
6 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
9 |
12 |
|
|
|
9 |
12 |
|
|
Далее можно вынести общий множитель 3 элементов первого столбца и общий множитель 6 элементов второго столбца:
∆ = −10 3 6 |
|
−1 |
1 |
|
= −180((−1) 2 −3 1)= −180 (−5)=900 . ■ |
|
|
||||
|
|
3 |
2 |
|
|
2
Контрольная работа № 2 «Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Отыскание обратной матрицы»
Типовой вариант:
1. С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы
|
2 |
−4 |
1 |
7 |
5 |
|
1 |
−2 |
−2 |
|
|
A = |
4 3 . |
||||
|
1 |
−2 |
8 |
2 |
|
|
1 |
2. Найти матрицу, обратную к матрице
|
1 |
−2 |
4 |
|
|
2 |
−4 |
3 |
|
A = |
. |
|||
|
3 |
−1 |
5 |
|
|
|
Решение типового варианта.
1. Для удобства выполнения первого шага поменяем местами первую и вторую строки матрицы A:
2 −4 |
1 7 5 |
1 |
−2 |
−2 4 3 |
|||||
|
1 |
−2 |
−2 |
|
|
2 −4 |
1 7 5 |
|
|
A = |
4 3 |
~ |
. |
||||||
|
1 |
−2 |
8 |
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
2 1 |
|
8 2 1 |
Символом « » здесь и далее обозначается переход к матрице, имеющей
такой же ранг, что и предыдущая матрица.
На первом шаге ко второй и третьей строкам матрицы A прибавим первую, умноженную соответственно на −2 и −1:
|
1 |
−2 |
−2 |
4 |
3 |
|
|
0 |
0 |
5 |
−1 |
−1 |
|
A ~ |
. |
|||||
|
0 |
0 |
10 |
−2 |
−2 |
|
|
|
Поскольку элемент матрицы, стоящий в позиции (2, 2), равен нулю, а
правее и ниже его имеются ненулевые элементы, перед выполнением второго шага поменяем местами второй и третий столбцы:
|
1 |
−2 |
−2 |
4 |
3 |
|
|
0 |
5 |
0 −1 |
−1 |
|
|
A ~ |
. |
|||||
|
0 |
10 |
0 |
−2 |
−2 |
|
|
|
На втором шаге вычтем из третьей строки полученной матрицы вторую строку, умноженную на 2 :
|
1 |
−2 |
−2 |
4 |
3 |
|
|
0 |
5 |
0 −1 |
−1 |
|
|
A ~ B = |
. |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
Матрица A приведена к трапецеидальной форме B , из вида которой ясно, что все миноры третьего порядка равны нулю, но имеется минор второго порядка, отличный от нуля: он расположен в двух первых строках и двух первых столбцах матрицы B . Следовательно,
rang A =rang B =2 . ■
2. Вычислим определитель матрицы A: |
|
|
|
|||||||||||||
det A = |
|
1 |
−2 |
|
4 |
|
=−20 −18 −8 + 48 + 20 +3 =25. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
−4 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
3 |
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как det A =25 ≠0 , то матрица A−1 |
существует. Найдем ее по формуле |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|||
|
|
|
A−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
A |
12 |
A |
22 |
A |
32 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем:
A11 |
= |
(−1)1+1 |
|
−4 |
3 |
|
= −17, |
A21 = (−1)2+1 |
|
|
|
−2 |
|
4 |
|
= 6, A31 |
= (−1)3+1 |
|
|
−2 |
4 |
|
=10 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A12 |
= (−1)1+2 |
|
2 3 |
|
|
= −1, |
A22 = (−1)2+2 |
|
1 4 |
|
|
|
= −7, A32 |
= (−1)3+2 |
|
1 4 |
|
|
= 5 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A13 |
|
=(−1)1+3 |
|
2 |
−4 |
|
|
=10, |
A23 =(−1)2+3 |
|
1 |
|
−2 |
|
= −5, A33 =(−1)3+3 |
|
1 |
−2 |
|
= |
0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
17 |
|
|
|
6 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
−1 |
|
−7 |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
−5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Проведем проверку правильности вычисления обратной матрицы. По |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определению обратной матрицы должно выполняться равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A −1 A = E , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где E – единичная матрица. Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−17 |
6 10 |
|
1 −2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
−1 |
A = |
|
|
−1 |
