Комплексныечисла
.doc
Комплексные числа.
В курсе математического анализа обычно употребляются только действительные числа и действительные функции с действительными аргументами. Однако, некоторые операции (например, извлечение корня четной степени из отрицательного числа, решение квадратного уравнения) не могут быть выполнены в области действительных чисел и приводят к комплексным числам.
Рассмотрим основные положения алгебры комплексных чисел.
-
Число вида z = x + i y, где i2 = -1, называется комплексным числом, x – действительная часть, y – мнимая часть. Их обозначают так x = Re z, y = Im z. Если x = 0, то число z = 0 + iy называют чисто мнимым. Если y = 0, то получается действительное число z = x + 0y.
-
z = x – i y – сопряженное комплексное число.
-
Модулем комплексного числа называется действительное число
-
Два комплексных числа считаются равными z1 = z2, если x1 = x2, y1 = y2.
-
z = x + i y = 0 только, если x = 0, y = 0.
Известно, что действительные числа изображаются точками числовой оси. Комплексное число z = z + i y изображается точкой (х, у) комплексной плоскости.
y
А z = x + i y
ρ
y
φ
O x x
Геометрическим образом комплексного числа является также вектор ОА.
Если ввести полярные координаты, то x = ρ cos φ, y = ρ sin φ и z = ρ(cos φ + i sin φ). Здесь
Над комплексными числами вводятся действия сложения, вычитания, умножения и деления.
-
Сложение (вычитание):
z1 ± z2 = (x1 + i y1) ± (x2 + i y2) = x1 ± x2 + i (y1 ± y2).
-
Умножение (осуществляется по обычным правилам алгебры).
(x1 + i y1) (x2 + i y2) = x1x2 – y1y2 + i (x1y2 + y1x2), i2 = -1, i3 = i i2 =− i, i4 = i2 i2 = 1. Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме.
Распространяя это правило на любое число сомножителей и, считая их равными, получим формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень (формулу Муавра).
-
Деление. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число
z = z1/z2, удовлетворяющее условию z z2 = z1.
B тригонометрической форме
Для проверки следует умножить делитель на частное.
Извлечение корня из комплексного числа.
Рассмотрим
Корнем n – ой степени из комплексного числа ρ(cosφ + i sinφ) называется комплексное число r (cos ψ + i sin ψ), удовлетворяющее равенству
rn (cos ψ + i sin ψ)n = ρ(cosφ + i sinφ).
По формуле Муавра
rn (cos nψ + i sin nψ)n = ρ(cosφ + i sinφ).
Отсюда
Давая k значения 0, 1, 2, …, n-1, получим n корней.
П р и м е р 1. Решить уравнение z3 +27 i = 0. Изобразить корни на комплексной плоскости.
y
z1
z2 z0 x
Формулы Эйлера.
Рассмотрим функцию w = ex + i y - показательная функция комплексного аргумента.
.
Пусть x = 0. Тогда
П р и м е р 2. Представить комплексное число z = 1 – i в тригонометрической и показательной форме.
φ x
z = 1 – i
φ = − π/4.