−7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −4 3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
−5 0 |
|
|
3 −1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
−17 1+6 2 +10 3 −17 (−2)+6 (−4)+10 (−1) |
−17 4 +6 3 +10 5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
−1 1−7 2 +5 3 |
|
−1 (−2)−7 (−4)+ |
5 (−1) |
−1 4 −7 3 |
+5 5 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
10 1−5 2 +0 3 |
|
10 (−2)−5 (−4)+0 (−1) |
10 4 −5 3 |
+0 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
25 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
0 25 |
0 |
= |
|
0 1 |
0 |
= E . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
25 |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
Тест № 1 «Матрицы и определители» |
||||||||||
|
Типовой вариант: |
|
|||||||||
1. |
Найти произведение матриц A и AT , если |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Дать определение линейной зависимости столбцов. Исследовать на |
|||||||||||
линейную зависимость столбцы |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
a |
|
|
a |
|
= |
|
|
|
||
|
= |
|
, |
2 |
|
|
. |
|
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3. |
Дана матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
−1 |
|
−2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
−2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A = |
4 |
−10 |
|
|
5 |
|
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
−14 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Требуется: а) выписать какой-нибудь минор третьего порядка данной матрицы; б) найти дополнительный минор элемента a42 ; в) найти алгебраическое
дополнение элемента a34 ; г) |
|
найти ранг матрицы A; д) выписать какой- |
||||||||||||||
нибудь базисный минор матрицы A и вычислить его значение. |
|
|
|
|||||||||||||
4. Даны четыре строки x, |
|
y, |
z, t . Известно, что строки x, |
y, z линейно |
||||||||||||
зависимы. Доказать, что строки x, |
y, z, t |
также линейно зависимы. |
|
|
||||||||||||
Решение типового варианта. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1−1 (−1) |
1 0 −1 4 1 7 −1 (−6) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AAT = |
|
0 4 |
|
|
|
0 1+ 4 (−1) |
0 0 + 4 4 0 7 + 4 (−6) |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
4 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 1−6 (−1) |
7 0 −6 4 7 7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 (−6) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
13 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
16 |
−24 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
. ■ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
−24 |
85 |
|
|
|
|
||
2. Столбцы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a1, |
a2 , |
, an называются линейно зависимыми, если су- |
ществуют такие одновременно не равные нулю числа α1, α2 , , αn , что имеет место равенство
α1a1 +α2a2 + +αn an =0 ,
где 0 – нулевой столбец.
Исследуем на линейную зависимость столбцы
1
a |
|
1 |
|
a |
|
|
3 |
|
= |
|
, |
2 |
= |
|
. |
||
1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого составим их линейную комбинацию с неопределенными коэффи-
циентами α1, |
α2 и приравняем ее к нулевому столбцу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
α a |
+α |
|
a |
|
=0 |
|
α |
|
1 |
+α |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
α |
1 |
|
|
3α |
2 |
|
|
0 |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
= |
||||||||||||||||||
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α1 |
|
|
4α2 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
1 |
+3α |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α1 + 4α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное равенство равносильно однородной системе линейных уравнений
α1 +3α2 = 0,2α1 +4α2 = 0.
Решим ее:
|
α |
1 |
+3α |
2 |
= 0, |
|
|
α |
1 |
= −3α |
2 |
, |
|
|
α |
1 |
= −3α |
2 |
, |
|
α |
1 |
= 0, |
||||||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
||||||||||||
|
2α |
1 |
+4α |
2 |
|
|
2 (−3α |
2 |
)+4α |
2 |
|
|
−2α |
2 |
= 0 |
|
|
α |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, эта система имеет только нулевое решение. Следовательно, столбцы
a1, a2 |
линейно независимы. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
M 3 = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
−10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) M 42 = |
|
1 |
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
−2 |
|
|
=1 (−1)1+1 |
|
3 5 |
|
=0; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
1 |
|
= |
|
0 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
9 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) A34 =(−1)3+4 M34 = − |
|
1 |
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 −2 |
|
1 |
|
= − |
|
0 −6 |
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−14 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
0 |
−18 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1 (−1)1+1 |
|
−6 |
3 |
|
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−18 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
−1 −2 |
1 |
|
|
|
2 −1 −2 |
|
|
|
1 |
2 −1 −2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
−6 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
0 |
−6 |
3 |
5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
г) A = |
4 −10 |
5 |
|
|
|
|
7 |
|
~ |
0 |
−18 |
9 |
|
|
15 |
|
~ |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 −14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−18 |
9 |
|
|
15 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||||||||||
|
|
7 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из вида полученной матрицы следует, что ее ранг, а значит, и ранг матрицы A, равен 2;
2
д) Поскольку базисный минор преобразованной матрицы расположен в первых двух строках и первых двух столбцах и при выполнении преобразований мы не переставляли ни строки, ни столбцы, то и базисный минор исходной матрицы A расположен в ее двух первых строках и первых двух столбцах:
12 =−2 −4 =−6 . ■
2−2
|
4. |
Так как строки x, y, z линейно зависимы, то |
существуют числа |
|
α, |
β, γ |
такие, что среди них хотя бы одно отлично от нуля и тем не менее |
||
имеет место равенство |
|
|
||
|
|
α x + β y +γ z =0 . |
|
|
Тогда, очевидно, имеет место и равенство |
|
|
||
|
|
α x + β y +γ z +0 t =0 . |
|
|
Поскольку в этом равенстве по крайней |
мере один |
из коэффициентов |
||
α, |
β, γ отличен от нуля, то строки x, y, z, t |
линейно зависимы. ■ |
3
Контрольная работа № 3 «Решение крамеровских систем линейных уравнений. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных уравнений»
Типовой вариант:
1.Убедиться, что система уравнений
x1 −2x2 +4x3 = 3,
2x1 −4x2 +3x3 =1,3x1 − x2 +5x3 = 2
является крамеровской, и найти ее решение тремя способами: а) по правилу Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
2. Найти общее и какое-нибудь частное решения системы уравнений
x1x1x1
−x2 +2x3 − x4 − x5 = 2,
+2x2 −3x3 + x4 + x5 = 4,
− x2 + x3 − x4 |
=3. |
Решение типового варианта.
1. Данная система является квадратной. Найдем определитель ее основной матрицы:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
|
|
=−20 −18 −8 + 48 + 20 +3 =25 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ = |
|
2 −4 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как ∆ =25 ≠0 , то данная система является крамеровской. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Найдем ее решение по формулам Крамера. Имеем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
=−60 −12 −4 +32 +10 +9 =−25 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∆1 = |
|
1 −4 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
=5 + 27 +16 −12 −30 −6 =0, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∆2 = |
|
2 1 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
=−8 −6 −6 +36 +8 +1=25 , |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∆3 = |
|
2 −4 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = |
∆1 |
= |
−25 |
=−1, |
|
x |
|
= |
∆2 |
= |
0 |
=0, |
x |
|
= |
∆3 |
= |
25 |
=1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
∆ |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∆ |
|
|
3 |
|
∆ |
|
Итак, решение данной системы есть
x1 =−1, x2 =0, x3 =1. ■
б) Найдем решение системы с помощью обратной матрицы. Введем в рассмотрение матрицу системы
1
|
1 |
|
−2 |
4 |
|
||
|
2 |
−4 |
3 |
|
|||
A = |
|
||||||
|
3 |
−1 |
5 |
|
|||
|
|
||||||
и столбцы неизвестных и правых частей |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
3 |
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x = x2 |
, |
b = |
. |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
Тогда данная система записывается в виде одного матричного уравнения
Ax =b. Умножая обе части этого уравнения слева на обратную матрицу A−1 , получаем формулу для искомого вектора x :
x = A−1b .
Матрица A−1 , обратная к матрице A, имеет вид (см. решение типового вари-
анта контрольной работы № 2): |
|
|
|
−17 |
|
6 |
10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
−1 |
|
−7 |
5 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
10 |
|
−5 |
0 |
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−17 |
|
|
6 |
10 |
3 |
|
|
−51+6 + 20 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = A |
b = |
|
|
−1 − |
7 |
5 |
|
1 |
= |
|
|
|
−3 −7 +10 |
|
= |
||||
25 |
25 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
10 − |
5 |
0 |
|
2 |
|
|
|
30 −5 +0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−25 |
|
|
−1 |
||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||
= |
|
|
|
= |
. |
|||
25 |
||||||||
|
|
25 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что решение данной системы есть
x1 =−1, x2 =0, x3 =1. ■
в) Найдем решение системы методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее основную часть к треугольному виду:
|
1 −2 |
4 |
|
3 |
1 |
−2 |
4 |
|
3 |
1 |
−2 |
4 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
−4 |
3 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
−5 |
|
−5 |
|
|
0 |
5 |
−7 |
|
−7 |
|
A = |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
. |
|||||||||||||
|
|
3 |
−1 |
5 |
|
2 |
|
|
0 |
5 |
−7 |
|
−7 |
|
|
0 |
0 |
−5 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернемся от расширенной матрицы к системе:
|
x |
−2x |
2 |
+4x |
3 |
= 3, |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
5x2 −7x3 =−7, |
||||
|
|
|
|
−5x3 =−5. |
||
|
|
|
|
Из этой системы последовательно, начиная с последнего уравнения, находим x3 , x2 , x1 :
2
|
|
x3 = |
−5 =1, |
x2 = |
−7 +7x3 |
= −7 +7 1 |
= 0, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 =3 + 2x2 −4x3 =3 + 2 0 − 4 1=−1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, решение системы есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x1 =−1, x2 =0, x3 =1. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Преобразуем основную часть расширенной матрицы системы к тра- |
|||||||||||||||||||
пецеидальной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 −1 |
2 −1 |
−1 |
|
2 |
1 |
−1 |
2 −1 |
−1 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
0 |
3 |
−5 |
2 2 |
|
2 |
|
||||
|
A = 1 2 −3 1 |
|
|
~ |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
1 −1 |
0 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
−1 0 |
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из вида полученной матрицы следует, |
что rang A =rang |
|
=3 , следовательно, |
||||||||||||||||
A |
данная система совместна. Так как rang A =3 <n =5 , то она имеет бесчислен-
ное множество решений.
Найдем общее решение системы. Поскольку минор третьего порядка, расположенный в первых трех столбцах, отличен от нуля, то удобно в качестве базисных неизвестных взять x1, x2 , x3 . Тогда неизвестные x4 , x5 будут
свободными. Вернемся от расширенной матрицы к системе:
x |
−x |
2 |
+2x |
3 |
− x |
4 |
− x |
5 |
= 2, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3x2 −5x3 +2x4 +2x5 = 2, |
||||||||
|
|
|
|
− x3 |
|
+ x5 =1. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Выберем для свободных неизвестных x4 , |
x5 |
произвольные значения C1, C2 |
соответственно и перенесем члены, содержащие эти неизвестные, в правые части уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−x |
2 |
+ |
2x |
3 |
= |
2 +C |
+C |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −5x3 = 2 −2C1 −2C2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x3 |
=1−C2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решая полученную систему относительно базисных переменных |
x1, |
x2 , x3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим: |
|
|
|
|
2 −2C1 −2C2 +5x3 |
= 2 −2C1 −2C2 −5 +5C2 = |
−3−2C1 +3C2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 = −1+C2 , x2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
x |
= 2 +C |
+C |
2 |
+ x |
2 |
− |
2x |
3 |
= |
2 +C |
+C |
2 |
+ −3−2C1 +3C2 |
−2(−1+C |
2 |
)= 9 +C1 . |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, общее решение данной системы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = |
9 +C1 |
, |
|
x |
2 |
= |
−3 −2C1 +3C2 |
|
, |
|
x |
3 |
= −1+C |
2 |
, |
x |
4 |
= C , |
x |
5 |
= C |
2 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где постоянные C1, |
|
C2 |
принимают произвольные значения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Полагая C1 = 0, |
|
C2 =1, получим частное решение данной системы: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 3, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 =1. ■ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|